Cette thèse est consacrée à l’étude du transport branché, de problèmes variationnels qui y sont liés et de structures fractales qui peuvent y apparaître. Le problème du transport branché consiste à connecter deux mesures de même masse par le biais d’un réseau en minimisant un certain coût, qui sera pour notre étude proportionnel à mLα afin de déplacer une masse m sur une distance L. Plusieurs modèles continus ont été proposés pour formuler le problème, et on s’intéresse plus particulièrement aux deux grands types de modèles statiques : le modèle Lagrangien et le modèle Eulérien, avec une emphase sur le premier. Après avoir posé proprement les bases de ces modèles, on établit rigoureusement leur équivalence en utilisant une décomposition de Smirnov des mesures vectorielles à divergence mesure. On s’intéresse par la suite à un problème d’optimisation de forme lié au transport branché qui consiste à déterminer les ensembles de volume 1 les plus proches de l’origine au sens du transport branché. On démontre l’existence d’une solution, décrite comme un ensemble de sous-niveau de la fonction paysage, désormais standard en transport branché. La régularité Hölder de la fonction paysage, obtenue ici sans hypothèse de régularité a priori sur la solution considérée, permet d’obtenir une borne supérieure sur la dimension de Minkowski de son bord, qui est non-entière et dont on conjecture qu’elle en est la dimension exacte. Des simulations numériques, basées sur une approximation variationnelle à la Modica-Mortola de la fonctionnelle du transport branché, ont été effectuées dans le but d’étayer cette conjecture. Une dernière partie de la thèse se concentre sur la fonction paysage, essentielle à l’étude de problèmes variationnels faisant intervenir le transport branché en ce sens qu’elle apparaît comme une variation première du coût d’irrigation. Le but est d’étendre sa définition et ses propriétés fondamentales au cas d’une source étendue, ce à quoi l’on parvient dans le cas d’un réseau possédant un système fini de racines, par exemple pour des mesures à supports disjoints. On donne une définition satisfaisante de la fonction paysage dans ce cas, qui vérifie en particulier la propriété de variation première et on démontre sa régularité Hölder sous des hypothèses raisonnables sur les mesures à connecter. / This thesis is devoted to the study of branched transport, related variational problems and fractal structures that are likely to arise. The branched transport problem consists in connecting two measures of same mass through a network minimizing a certain cost, which in our study will be proportional to mLα in order to move a mass m over a distance L. Several continuous models have been proposed to formulate this problem, and we focus on the two main static models : the Lagrangian and the Eulerian ones, with an emphasis on the first one. After setting properly the bases for these models, we establish rigorously their equivalence using a Smirnov decomposition of vector measures whose divergence is a measure. Secondly, we study a shape optimization problem related to branched transport which consists in finding the sets of unit volume which are closest to the origin in the sense of branched transport. We prove existence of a solution, described as a sublevel set of the landscape function, now standard in branched transport. The Hölder regularity of the landscape function, obtained here without a priori hypotheses on the considered solution, allows us to obtain an upper bound on the Minkowski dimension of its boundary, which is non-integer and which we conjecture to be its exact dimension. Numerical simulations, based on a variational approximation a la Modica-Mortola of the branched transport functional, have been made to support this conjecture. The last part of the thesis focuses on the landscape function, which is essential to the study of variational problems involving branched transport as it appears as a first variation of the irrigation cost. The goal is to extend its definition and fundamental properties to the case of an extended source, which we achieve in the case of networks with finite root systems, for instance if the measures have disjoint supports. We give a satisfying definition of the landscape function in that case, which satisfies the first variation property and we prove its Hölder regularity under reasonable assumptions on the measures we want to connect.

In Chapter 1 the classical secretary problem is introduced. Chapters 2 and 3 are variations of this problem. Chapter 2, discusses the problem of maximizing the probability of stopping with one of the two highest values in a Bernoulli random walk with arbitrary parameter p and finite time horizon n. The optimal strategy (continue or stop) depends on a sequence of threshold values (critical probabilities) which has an oscillating pattern. Several properties of this sequence have been proved by Dr. Allaart. Further properties have been recently proved. In Chapter 3, a gambler will observe a finite sequence of continuous random variables. After he observes a value he must decide to stop or continue taking observations. He can play two different games A) Win at the maximum or B) Win within a proportion of the maximum. In the first section the sequence to be observed is independent. It is shown that for each n>1, theoptimal win probability in game A is bounded below by (1-1/n)^{n-1}. It is accomplished by reducing the problem to that of choosing the maximum of a special sequence of two-valued random variables and applying the sum-the-odds theorem of Bruss (2000). Secondly, it is assumed the sequence is i.i.d. The best lower bounds are provided for the winning probabilities in game B given any continuous distribution. These bounds are the optimal win probabilities of a game A which was examined by Gilbert and Mosteller (1966).

