The effects of gravity modulation on the instability of double-diffusive convections in a horizontal tank with aspect ratio (width/height) of 11 have been investigated by experiments and numerical simulations. The stably stratified fluid layer is set up with ethanol-water solution of 0.0 and 2.0% (by weight). The tank is fixed on a platform that can oscillate in the vertical direction. A constant temperature difference is maintained across the tank at thermal Rayleigh number . The fluid layer becomes unstable as the initially stable solute gradient slowly decreases due to the non-diffusive boundary conditions. The experiments determine that the instability onset under steady gravity is at with onset vortices of wavelength and oscillatory frequency . When the tank is oscillated at modulation frequency and amplitude , the fluid layer is destabilized slightly with a critical and onset vortices of and . A two-dimensional numerical simulation has accurately reproduced the experimental results of steady gravity, and demonstrated that the slight destability effect of gravity modulation is contributed by the asymmetry of the actual gravity modulation.Further simulations have yielded following results: (1) Under steady gravity, the kinetic energy and mechanical work components oscillate synchronously with . Under modulated gravity, they only oscillate synchronously with when is low, whereas not only synchronously with locally but also synchronously with globally when is high; (2) The resonance phenomenon predicted by Chen (2001) also exists under the present lab conditions. Such instability is in the sub-harmonic mode and the destability effect increases as increases. (3) The double-diffusive fluid layer may experience density-mode instability before the double-diffusive instability onset at certain and . Such density-mode instability is generally in the sub-harmonic mode, although it may be in the synchronous mode when is low and is large. This instability accelerates the mixing of the density gradient across the fluid layer and thus affects the succeeding double-diffusive instability; (4) When the background gravity is absent, the purely modulated gravity destabilizes the fluid layer when is low. On the contrary, it stabilizes the fluid layer when is high and the instability onset is in the synchronous mode.

京都大学 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第24390号 / 理博第4889号 / 新制||理||1699(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 大木谷 耕司, 教授 並河 良典, 准教授 竹広 真一 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

In this thesis, we consider a projection-based stabilization method for solving buoyancy driven flows (natural convection problems). The method consists of adding global stabilization for all scales and then anti-diffusing these effects on the large scales defined by projections into appropriate function spaces. In this way, stabilization acts only on the small scales. We consider two different variations of buoyancy driven flows based on the projection-based stabilization. First, we focus on the steady-state natural convection problem of heat transport through combined solid and fluid media in a classical enclosure. We present the mathematical analysis of the projection-based method and prove existence, uniqueness and convergence of the approximate solutions of the velocity, temperature and pressure. We also present some numerical tests to support theoretical findings. Second, we consider a system of combined heat and mass transfer in a porous medium due to the natural convection. For the semi-discrete problem, a stability analysis of the projectionbased method and a priori error estimate are given for the Darcy-Brinkman equations in double-diffusive convection. Then we provide numerical assessments and a comparison with some benchmark data for the Darcy-Brinkman equations. In the last part of the thesis, we present a fully discrete scheme with the linear extrapolation of convecting velocity terms for the Darcy-Brinkman equations.

