Orientador: Ricardo Egydio de Carvalho / Banca: Iberê Luiz Caldas / Banca: Marisa Roberto / Resumo: Investigamos nesta dissertação a introdução de uma barreira dinâmica em diferentes sistemas físicos caóticos, a fim de analisar a influência que esta barreira causa na dinâmica e topologia destes sistemas. A barreira principal deste estudo é a barreira denominada Toro Robusto, que nada mais é do que uma curva invariante no espaço de fases em meio a estruturas de ressonância, mares de caos, etc. A barreira Toro Robusto bloqueia a difusão caótica no espaço de fases associado ao sistema físico, e causa também uma estabilização em sua vizinhança linear. Introduziremos Toros Robustos em vários tipos de sistemas dinâmicos, como por exemplo, em uma Hamiltoniana "Toy Model" a fim de entender o seu efeito no processo de reconexão ou "overlap" de ressonâncias isócronas. Toros Robustos quebrando a dimerização de cadeias de ressonância também foram estudados no mapa padrão "não-twist". O bloqueio da difusão de Arnold no mapa padrão acoplado também foi mostrado, assim como, a introdução de Toros Robustos em sistemas utilizados em física de plasmas, como meio de controle de caos em plasma confinado em Tokamak. Outra barreira apresentada aqui é a barreira do tipo "meander" que surge através do processo de reconexão de ressonâncias no espaço de fases. Introduziremos um novo mapa discreto que chamamos de Mapa padrão "não-twist" labiríntico, que apresenta múltiplas regiões de barreiras "meanders" por todo o espaço de fases / Abstract: We investigated in this work the introduction of a dynamical barrier in different chaotic physical systems in order to analyze the influence that it causes in the topology and in the dynamics of them. The main barrier studied here is called Robust Tori which is an invariant curve in the phase space permeated by resonance structures and chaotic seas. The Robust Torus barrier blocks the chaotic diffusion in the phase space of the associated physical system, and it also causes a linear stabilization in its neighborhood. Robust Tori will be introduced in several types of dynamic systems, such as in a Toy Model Hamiltonian in order to understand their effect on the reconnection process or overlap of isochronous resonances. The breakdown of resonance dimerization by Robust Tori was also studied using the nontwist standard map. The blocking of Arnold diffusion in the coupled standard map was also shown, as well as the introduction of Robust Tori in relevant models for plasma physics as a tool for controlling chaos in confined plasmas in Tokamaks. Another barrier, which is presented here, is the meander barrier that emerges through the reconnection process of resonances in phase space. We will also introduce a new discrete map, which we call labyrinthic standard non-twist map that shows multiple regions of meanders barriers around the phase space / Mestre

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2018-03-14T12:45:08Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Matheus Capela - 2018.pdf: 943525 bytes, checksum: 2ce883be9d4c829f92c7048e5fa718c4 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2018-03-14T12:47:20Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Matheus Capela - 2018.pdf: 943525 bytes, checksum: 2ce883be9d4c829f92c7048e5fa718c4 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2018-03-14T12:47:20Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Matheus Capela - 2018.pdf: 943525 bytes, checksum: 2ce883be9d4c829f92c7048e5fa718c4 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2018-02-23 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / Diversas relações entre física e teoria de informação foram estabelecidas desde o trabalho de Shannon. Entropia é um elemento essencial nesta conexão, quantificando a informação transferida em um experimento. Mecânica estatística está conectada à teoria de informação através do princípio de máxima entropia, definindo as distribuições de probabilidade de estados de equilíbrio como aquelas que maximizam a entropia sujeita as condições físicas apropriadas. A energia dissipada em um processo clássico está conectada a divergência de Kullback-Leibler. Recentemente, Still e colaboradores mostraram que a ineficiência energética em um processo estocástico Markoviano é equivalente a ineficiência do modelo, definida como a diferença em informação que o estado do sistema compartilha com as variáveis externas no futuro e passado. Isto sugere que imprevisibilidade e ineficiência energética estejam relacionadas no âmbito da física clássica. O objetivo deste trabalho é estabelecer uma relação entre o comportamento randômico de sistemas clássicos, quantificado pela entropia de Kolmogorov-Sinai, com a ineficiência energética. / Many connections between physics and information theory have been revealed since the development of classical information theory by Shannon. A key concept in this connection is entropy, which represents the amount of information transferred to the observer who performs measurements in an experiment. Statistical mechanics is a physical theory deeply connected to information by Jaynes’ Maximum Entropy principle, which defines equilibrium probability distributions as the ones that maximizes entropy under some physical constraints. In this way, these distributions are the less unbiased probabilities that can be assignment to an event. Following this path, the dissipated energy in a classical Hamiltonian process (also known as the thermodynamic entropy production) was connected to the relative entropy between the forward and backward probability densities. A recent work by Still et al. has revealed that energetic inefficiency and model inefficiency are equivalent concepts in Markovian processes, where the latter is defined as the difference in mutual information that the system’s state shares with the future and past environmental variables. This raises the question whether model unpredictability and energetic inefficiency are connected in the framework of classical physics. The aim of this study is to connect the concepts of random behavior of a classical Hamiltonian system with its energetic inefficiency. The random behavior of a classical system is quantified by the Kolmogorov-Sinai entropy associated with its dynamics, an information-theoretic approach to chaos, whereas energetic inefficiency is measured by the dissipated work.