In Canada, more than 1.11 TWh of energy per year is generated by diesel generators in off-grid remote areas. Delivering energy to these territories always has a high cost for the local and federal governments both financially and environmentally. Substituting fossil fuels with clean energies is the solution. However, the unreliability and intermittency of renewable energies (RE) are always challenging issues that need to be solved. Zinc air flow battery (ZAFB) with decoupled power and energy capacity can bring sustainability and reliability for microgrids. In this study, an efficient model was developed for ZAFB, which is applicable for large-scale modeling, and incorporated in microgrid modeling. A bilevel optimization approach was implemented in the microgrid model to find the optimal size and control of the microgrid simultaneously over the project lifetime. Using model predictive control (MPC) and based on user-defined foresight horizon and known information like energy demand and RE resources, the control model decides the future changes in microgrid components. This tool is used to propose the best microgrid design for these communities to reduce or eliminate their dependency on fossil fuels. The functionality of this tool was evaluated by three case studies in British Columbia: Blind Channel, Hot Springs Cove and Moresby Island. Zero CO2 emission and zero fuel consumption were achieved by a 100% RE microgrid consisting of wind and tidal turbines and large ZAFB. The net present cost (NPC) of this system and cost of energy are 39 – 46 % and 55 – 60 % less than the base case costs in which diesel is the main energy source. ZAFB with a longer storage duration (50 – 60 hours) satisfies 17 – 23% of annual energy demand in these case studies. / Graduate

Les actionneurs piézoélectriques sont très utilisés pour les systèmes de positionnement pour des tâches à l'échelle micro/nanométrique en raison de leur haute résolution (sub-micrométrique), leur grande bande passante, et une densité de force élevée. Cependant, ils sont caractérisés par des non-linéarités telles que l'hystérésis et la dérive lente, par une grande sensibilité à l’environnement, et pour certains par des comportements oscillatoires. Ces caractéristiques ont un impact considérable sur les tâches que ces actionneurs doivent effectuer et leur contrôle reste souvent difficile. Différents correcteurs robustes ont été développés pour contrôler les actionneurs piézoélectriques. Il s'agit notamment de l'approche grand gain, des approches H-inf, des approches de contrôle basée sur l'observation des perturbations, ...etc. Ces techniques ont démontré une amélioration significative des performances mais mènent souvent à des correcteurs d'ordre élevé qui sont difficiles à mettre en œuvre. Cette thèse consiste à développer des correcteurs pour des actionneurs piézoélectriques en combinant l'analyse d'intervalle et les techniques classiques de commande.Les avantages principaux d’utiliser des intervalles est qu'ils permettent de modéliser facilement les incertitudes paramétriques en les limitant par des bornes. Par ailleurs, les travaux existants démontrent qu’il est possible de synthétiser de manière plus simplifiée des correcteurs robustes d’ordre faible, c-à-d ordre inférieur à celui du modèle. L'état de l'art sur l'utilisation des techniques par intervalle pour la synthèse de correcteurs peut être présenté en deux catégories : les techniques par intervalle basées sur des fonctions de transfert, et les techniques par intervalle basées sur la représentation d’état. Les techniques par intervalle basées sur les fonctions de transfert sont actuellement limitées pour modéliser et synthétiser des correcteurs pour des systèmes monovariables incertains tandis que les techniques basées sur la représentation d'état sont bien adaptées pour des systèmes multivariables incertains. Néanmoins, ces travaux existants pour des systèmes multivariables sont limités aux modèles avec des matrices d'état et d'entrée de structures spéciales. En outre, elles ne portent que sur le degré de stabilité du système en boucle fermée et ne prennent pas donc en