Convection set up in a fluid due to the presence of two components of differing diffusivities is known as double diffusive convection. Double diffusive convection is observed in nature, in oceans, in the formation of certain columnar rock structures and in stellar interiors. The major engineering applications of double diffusive convection are in the fields metallurgy and alloy solidification in casting processes. The two components may be any two substances which affect the density of the fluid, heat and salt being the pair found most commonly in nature. Depending upon the initial stratifications of the two components, double diffusive convection can be set up in either the diffusive mode or the finger mode. In this thesis, the linear stability of a double diffusive system prone to finger instability has been studied in the presence of temporally varying non-linear background profiles of temperature and salinity. The motivation for the present study is to bridge the gap between existing theories, which mainly concentrate on linear background profiles independent of time, on the one hand and experiments and numerical simulations, which have time dependent step-like non-linear background profiles, on the other. The general stability characteristics of a double diffusive system with step-like background profiles have been studied using the standard normal mode method. The background temperature and salinity profiles are assumed to follow the hyperbolic tangent function, since it has a step-like character. The sharpness of the step can be altered by changing a suitable parameter in the hyperbolic tangent function. It is found that changing the degree of non-linearity of the background profile of one of the components keeping the background profile of the other component linear affects the growth rate, Wave number and the form of the disturbances. In general, increasing the degree of nonlinearity of background salinity profile makes the system more unstable and results in a reduction in the vertical extent of the disturbances. On the other hand, increasing the degree of non-linearity of the background temperature profile with the salinity profile kept linear results in a reduction in the growth rate and increase in the wave number. The form of the disturbance may change due to enhanced modal competition between the gravest odd and even modes in this case. The method of normal modes inherently assumes that the background profiles of temperature and salinity are independent of time and hence, it cannot be used for studying the stability of systems with time varying background profiles. A pseudo-similarity method has been used to handle such background profiles. Initial steps of temperature and salinity diffuse according to the error function form, and hence, the case of error function background profiles has been studied in detail. Taking into account the time-dependence of background profiles has been shown to significantly change the wave number and the incipient flux ratio. The dependence of the critical wave number (kc) on the thermal Rayleigh number (RaT ) can be determined analytically and is found to change from kc ~ Ra T1/4 for linear background profiles to kc ~ Ra T1/3 for error function profiles. The region of instability in the Rp (density stability ratio) space is found to increase from 1 ≤ R ρ ≤ r−1 for linear background profiles to 1 ≤ Rρ < r−3/2 for error function background profiles, where T denotes the ratio of the diffusivity of the slower diffusing component to that of the faster diffusing one. A parametric study covering a wide range of parameter values has been carried out to determine the effect of the parameters density stability ratio (Rp), diffusivity ratio (ρ ) and Prandtl number (Pr) on the onset time, critical wavenumber and the incipient flux ratio. The wide range of governing parameters covered here is beyond the scope of experimental and numerical studies. Such a wide range can be covered by theoretical approaches alone. It has been shown that the time of onset of convection determines the thicknesses of the temperature and salinity boundary layers, which in turn determine the width of salt fingers. Finally, the theoretical predictions of salt finger widths have been shown to be in agreement with the results of two dimensional numerical simulations of thermohaline system.