O objetivo deste trabalho é a obtenção numérica de soluções periódicas para o problema geral de N corpos sujeitos apenas à atração gravitacional mútua. Em particular, procuramos soluções chamadas de coreografias, que apresentam em comum a propriedade de que todos os corpos se movem sobre a mesma curva. O interesse neste tipo de solução aumentou muito recentemente devido aos avanços na Física das ondas gravitacionais. Com a possível detecção de ondas gravitacionais prevista para um futuro próximo, todas as configurações periódicas do problema de N corpos passam a ser consideradas como possíveis fontes de radiação gravitacional. Identificar os padrões de radiação associados a estas órbitas é uma das tarefas prementes atualmente na área. Tendo isso em vista, iremos calcular também as ondas gravitacionais emitidas por um sistema em que os corpos que o constituem seguem uma órbita coreográfica. Começamos este trabalho com um capítulo que descreve historicamente a busca pela solução geral do problema de N corpos, inicialmente motivada pelo interesse na análise da estabilidade do Sistema Solar. Em seguida, no Capítulo 2, apresentamos as principais definições e teoremas que serão utilizados ao longo do texto. O leitor pode escolher entre seguir este capítulo no início de sua leitura, ou então utilizá-lo para consulta quando necessário. No Capítulo 3, identificamos os graus de liberdade do sistema formado pelos N corpos e determinamos quais grandezas físicas nele se conservam, através do Teorema de Noether. Com isso estabelecemos a não integrabilidade deste sistema, no sentido de Liouville, para N > 2. Escrevemos também a solução geral do problema de dois corpos, conhecido como problema de Kepler, e mostramos duas soluções particulares para o problema de três corpos com massas iguais, conhecidas como soluções de Euler (1765) e Lagrange (1772). Na solução de Euler, os três corpos estão dispostos sobre uma mesma reta que gira com velocidade angular constante ao redor do seu centro de massa, e na de Lagrange, estão dispostos sobre os vértices de um triângulo equilátero que gira com velocidade angular constante ao redor do seu centro de massa. Com o intuito de descrever as soluções periódicas conhecidas para o Problema de N Corpos, no Capítulo 4 estudaremos as órbitas homográficas, que apresentam a característica de que a configuração do sistema em qualquer instante pode ser obtida através de uma rotação composta com uma dilatação/contração da configuração inicial. Essas soluções generalizam as soluções de Euler e Lagrange citadas anteriormente. No Capítulo 5, analisaremos as órbitas coreográficas. Esta classe de soluções foi descoberta por Cris Moore em 1993, que encontrou numericamente uma solução coreográfica para o problema de três corpos em que eles seguem uma mesma curva em forma de oito. A existência e a estabilidade desta solução foram estudadas de maneira rigorosa por Richard Montgomery e Alain Chenciner. Neste trabalho, damos um esboço de como construir a solução em forma de oito no caso em que as massas são idênticas. Simularemos esta e outras órbitas coreográficas, além de algumas outras órbitas periódicas descritas anteriormente, através do método de integração de Runge-Kutta de quarta ordem. Finalmente, no Capítulo 6 calculamos as ondas gravitacionais emitidas pelas órbitas homográficas e coreográficas simuladas anteriormente. Finalizaremos com uma breve discussão comparando os padrões de ondas gravitacionais obtidos para as diferentes órbitas e analisando a possibilidade de determinar a fonte de emissão a partir da medida de um sinal de uma onda gravitacional. / The purpose of this work is the numerical computing of the periodic solutions to the N-body problem, that is, the general problem of determinig the motion of N bodies exclusively subject to gravitational forces between them. In particular, we search for solutions that were named choreographies, which have in common the property that all bodies move along the same curve. The interest in this kind of solution has recently increased due to technological advances in Gravitational Wave (GW) Physics. As the detection of Gws is foreseen for the near future, all periodic configurations of the N-body problem may be considered as possible sources of gravitational radiation. Identifying the patterns of radiation associated to these orbits is nowadays one of the pressing tasks in this field. Having this fact in mind, we calculate the GWs emitted by a system in which all bodies describe a choreographic orbit. In Chapter 1, we briefly describe the history of the search for the general solution to the N-body Problem, initially motivated by the interest in the stability analysis of the Solar System. Next, in Chapter 2, we present the main definitions and theorems to which we refer during this text. The reader may opt between following this chapter as he begins to read this thesis and consulting it only if necessary or when he is referred to. In Chapter 3, we identify the degrees of freedom of the system consisting of N bodies and determine the physical quantities it conserves, through Noethers theorem. Doing that, we establish the non-integrability of our dynamical system, in the sense of Liouville integrability, if N > 2. We also give the general solution to the 2-body problem, known as Keplers Problem, and present two particular solutions to the 3-body Problem, known as Eulers solution (1765) and Lagranges solution (1772). In Eulers solution, all three bodies are in the same line, which revolves around its center of mass, and in Lagranges solux tion they are at the vertices of an equilateral triangle, which also revolves around its center of mass. In order to describe all known periodic solutions to the N-body Problem, in Chapter 4 we study homographic orbits, that is, orbits in which the configuration at any instant can be obtained by a rotation and a dilation/contraction of the initial configuration. These solutions generalize the solutions by Euler and Lagrange mentioned above. In Chapter 5, we analyze choreographic orbits. This class of solutions was discovered by Cris Moore in 1993, who computed numerically a choreographic solution in which the bodies move along the same curve in the shape of an eight. The existence and stability of this orbit were rigorously studied by Richard Montgomery and Alain Chenciner. Here, we sketch the construction of the figure eight solution in the particular case where all masses are identical. We simulate this and other choreographic solutions, as well as some other periodic solutions described before, through the use of a fourth order Runge- Kutta method of numerical integration. Finally, in Chapter 6 we calculate the Gws emitted by the homographic and choreographic orbits simulated before. We end this work with a brief discussion comparing the GW patterns obtained to different orbits and analyzing the possibility of determining the mission source from a measurement of a GW signal.