compte des spécifications sur les performances. Cette thèse développe des outils de synthèse de correcteurs robustes pour des systèmes multivariables à incertitudes paramétriques dans l’approche d’état par intervalle sans structure particulière et en considérant à priori des performances. Des validations expérimentales sur différents actionneurs piézoélectriques, et ce en commande en position et en force, sont efféctuées. Enfin, la thèse propose également l’extension des observateurs à entrée inconnue pour les systèmes par intervalle afin de compléter les techniques de commande proposées. / Piezoelectric actuators are widely used at micro/nanoscale because of their simpleconfiguration, high resolution (sub-nanometric), high speed (large bandwidth upto 1kHz), and high force density. However, they are characterized by some nonlinearitiessuch as hysteresis, internal friction and creep,...etc. These characteristicsconsiderably impact the dynamics of the piezoactuators which makes the controlof these systems not a trivial task. Various robust controllers have been developedto control piezoelectric actuators. These include high gain feedback approach, H1approach, disturbance observer based control approach,...etc. Those techniquesdemonstrated a significant improvement of the control performance, but they oftenderive controllers with high-order which are difficult for implementation. Tobypass this limitation, we focus on the thesis on combining interval analysis withclassical controller design techniques to obtain a low order controllers. The mainadvantage of intervals is that they permit to model parametric uncertainties easilyby bounding them. Furthermore, the process of modeling the system uncertaintiesby intervals makes the synthesis of robust controller with low order relatively easy.The state of the art on the use of interval techniques to design and derive robustcontrollers for uncertain system can be divided into two categories: intervaltransfer functions based approaches and interval state-space representation basedapproaches. Interval transfer functions based designs have been widely used tomodel and to control SISO (Single Input single Output) systems subjected to uncertainties.These approaches make the synthesis of robust controllers for suchsystems easy with providing good performance. However, the current work thatuse interval transfer functions are limited to systems in SISO case. In the otherside, the state-space based approaches have been shown to be well adapted tosynthesis robust controllers for multivariable systems. Nevertheless, the excitingworks are limited to systems with state and input matrices of special structures.Furthermore, they address only the degree of stability of the closed-loop systemwithout discussing performance specification. In order to make the design of robustcontroller using interval state-space approach possible for any interval state-spacestructure, this thesis will explore the interval state-space control design using robustpole assignment technique. This proposed approach will guarantee the stability and the desired performance of the closed-loop system also it allows to obtaina low order controller.For this matter, an algorithm based on Set Inversion Via Interval Analysis(SIVIA) combined with interval eigenvalues computation is proposed to seek for aset of robust gains. This recursive SIVIA-based algorithm allows to approximatewith subpaving the set solutions [K] that satisfy the inclusion of the eigenvaluesof the closed-loop system in a desired region in the complex plan. Furthermore,simple algorithms are proposed to find the optimal feedback gains among the rangeof robust gains [K] as well as the range of the gains that satisfy input constraints,all with the help of interval analysis. Finally, in order to improve the controllerperformance, we were directed our attention to nonlinear control approaches andespecially interval sliding mode control (ISMC) design using interval observers.The effectiveness of the proposed approaches are tested by a real experimentationon several platforms developed in our laboratory to achieve robust performance.

