Nous nous intéressons dans ce mémoire à des équations d'évolution associées aux fonctionnelles de Ginzburg-Landau, de nature parabolique. Notre but est de décrire le comportement temporel de la limite des solutions quand un petit paramètre de pénalisation tend vers 0.Dans le premier chapitre, nous retraçons de manière synthétique l'étude remarquable due à Bethuel, Orlandi et Smets sur l'équation de Ginzburg-Landau parabolique en dimension 2 : l'évolution des points vortex est gouvernée par le flot gradient de la fonctionnelle de Kirchoff-Onsager modifié par un terme de drift; elle est régulière hors des temps de collision ou de séparation de vortex ;ces phénomènes sont soumis à la conservation du degré local et à la dissipation d'énergie.Dans le second chapitre, nous considérons le problème de Cauchy pour des systèmes d'équations paraboliques semi-linéaires. Motivés par l'exemple des vortex, nous construisons, pour des nonlinéarités défocalisantes, des solutions globales de l'équation intégrale associée ayant des données initiales non bornées en espace (croissant comme exp(x^2)). Dans le cas de nonlinéarités focalisantes, nous montrons un phénomène d'explosion instantanée.Dans le troisième chapitre, nous revenons à l'équation de Ginzburg-Landau parabolique en dimension quelconque. Nous remplaçons la borne sur l'énergie de Bethuel, Orlandi et Smets, par une borne locale en espace, qui permet de traiter des configurations générales de vortex sans avoir recours aux « vortex évanescents ». Nous étendons leur analyse, et montrons des résultats de décomposition de l'énergie renormalisée, et du mouvement par courbure moyenne de la mesure d'énergie concentrée. / We are interested in this thesis in evolution equations related to the Ginzburg-Landau functionals, of parabolic nature. Our goal is to describe the temporal behavior of limiting solutions as a small penalisation parameter tends to 0.In the first chapter, we retrace in a synthetic way the remarkable study by Bethuel, Orlandi and Smets on the parabolic Ginzburg-Landau equation in dimension 2 : the evolution of point vortices is governed by the gradient flow of the Kirchoff-Onsager functionnal modified by a drift term ; it is smooth away from the merging and splitting times ; these phenomenon are subject to conservation of the local degree and energy dissipation.In the second chapter, we consider the Cauchy problem for systems of semi-linear parabolic equations. Motivated by the example of the vortices, we construct, for defocusing nonlinearities, global solutions to the associated integral equation with intial data unbounded in space (allowed to grow like exp(x^2)). In the case of focusing nonlinearities, we show a phenomenon of instantaneous blow-up.In the third chapter, we go back to the parabolic Ginzburg-Landau equation. We replace the energy bound of Bethuel, Orlandi et Smets by a local-in-space bound on the energy. This allows to consider general configurations of vortices without the help of « vanishing vortices ». We extend their analysis, and show various results of decomposition of the renormalized energy, and that the concentrated energy moves according to the mean curvature flow.

Ce mémoire se propose d'examiner le comportement asymptotique en temps long des fluides visqueux bidimensionnels, homogènes ou faiblement inhomogènes. On y examine souvent la dynamique des écoulements en fonction de l'évolution de la densité et, plutôt que de la vitesse, du vecteur de rotation instantanée appelé tourbillon ou vorticité. Les travaux de Thierry Gallay et C. Eugene Wayne ont mis en relief le rôle primordial d'une famille de solutions auto-similaires --- les tourbillons d'Oseen ou vortex --- pour décrire l'asymptotique des écoulements à densité constante. Toute solution de l'équation de Navier-Stokes, ayant une mesure finie comme tourbillon initial et de circulation non nulle, est asymptotique en temps long à un tourbillon d'Oseen. Le résultat de Gallay et Wayne ne présente que l'inconvénient de ne pas être explicite, la première tâche de ce mémoire est de l'expliciter, ce qui fournit ainsi une borne sur le temps de vie de la turbulence bidimensionnelle. On montre ensuite que les tourbillons d'Oseen sont asymptotiquement stables en tant que fluides à densité variable, retrouvant également, par là-même, le résultat de Gallay et Wayne pour des écoulements incompressibles faiblement inhomogènes et lents. Quant aux fluides compressibles faiblement inhomogènes, on établit qu'ils se comportent essentiellement comme des fluides à densité constante dès lors que l'on considère des écoulements lents et de circulation nulle.