Made available in DSpace on 2017-07-10T17:11:52Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Texto completo - Rosiney.pdf: 7631119 bytes, checksum: 43c0461bb49060121b74d945a88d53d4 (MD5) Previous issue date: 2012-11-26 / The present work proposes a study of the dynamics of a gyroscope using simulated data of an analytical model by comparing with experimental data. Classical mechanical modeling approaches are used to identify the equilibrium points, stability and verification of the regions where the motion equations of the gyroscope can present regular or chaotic behavior. The Lyapunov exponents are identified through the standard method, Eckmann-Ruelle Method, Wolf method with time series and the 0-1 test. The results achieved illustrate the main advantages and drawbacks of each method and allow to observe qualitatively and quantitatively information about the motion of the gyroscope used. / Este trabalho propõe um estudo da dinâmica de um giroscópio usando dados de simulação de um modelo analítico comparando com dados experimentais. Verifica-se a modelagem usando mecânica clássica, estudo de pontos de equilíbrio, estabilidade e verificação de regiões onde o movimento do giroscópio pode ficar regular ou caótico. Os expoentes de Lyapunov são identificados usando o método padrão, método de Eckmann-Ruelle, método deWolf com séries temporais e o teste 0-1. Os resultados alcançados nesta dissertação permitiram comparar as principais vantagens e desvantagens de cada um dos métodos e extrair informações qualitativas e quantitativas sobre o movimento do giroscópio em estudo.

A neurociência computacional é uma vasta área que tem como objeto de estudo o entendimento ou a emulação da dinâmica cerebral em diversos níveis. Neste trabalho atenta-se ao estudo da dinâmica de neurônios, os quais, no consenso atual, acredita-se serem as unidades fundamentais do processamento cerebral. A importância do estudo sobre o comportamento de neurônios se encontra na diversidade de propriedades que eles podem apresentar. O estudo se torna mais rico quando há interações de sistemas internos ao neurônio em diferentes escalas de tempo, criando propriedades como adaptação, latência e comportamento em rajada, o que pode acarretar em diferentes papéis que os neurônios podem ter na rede. Nesta dissertação é feita uma análise sob o ponto de vista de sistemas dinâmicos e de análise de sensibilidade de seis modelos ao estilo de Hodgkin-Huxley e compartimentais de neurônios encontrados no córtex visual primário de mamíferos. Esses modelos correspondem a seis classes eletrofisiológicas de neurônios corticais e o estudo feito nesta dissertação oferece uma contribuição ao entendimento dos princípios de sistemas dinâmicos subjacentes a essa classificação. / Computational neuroscience is a vast scientific area which has as subject of study the unsderstanding or emulation of brain dynamics at different levels. This work studies the dynamics of neurons, which are believed, according to present consensus, to be the fundamental processing units of the brain. The importance of studying neuronal behavior comes from the diversity of properties they may have. This study becomes richer when there are interactions between distintic neuronal internal systems, in different time scales, creating properties like adaptation, latency and bursting, resulting in different roles that neurons may have in the network. This dissertation contains a study of six reduced compartmental conductance-based models of neurons found in the primary visual cortex of mammals under the dynamical systems and sensitivity analysis viewpoints. These models correspond to six eletrophysiological classes of cortical neurons and this dissertation offers a contribution to the understanding of the dynamical-systems principles underlying such classification.