L'espace de Wasserstein est l'ensemble des mesures de probabilité définies sur un domaine fixé et muni de la distance de Wasserstein quadratique. Dans ce travail, nous étudions des problèmes variationnels dans lesquels les inconnues sont des applications à valeurs dans l'espace de Wasserstein.Quand l'espace de départ est un segment, c'est-à-dire quand les inconnues sont des courbes à valeurs dans l'espace de Wasserstein, nous nous intéressons à des modèles où, en plus de l'action des courbes, des termes pénalisant les configurations de congestion sont présents. Nous développons des techniques permettant d'extraire de la régularité à partir de l'interaction entre l'évolution optimale de la densité (minimisation de l'action) et la pénalisation de la congestion, et nous les appliquons à l'étude des jeux à champ moyen et de la formulation variationelle des équations d'Euler.Quand l'espace de départ n'est plus seulement un segment mais un domaine de l'espace euclidien, nous considérons seulement le problème de Dirichlet, c'est-à-dire la minimisation de l'action (qui peut être appelée l'énergie de Dirichlet) parmi toutes les applications dont les valeurs sur le bord du domaine de départ sont fixées. Les solutions sont appelées les applications harmoniques à valeurs dans l'espace de Wasserstein. Nous montrons que les différentes définitions de l'énergie de Dirichlet présentes dans la littérature sont en fait équivalentes; que le problème de Dirichlet est bien posé sous des hypothèses assez faibles; que le principe de superposition est mis en échec lorsque l'espace de départ n'est pas un segment; que l'on peut formuler une sorte de principe du maximum; et nous proposons une méthode numérique pour calculer ces applications harmoniques. / The Wasserstein space is the space of probability measures over a given domain endowed with the quadratic Wasserstein distance. In this work, we study variational problems where the unknowns are mappings valued in the Wasserstein space. When the source space is a segment, i.e. when the unknowns are curves valued in the Wasserstein space, we are interested in models where, in addition to the action of the curves, there are some terms which penalize congested configurations. We develop techniques to extract regularity from the minimizers thanks to the interplay between optimal density evolution (minimization of the action) and penalization of congestion, and we apply them to the study of Mean Field Games and the variational formulation of the Euler equations. When the source space is no longer a segment but a domain of a Euclidean space, we consider only the Dirichlet problem, i.e. the minimization of the action (which can be called the Dirichlet energy) among mappings sharing a fixed value on the boundary of the source space. The solutions are called harmonic mappings valued in the Wasserstein space. We prove that the different definitions of the Dirichlet energy in the literature turn out to be equivalent; that the Dirichlet problem is well-posed under mild assumptions; that the superposition principle fails if the source space is no longer a segment; that a sort of maximum principle holds; and we provide a numerical method to compute these harmonic mappings.

Inthis degree project, a solution on a coarse grid is recovered by fitting apartial differential equation to a few known data points. The PDE to consideris the heat equation and the Dupire’s equation with their synthetic data,including synthetic data from the Black-Scholes formula. The approach to fit aPDE is by optimal control to derive discrete approximations to regularized Hamiltoncharacteristic equations to which discrete stepping schemes, and parameters forsmoothness, are examined. By non-parametric numerical implementation thedervied method is tested and then a few suggestions on possible improvementsare given / I detta examensarbete återskapas en lösning på ett glest rutnät genom att anpassa en partiell differentialekvation till några givna datapunkter. De partiella differentialekvationer med deras motsvarande syntetiska data som betraktas är värmeledningsekvationen och Dupires ekvation inklusive syntetiska data från Black-Scholes formel. Tillvägagångssättet att anpassa en PDE är att med hjälp av optimal styrning härleda diskreta approximationer på ett system av regulariserade Hamilton karakteristiska ekvationer till vilka olika diskreta stegmetoder och parametrar för släthet undersöks. Med en icke-parametrisk numerisk implementation prövas den härledda metoden och slutligen föreslås möjliga förbättringar till metoden.

L'objectif de ce manuscrit est de présenter mes travaux concernant la modélisation des ablations thermiques par ultrasons focalisés. La méthode de simulation du faisceau acoustique, fondée sur l'utilisation de la bibliothèque k-Wave, est appliquée à un cas concret de propagation des ultrasons à travers une couche de tissu superficiel. Des mesures à l'hydrophone réalisées dans différentes configurations sur des échantillons biologiques fournissent une validation en régime linéaire. A partir de ces résultats, l'influence des tissus superficiels sur la focalisation est évaluée en fonction de la géométrie du problème grâce à des simulations non linéaires.La modélisation thermique des traitements est ensuite discutée avec la volonté de réaliser des simulations thermiques réellement quantitatives. En particulier, un modèle équivalent de la déposition de chaleur en présence d'ébullition est proposé et validé grâce à l'utilisation de données expérimentales originales, diversifiées et peu coûteuses à acquérir.Finalement, un algorithme d'optimisation fondé sur le principe du maximum de Pontryagin est proposé afin d'optimiser la durée des traitements. L'approche étudiée consiste à optimiser la trajectoire du point focal pour maximiser l'efficacité de la déposition de chaleur. A travers une série d'exemples, les avantages et les limites de l'algorithme proposé sont discutés. / This manuscript aims at discussing the complex issue of modeling high-intensity focused ultrasound thermal ablations. An acoustical simulation method, based on the use of the k-Wave library, is described and applied to the description of the interaction between the acoustic beam and the superficial tissue layers. It is validated in the linear domain based on hydrophone measurements realized in different configurations with biological samples. Nonlinear simulations are subsequently used to evaluate the influence of the tissue geometry on the beam focusing.The thermal modeling of the treatment is then discussed with intent to design a truly quantitative model. An equivalent model of the modified heat deposition pattern in presence of boiling is presented and validated based on the use of original, diverse and unexpensive data.Finally, an algorithm is proposed to optimize the focal spot trajectory in order to maximize the heat deposition efficiency, thus reducing treatment time. The advantages and the limits of the approach are discussed based on different examples.