De nombreux corps du système solaire possèdent des enveloppes liquides internes, comme par exemple les noyaux métalliques des planètes telluriques et les océans profonds des satellites de glace de Jupiter et Saturne, dans lesquelles se produisent des courants de convection. La modélisation de la dynamique de ces enveloppes est cruciale pour comprendre la génération des champs magnétiques planétaires (pour les noyaux) et pour mieux déterminer l’habitabilité potentielle des satellites joviens. La convection dans ces enveloppes est généralement produite par la combinaison d’au moins deux sources de flottabilité : une source thermique et une source solutale. Une telle situation est plus complexe qu’un régime de convection purement thermique ou purement solutale, d’une part en raison de l’existence d’un couplage thermochimique lorsqu’un processus de fusion ou de cristallisation se produit à l’une des frontières de l’enveloppe, et d’autre part à cause de la forte différence de diffusivité moléculaire entre les champs thermique et compositionnel qui permet potentiellement le développement d’instabilités double-diffusives. Classiquement, ces complexités ont été ignorées dans les simulations numériques de la dynamo terrestre ; les champs thermique et compositionnel ayant été combinés en une seule variable nommée « codensité ». Cette approche est sans doute simpliste mais permet d’esquiver une difficulté technique liée à la description du champ compositionnel dont la très faible diffusivité nécessite de recourir à des méthodes numériques adaptées. Cette thèse présente d’abord l’implémentation d’une méthode semi-Lagrangienne du type « particle-in-cell » dans un code de dynamo pré-existant, permettant ainsi de traiter de manière plus réaliste le champ de composition dans les enveloppes liquides internes des planètes. Les optimisations réalisées sont détaillées ainsi que les résultats de tests sur des cas de benchmark qui valident cet outil. Une comparaison avec des méthodes Eulériennes est également présentée. Une première exploration de la physique de la convection compositionnelle et thermochimique en rotation dans la limite d’un nombre de Prandtl compositionnel infini est ensuite conduite dans le contexte du noyau liquide terrestre. Il est montré que la dynamique convective est très différente de celle de la convection thermique pure. Notamment, les matériaux légers injectés à la frontière graine/noyau liquide sont capables d’atteindre la frontière noyau/manteau et de s’y accumuler pour former une couche chimiquement stratifiée, dont l’existence a été évoquée théoriquement mais qui n’a jamais pu être produite dans de précédentes simulations. Enfin, la dynamique double-diffusive des couches stratifiées est également discutée, et de premières simulations de « salt fingers » sont présentées. / Numerous planetary bodies contain internal liquid layers in which convective currents are generated by the combination of buoyancy sources of thermal and compositional origin. The strong difference between the thermal and chemical molecular diffusivities and the possibility of thermo-chemical coupling at melting or freezing boundaries create a convective regime that is much more complex than pure thermal convection, partly due to the potential occurrence of double-diffusive instabilities. Traditionally, numerical simulations have modeled the dynamics of the liquid part of planetary cores in a more simplistic way by neglecting the diffusivity difference and combining both fields into one single variable, an approximation that is convenient but maybe not relevant. However, distinguishing both fields and dealing with a large or infinite diffusivity ratio makes it compulsory to use numerical methods that minimize numerical diffusion as much as possible. In this thesis, I adapted a semi-Lagrangian particle-in-cell method into a pre-existing dynamo code to describe the weakly diffusive compositional field. I optimized the code for massively parallel computing and validated it on two different benchmarks. I compared the particle-in-cell method to Eulerian schemes and showed that its advantages extend beyond its lower numerical dissipation. Using this new tool, I performed first numerical simulations of rotating pure compositional and thermochemical convection in the limit of null chemical diffusivity. I explored the physics of pure compositional convection and addressed questions related to the existence and the dynamics of a stratified layer below the Earth’s core mantle boundary. In particular, I showed that the stratification could potentially be of chemical origin and proposed some mechanisms to explain its formation. In the case of a thermally stratified layer, I performed a scaling analysis of fingering instabilities, wrote the first steps of a linear stability analysis and ran a few simulations of fingering instabilities in the rotating case. The potential effects of the magnetic field and the coupling of thermochemical boundary conditions in planetary cores are finally discussed in this thesis.