No contexto de Renormalização Wilsoniana, os fluxos do grupo de renormalização (RG flows) são um conjunto de equações diferenciais que define como as constantes de acoplamento de uma teoria dependem de uma escala de energia. o conteúdo destes é semelhante a como sistemas termodinâmicos estão relacionados com a temperatura. Neste sentindo, é natural olhar para estruturas nos fluxos que demonstram um comportamento termodinâmico. A teoria matemática para estudar estas equações é chamada de sistemas dinâmicos e aplicações desta têm sido usadas no estudo de RG flows. Como exemplo o teorema-C de Zamolodchikov e os equivalentes teoremas em dimensões maiores mostram que existe uma função monotonicamente decrescente ao longo do fluxo e é uma propriedade que se assemelha à segunda lei da termodinâmica, estão relacionadas com a função de Lyapunov no contexto de sistemas dinâmicos e podem ser usadas para excluir a possibilidade de comportamentos assintóticos exóticos, como fluxos periódicos ou ciclos limites. Estudamos a teoria de bifurcação e a teoria de índice, que foram propostas como sendo úteis no estudo de RG flows: a primeira pode ser usada para explicar constantes cruzando pela marginalidade e a segunda para extrair informação global do espaço em que os fluxos vivem. Nesta dissertação, também olhamos para aplicações em RG flows holográficos e tentamos buscar relações entre as estruturas em teorias holográficas e as suas duais teorias de campos. / In the context of Wilsonian Renormalization, renormalization group (RG) flows are a set of differential equations that defines how the coupling constants of a theory depend on an energy scale. These equations closely resemble thermodynamical equations and how thermodynamical systems are related to temperature. In this sense, it is natural to look for structures in the flows that show a thermodynamics-like behaviour. The mathematical theory to study these equations is called Dynamical Systems, and applications of that have been used to study RG flows. For example, the classical Zamolodchikov\'s C-Theorem and its higher-dimensional counterparts, that show that there is a monotonically decreasing function along the flow and it is a property that resembles the second-law of thermodynamics, is related to the Lyapunov function in the context of Dynamical Systems. It can be used to rule out exotic asymptotic behaviours like periodic flows (also known as limit cycles). We also study bifurcation theory and index theories, which have been proposed to be useful in the study of RG flows, the former can be used to explain couplings crossing through marginality and the latter to extract global information about the space the flows lives in. In this dissertation, we also look for applications in holographic RG flows and we try to see if the structural behaviours in holographic theories are the same as the ones in the dual field theory side.