Nous étudions dans cette thèse divers aspects du transport optimal martingale en dimension plus grande que un, de la dualité à la structure locale, puis nous proposons finalement des méthodes d’approximation numérique.On prouve d’abord l’existence de composantes irréductibles intrinsèques aux transports martingales entre deux mesures données, ainsi que la canonicité de ces composantes. Nous avons ensuite prouvé un résultat de dualité pour le transport optimal martingale en dimension quelconque, la dualité point par point n’est plus vraie mais une forme de dualité quasi-sûre est démontrée. Cette dualité permet de démontrer la possibilité de décomposer le transport optimal quasi-sûre en une série de sous-problèmes de transports optimaux point par point sur chaque composante irréductible. On utilise enfin cette dualité pour démontrer un principe de monotonie martingale, analogue au célèbre principe de monotonie du transport optimal classique. Nous étudions ensuite la structure locale des transports optimaux, déduite de considérations différentielles. On obtient ainsi une caractérisation de cette structure en utilisant des outils de géométrie algébrique réelle. On en déduit la structure des transports optimaux martingales dans le cas des coûts puissances de la norme euclidienne, ce qui permet de résoudre une conjecture qui date de 2015. Finalement, nous avons comparé les méthodes numériques existantes et proposé une nouvelle méthode qui s’avère plus efficace et permet de traiter un problème intrinsèque de la contrainte martingale qu’est le défaut d’ordre convexe. On donne également des techniques pour gérer en pratique les problèmes numériques. / In this thesis, we study various aspects of martingale optimal transport in dimension greater than one, from duality to local structure, and finally we propose numerical approximation methods.We first prove the existence of irreducible intrinsic components to martingal transport between two given measurements, as well as the canonicity of these components. We have then proved a duality result for optimal martingale transport in any dimension, point by-point duality is no longer true but a form of quasi safe duality is demonstrated. This duality makes it possible to demonstrate the possibility of decomposing the quasi-safe optimal transport into a series of optimal transport subproblems point by point on each irreducible component. Finally, this duality is used to demonstrate a principle of martingale monotony, analogous to the famous monotonic principle of classical optimal transport. We then study the local structure of optimal transport, deduced from differential considerations. We thus obtain a characterization of this structure using tools of real algebraic geometry. We deduce the optimal martingal transport structure in the case of the power costs of the Euclidean norm, which makes it possible to solve a conjecture that dates from 2015. Finally, we compared the existingnumerical methods and proposed a new method which proves more efficient and allows to treat an intrinsic problem of the martingale constraint which is the defect of convex order. Techniques are also provided to manage digital problems in practice.