Konvektions- und Erstarrungsvorgänge sind sowohl in natürlichen als auch in technischen Prozessen von grundlegender Bedeutung und stehen dabei miteinander in komplexer Wechselwirkung. Die vorliegende Arbeit beschreibt die Entwicklung eines experimentellen Aufbaus, mit dem sich vielfältige Formen dendritischer Erstarrung und thermosolutaler Konvektion in optisch transparenten Materialsystemen initiieren lassen. Besonderes Augenmerk liegt dabei auf der Implementierung optischer Messtechnik und automatisierter Bildauswertung. Die hier entwickelte komplexe Bildverarbeitung erlaubt die simultane Anwendung verschiedener Verfahren der Strömungs- und Temperaturmessung: Eine automatisierte Bildsegmentierung quantifiziert unterschiedliche Feststofffraktionen; mittels Lagrangian Particle Tracking (LPT) werden die Trajektorien frei beweglicher Kristalle bestimmt und Particle Image Velocimetry/Thermometry (PIV/T) misst Strömungs- und Temperaturfeld im Fluid. Für die simultane Verwendung dieser Verfahren unter Minimierung von Quereffekten stellt die vorliegende Arbeit eine Reihe von Erweiterungen und Neuentwicklungen oben genannter Standardverfahren vor: Mit dem neuartigen Ansatz des Spectral Random Masking kann das Geschwindigkeitsfeld einer (unmaskierten) Teilchenfraktion (PIV-Tracer) ohne den Einfluss einer zweiten (maskierten) Teilchenfraktion (Blasen oder Feststoffpartikel) bestimmt werden. Dieser neuartige Algorithmus maskiert entsprechende Bildbereiche mittels zufälliger Intensitätsmuster und vermeidet so Probleme herkömmlicher Verfahren. Die Verwendung von Thermochromic Liquid Crystal (TLC)-Partikeln als Strömungstracer ermöglicht zusätzlich zur Particle Image Velocimetry (PIV) die Visualisierung des Temperaturfeldes mittels Liquid Crystal Thermometry (LCT). Um dabei genaue quantitative Messungen bei Anwesenheit mehrerer Feststofffraktionen zu erreichen, wurde eine neue Methode der Farbinterpolation entwickelt. Diese generiert RGB-Bilder, welche nur die Färbung der TLC-Partikel repräsentieren. Die anschließende Verarbeitung von RGB-Tripeln und räumlichen Farbabhängigkeiten durch ein künstliches neuronales Netz (KNN) ermöglicht es, verlässliche globale Temperaturfelder zu bestimmen. Die Kombination dieses KNN-Systems mit einem entsprechenden Kalibrierverfahren verbessert dabei die Genauigkeit und den messbaren Temperaturbereich der Liquid Crystal Thermometry (LCT) im Vergleich zu herkömmlichen Verfahren. Mit dem hier etablierten experimentellen Aufbau und Messschema können quantitative globale Studien zur gegenseitigen Beeinflussung von Erstarrung und Strömung unter simultaner Betrachtung verschiedener Feldgrößen durchgeführt werden. Damit ist ein tieferes Verständnis der komplexen physikalischen Vorgänge möglich. Die vorliegende Arbeit demonstriert dies anhand einer experimentellen Studie über die doppelt-diffusive Konvektion während der Kristallisation einer wässrigen Ammoniumchloridlösung NH4Cl(aq).:Zusammenfassung Danksagung 1. Einleitung 2. Physikalische Grundlagen 2.1. Konvektion 2.1.1. Freie thermische Konvektion 2.1.2. Doppelt-diffusive Konvektion 2.2. Erstarrung 2.3. Wechselwirkung zwischen Erstarrung und Strömung 3. Methoden der bildgebenden optischen Messtechnik 3.1. Digitale Bildverarbeitung 3.2. Optische Strömungsmessung 3.2.1. Particle Image Velocimetry 3.2.2. Lagrangian Particle Tracking 3.3. Liquid Crystal Thermometry 3.3.1. Farbkalibrierung 3.3.2. Simultane Temperatur- und Strömungsmessung 3.4. Bisheriger Einsatz optischer Messtechniken für Erstarrungsexperimente 4. Experimenteller Aufbau 4.1. Ammoniumchlorid als transparentes Modellsystem 4.2. Messzelle 4.3. Labortechnik 4.3.1. Temperaturmesstechnik 4.3.2. Temperaturregelung 4.3.3. Temperaturregime und experimenteller Ablauf 4.4. Bildgebung 4.4.1. Laser-Lichtschnittverfahren 4.4.2. Durchlichtverfahren 4.4.3. LED-Lichtschnittverfahren 4.4.4. Kombinationsmöglichkeiten und Einsatz der