Submitted by Mariana Dornelles Vargas (marianadv) on 2015-04-27T11:50:05Z No. of bitstreams: 1 modelagem_simulacao.pdf: 2794841 bytes, checksum: babcdd431b397236986302faace96f8b (MD5) / Made available in DSpace on 2015-04-27T11:50:05Z (GMT). No. of bitstreams: 1 modelagem_simulacao.pdf: 2794841 bytes, checksum: babcdd431b397236986302faace96f8b (MD5) Previous issue date: 2011 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / O alto-falante é o principal item em qualquer sistema de som e é também o principal responsável por distorções geradas nestes sistemas. Isto se deve principalmente às não-linearidades mecânicas do alto-falante. Estudos recentes sugerem fortemente que estas não-linearidades podem provocar multiperiodicidade e comportamentos caóticos espúrios no movimento do cone dos alto-falantes. Isto implica na adição de frequências espúrias ao som original e não fidelidade. Esses estudos porém, não levam em consideração a aplicação dos alto-falantes em caixas acústicas, que é a sua maior utilização. O objetivo principal deste trabalho é estender aqueles estudos, levando em consideração as caixas acústicas, e verificar qual a influência dos volumes finitos na dinâmica de um alto-falante. Os resultados deste trabalho mostram que o volume finito de uma caixa acústica tem forte influência na fidelidade de um alto-falante por reduzir o aparecimento de multiperiodicidade e caos espúrios. Como regra geral, tem-se que menores volumes inibem tais comportamentos espúrios, mas, ao mesmo tempo, reduzem a dinâmica de resposta do alto-falante. Então uma escolha criteriosa do volume da caixa acústica deve tomar o menor volume possível, sem sacrificar a dinâmica do alto-falante considerado. / Loudspeakers are the main item in any high fidelity sound system, and are the main responsible for distortions in sound reproduction. The main reason for that is the presence of nonlinearities in their functioning. Recent studies strongly suggest that these nonlinear effects can lead the speaker to multiperiodic and chaotic behaviors. This implies in distortions since additional spurious frequencies are added to the original sound. However, those studies do not consider an important issue in real speaker usage, which is the acoustic enclosure in which it is usually installed in. The main goal of this work is to extend those mentioned studies taking this additional factor into consideration, and to verify what influence a limited enclosure can cause on speaker dynamics. The results suggest that the finite volume of the acoustic enclosure can strongly affect the fidelity of a loudspeaker, reducing the spurious multiperiodicity and chaos. As a general rule, smaller enclosures inhibits such spurious behaviours but, at the same time, diminishes the dynamical response of the loudspeaker. Therefore, a criterious volume choice should lead to the smaller possible volume however without sacrifying the loudspeaker musical dynamics.

Although dynamical systems have a multitude of classical uses in physics and applied mathematics, new research in theoretical computer science shows that dynamical systems can also be used as a highly secure method of encrypting data. Properties of Lorenz and similar systems of equations yield chaotic outputs that are good at masking the underlying data both physically and mathematically. This paper aims to show how Lorenz systems may be used to encrypt text and image data, as well as provide a framework for how physical mechanisms may be built using these properties to transmit encrypted wave signals.

This dissertation focuses on the further development of creating accurate numerical models of complex dynamical systems using the holistic discretisation technique [Roberts, Appl. Num. Model., 37:371-396, 2001]. I extend the application from second to fourth order systems and from only one spatial dimension in all previous work to two dimensions (2D). We see that the holistic technique provides useful and accurate numerical discretisations on coarse grids. We explore techniques to model the evolution of spatial patterns governed by pdes such as the Kuramoto-Sivashinsky equation and the real-valued Ginzburg-Landau equation. We aim towards the simulation of fluid flow and convection in three spatial dimensions. I show that significant steps have been taken in this dissertation towards achieving this aim. Holistic discretisation is based upon centre manifold theory [Carr, Applications of centre manifold theory, 1981] so we are assured that the numerical discretisation accurately models the dynamical system and may be constructed systematically. To apply centre manifold theory the domain is divided into elements and using a homotopy in the coupling parameter, subgrid scale fields are constructed consisting of actual solutions of the governing partial differential equation(pde). These subgrid scale fields interact through the introduction of artificial internal boundary conditions. View the centre manifold (macroscale) as the union of all states of the collection of subgrid fields (microscale) over the physical domain. Here we explore how to extend holistic discretisation to the fourth order Kuramoto-Sivashinsky pde. I show that the holistic models give impressive accuracy for reproducing the steady states and time dependent phenomena of the Kuramoto-Sivashinsky equation on coarse grids. The holistic method based on local dynamics compares favourably to the global methods of approximate inertial manifolds. The excellent performance of the holistic models shown here is strong evidence in support of the holistic discretisation technique. For shear dispersion in a 2D channel a one-dimensional numerical approximation is generated directly from the two-dimensional advection-diffusion dynamics. We find that a low order holistic model contains the shear dispersion term of the Taylor model [Taylor, IMA J. Appl. Math., 225:473-477, 1954]. This new approach does not require the assumption of large x scales, formerly absolutely crucial in deriving the Taylor model. I develop holistic discretisation for two spatial dimensions by applying the technique to the real-valued Ginzburg-Landau equation as a representative example of second order pdes. The techniques will apply quite generally to second order reaction-diffusion equations in 2D. This is the first study implementing holistic discretisation in more than one spatial dimension. The previous applications of holistic discretisation have developed algebraic forms of the subgrid field and its evolution. I develop an algorithm for numerical construction of the subgrid field and its evolution for 1D and 2D pdes and explore various alternatives. This new development greatly extends the class of problems that may be discretised by the holistic technique. This is a vital step for the application of the holistic technique to higher spatial dimensions and towards discretising the Navier-Stokes equations.

Thesis (M.S.) -- Mississippi State University. Department of Mechanical Engineering. / Title from title screen. Includes bibliographical references.