La locomotion anthropomorphe est un processus complexe qui met en jeu un très grand nombre de degrés de liberté, le corps humain disposant de plus de trois cents articulations contre une trentaine chez les robots humanoïdes. Pris dans leur ensemble, ces degrés de liberté montrent une certaine cohérence rendant possible la mise en mouvement du système anthropomorphe et le maintien de son équilibre, dans le but d'éviter la chute. Cette thèse met en lumière les fondements calculatoires à l'origine de cette orchestration. Elle introduit un cadre mathématique unifié permettant à la fois l'étude de la locomotion humaine, et la génération de trajectoires locomotrices pour les robots humanoïdes. Ce cadre consiste en une réduction de la dynamique corps-complet du système pour ne considérer que sa projection autour du centre de gravité, aussi appelée dynamique centroïdale. Bien que réduite, nous montrons que cette dynamique centroïdale joue un rôle central dans la compréhension et la formation des mouvements locomoteurs. Pour ce faire, nous établissons dans un premier temps les conditions d'observabilité de cette dynamique, c'est-à-dire que nous montrons dans quelle mesure cette donnée peut être appréhendée à partir des capteurs couramment employés en biomécanique et en robotique. Forts de ces conditions d'observabilité, nous proposons un estimateur capable de reconstruire la position non-biaisée du centre de gravité. A partir de cet estimateur et de l'acquisition de mouvements de marche sur divers sujets, nous mettons en évidence la présence d'un motif cycloïdal du centre de gravité dans le plan sagittal lorsque l'humain marche de manière nominale, c'est-à-dire sans y penser. La présence de ce motif suggère l'existence d'une synergie motrice jusqu'alors ignorée, soutenant la théorie d'une coordination générale des mouvements pendant la locomotion. La dernière contribution de cette thèse porte sur la locomotion multi-contacts. Les humains ont une agilité remarquable pour effectuer des mouvements locomoteurs qui nécessitent l'utilisation conjointe des bras et des jambes, comme lors de l'ascension d'une paroi rocheuse. Comment doter les robots humanoïdes de telles capacités ? La difficulté n'est certainement pas technologique, puisque les robots actuels sont capables de développer des puissances mécaniques suffisantes. Leurs performances, évaluées tant en termes de qualité des mouvements que de temps de calcul, restent très limitées. Dans cette thèse, nous abordons le problème de génération de trajectoires multi-contacts sous la forme d'un problème de commande optimale. L'intérêt de cette formulation est de partir du modèle réduit de la dynamique centroïdale tout en répondant aux contraintes d'équilibre. L'idée originale consiste à maximiser la vraisemblance de cette dynamique réduite vis-à-vis de la dynamique corps-complet. Elle repose sur l'apprentissage d'une mesure d'occupation qui reflète les capacités cinématiques et dynamiques du robot. Elle est effective : l'algorithmique qui en découle est compatible avec des applications temps réel. L'approche a été évaluée avec succès sur le robot humanoïde HRP-2, sur plusieurs modes de locomotions, démontrant ainsi sa polyvalence. / Anthropomorphic locomotion is a complex process that involves a very large number of degrees of freedom, the human body having more than three hundred joints against thirty in humanoid robots. Taken as a whole, these degrees of freedom show a certain coherence making it possible to set the anthropomorphic system in motion and maintain its equilibrium, in order to avoid falling. This thesis highlights the computational foundations behind this orchestration. It introduces a unified mathematical framework allowing both the study of human locomotion and the generation of locomotive trajectories for humanoid robots. This framework consists of a reduction of the body-complete dynamics of the system to consider only its projection around the center of gravity, also called centroid dynamics. Although reduced, we show that this centroidal dynamics plays a central role in the understanding and formation of locomotive movements. To do this, we first establish the observability conditions of this dynamic, that is to say that we show to what extent this data can be apprehended from sensors commonly used in biomechanics and robotics. Based on these observability conditions, we propose an estimator able to reconstruct the unbiased position of the center of gravity. From this estimator and the acquisition of walking motions on various subjects, we highlight the presence of a cycloidal pattern of the center of gravity in the sagittal plane when the human is walking nominally, that is, to say without thinking. The presence of this motif suggests the existence of a motor synergy hitherto unknown, supporting the theory of a general coordination of movements during locomotion. The last contribution of this thesis is on multi-contact locomotion. Humans have remarkable agility to perform locomotive movements that require joint use of the arms and legs, such as when climbing a rock wall. How to equip humanoid robots with such capabilities? The difficulty is certainly not technological, since current robots are able to develop sufficient mechanical powers. Their performances, evaluated both in terms of quality of movement and computing time, remain very limited. In this thesis, we address the problem of generating multi-contact trajectories in the form of an optimal control problem. The interest of this formulation is to start from the reduced model of centroid dynamics while responding to equilibrium constraints. The original idea is to maximize the likelihood of this reduced dynamic with respect to body-complete dynamics. It is based on learning a measurement of occupation that reflects the kinematic and dynamic capabilities of the robot. It is effective: the resulting algorithmic is compatible with real-time applications. The approach has been successfully evaluated on the humanoid robot HRP-2, on several modes of locomotion, thus demonstrating its versatility.

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