Bildgebungsverfahren 5. Implementierung und Weiterentwicklung der digitalen Bildverarbeitung 5.1. Detektion und Quantifizierung verschiedener Feststofffraktionen 5.1.1. Bildsegmentierung 5.1.1.1. Statische Hintergrundmaskierung 5.1.1.2. Dynamische Segmentierung 5.1.2. Bestimmung der Feststoffanteile 5.1.3. Quantifizierung der Bewegung der äquiaxialen Kristalle 5.2. Bestimmung des Geschwindigkeitsfeldes der kontinuierlichen Phase 5.2.1. Spectral Random Masking 5.2.2. PIV-Analyse der kontinuierlichen Phase 5.3. Messung des Temperaturfeldes der kontinuierlichen Phase 5.3.1. Farbinterpolation mittels maskierter Faltung 5.3.2. Kalibrierung der Liquid Crystal Thermometry 5.3.2.1. Bestimmung des Farbspiels der TLC-Partikel 5.3.2.2. Temperaturmessung mittels künstlicher neuronaler Netze 5.3.3. Anwendung und Genauigkeit der Temperaturmessung 5.4. Simultane Quantifizierung von Erstarrung, Strömung und Temperatur 6. Demonstration der Messtechnik anhand ausgewählter Experimente 6.1. Analyse globaler Merkmale der Erstarrungsexperimente 6.1.1. Entwicklung verschiedener Konvektionsregime 6.1.2. Wachstum verschiedener Kristallfraktionen 6.2. Bedingungen lokaler äquiaxialer Erstarrung 6.2.1. Äquiaxiales Kristallwachstum infolge lokaler Unterkühlung 6.2.2. Nukleation äquiaxialer Kristalle durch kolumnares Kristallwachstum 6.3. Erkenntnisgewinn und Möglichkeiten der Experimente 7. Zusammenfassung und Ausblick 7.1. Bewertung des experimentellen Aufbaus und der entwickelten Messtechnik 7.2. Optimierungsmöglichkeiten der Messtechnik 7.3. Möglichkeiten und Bedeutung zukünftiger experimenteller Untersuchungen A. Technische Zeichnungen B. Materialeigenschaften der verwendeten NH4 Cl-Lösungen C. Weiterführende Details der Temperaturmessung und -regelung C.1. Kalibrierung der Thermoelemente C.2. Kalibrierung der Thermistoren C.3. Entwicklung und Einrichtung eines Peltier-Luftkühlers D. Weiterführende Details und Illustrationen der entwickelten Bildverarbeitung D.1. Verwendete Python Bibliotheken D.2. Signalflussplan des Spectral Random Masking D.3. Particle Image Velocimetry/Thermometry D.4. Empfindlichkeitsanalyse des künstlichen neuronalen Netzes D.5. Abschätzung der Genauigkeit der LCT während der Experimente E. Erstarrungsexperimente E.1. Lichtschnittbeleuchtung E.1.1. Thermisch stabile Schichtung E.1.2. Thermisch instabile Schichtung E.1.3. Thermisch neutrale Schichtung E.2. Hintergrundbeleuchtung und doppelwandiger Behälter E.2.1. Thermisch stabile Schichtung E.2.2. Thermisch instabile Schichtung Symbolverzeichnis Indexverzeichnis Abkürzungsverzeichnis Literatur Selbstständigkeitserklärung / Convection and solidification processes are of fundamental importance in both natural and technical processes and are subject to complex interaction. The present work presents the development of an experimental setup to initiate various forms of dendritic solidification and thermosolutal convection in optically transparent material systems. Special attention is given to the implementation of optical measurement techniques and automated image processing. The complex image processing developed here allows the simultaneous application of different methods for flow and temperature measurement: An automated image segmentation quantifies different solid fractions; with Lagrangian Particle Tracking (LPT) the trajectories of free moving crystals are determined and Particle Image Velocimetry/Thermometry (PIV/T) measures flow and temperature field in the fluid. For the simultaneous use of these methods while minimizing cross-effects, this thesis illustrates a number of extensions and new developments of the above mentioned standard methods: With the novel approach of Spectral Random Masking the velocity field of an unmasked particle fraction (PIV tracer) can be determined without the influence of a second (masked) particle fraction (bubbles or solid particles). This novel algorithm masks corresponding image areas by random intensity patterns and thus avoids typical problems of conventional methods. The use of Thermochromic Liquid Crystal (TLC) particles as flow tracers enables the visualization of the temperature field by Liquid Crystal Thermometry (LCT) in addition to flow measurements by Particle Image Velocimetry (PIV). To achieve accurate quantitative measurements in the presence of several solid fractions, a new method of color interpolation was developed. This method generates RGB-images, which only represent the coloration of the TLC particles. The subsequent processing of RGB triples and spatial color dependencies using an artificial neural network (ANN) allows to determine reliable global temperature fields. The combination of this ANN system with a corresponding calibration procedure improves the accuracy and measurable temperature range of the LCT compared to conventional methods. With the experimental setup and measurement scheme established here, quantitative global studies on the mutual influence of solidification and flow can be performed under simultaneous consideration of different physical quantities. Compared to previous studies, this allows a deeper understanding of the complex physical processes. The present work demonstrates this with an experimental study of double diffusive convection during crystallization of an aqueous ammonium chloride solution NH4Cl(aq).:Zusammenfassung Danksagung 1. Einleitung 2. Physikalische Grundlagen 2.1. Konvektion 2.1.1. Freie thermische Konvektion 2.1.2. Doppelt-diffusive Konvektion 2.2. Erstarrung 2.3. Wechselwirkung zwischen Erstarrung und Strömung 3. Methoden der bildgebenden optischen Messtechnik 3.1. Digitale Bildverarbeitung 3.2. Optische Strömungsmessung 3.2.1. Particle Image Velocimetry 3.2.2. Lagrangian Particle Tracking 3.3. Liquid Crystal Thermometry 3.3.1. Farbkalibrierung 3.3.2. Simultane Temperatur- und Strömungsmessung 3.4. Bisheriger Einsatz optischer Messtechniken für Erstarrungsexperimente 4. Experimenteller Aufbau 4.1. Ammoniumchlorid als transparentes Modellsystem 4.2. Messzelle 4.3. Labortechnik 4.3.1. Temperaturmesstechnik 4.3.2. Temperaturregelung 4.3.3. Temperaturregime und experimenteller Ablauf 4.4. Bildgebung 4.4.1. Laser-Lichtschnittverfahren 4.4.2. Durchlichtverfahren 4.4.3. LED-Lichtschnittverfahren 4.4.4. Kombinationsmöglichkeiten und Einsatz der Bildgebungsverfahren 5. Implementierung und Weiterentwicklung der digitalen Bildverarbeitung 5.1. Detektion und Quantifizierung verschiedener Feststofffraktionen 5.1.1. Bildsegmentierung 5.1.1.1. Statische Hintergrundmaskierung 5.1.1.2. Dynamische Segmentierung 5.1.2. Bestimmung der Feststoffanteile 5.1.3. Quantifizierung der Bewegung der äquiaxialen Kristalle 5.2. Bestimmung des Geschwindigkeitsfeldes der kontinuierlichen Phase 5.2.1. Spectral Random Masking 5.2.2. PIV-Analyse der kontinuierlichen Phase 5.3. Messung des Temperaturfeldes der kontinuierlichen Phase 5.3.1. Farbinterpolation mittels maskierter Faltung 5.3.2. Kalibrierung der Liquid Crystal Thermometry 5.3.2.1. Bestimmung des Farbspiels der TLC-Partikel 5.3.2.2. Temperaturmessung mittels künstlicher neuronaler Netze 5.3.3. Anwendung und Genauigkeit der Temperaturmessung 5.4. Simultane Quantifizierung von Erstarrung, Strömung und Temperatur 6. Demonstration der Messtechnik anhand ausgewählter Experimente 6.1. Analyse globaler Merkmale der Erstarrungsexperimente 6.1.1. Entwicklung verschiedener Konvektionsregime 6.1.2. Wachstum verschiedener Kristallfraktionen 6.2. Bedingungen lokaler äquiaxialer Erstarrung 6.2.1. Äquiaxiales Kristallwachstum infolge lokaler Unterkühlung 6.2.2. Nukleation äquiaxialer Kristalle durch kolumnares Kristallwachstum 6.3. Erkenntnisgewinn und Möglichkeiten der Experimente 7. Zusammenfassung und Ausblick 7.1. Bewertung des experimentellen Aufbaus und der entwickelten Messtechnik 7.2. Optimierungsmöglichkeiten der Messtechnik 7.3. Möglichkeiten und Bedeutung zukünftiger experimenteller Untersuchungen A. Technische Zeichnungen B. Materialeigenschaften der verwendeten NH4 Cl-Lösungen C. Weiterführende Details der Temperaturmessung und -regelung C.1. Kalibrierung der Thermoelemente C.2. Kalibrierung der Thermistoren C.3. Entwicklung und Einrichtung eines Peltier-Luftkühlers D. Weiterführende Details und Illustrationen der entwickelten Bildverarbeitung D.1. Verwendete Python Bibliotheken D.2. Signalflussplan des Spectral Random Masking D.3. Particle Image Velocimetry/Thermometry D.4. Empfindlichkeitsanalyse des künstlichen neuronalen Netzes D.5. Abschätzung der Genauigkeit der LCT während der Experimente E. Erstarrungsexperimente E.1. Lichtschnittbeleuchtung E.1.1. Thermisch stabile Schichtung E.1.2. Thermisch instabile Schichtung E.1.3. Thermisch neutrale Schichtung E.2. Hintergrundbeleuchtung und doppelwandiger Behälter E.2.1. Thermisch stabile Schichtung E.2.2. Thermisch instabile Schichtung Symbolverzeichnis Indexverzeichnis Abkürzungsverzeichnis Literatur Selbstständigkeitserklärung