Vincularemos Matemática y Ecología usando un sistema no lineal parabólico fuertemente acoplado el cual se presenta en din amicas poblacionales. Aquí demostramos la existencia de soluciones clásicas globales cuando la dimensión del espacio es n < 10. Con ciertas condiciones en los coeficientes de las funciones de reacción, la convergencia de soluciones es establecida por el sistema mediante una función de Liapunov. -- PALABRAS CLAVES: DIFUSION CRUZADA, ESPACIOS DE BANACH, ESPACIOS DE HOLDER, ESPACIOS DE SOBOLEV ESTIMATIVAS / -- We vinculate Mathematics and Ecology using a nonlinear parabolic strong coupled system which is presented in population dynamics. Here we demostrate the existence of classical global solutions when the space dimension is n < 10. Under certain conditions on the coe cients of the reaction functions, the convergence of solutions is established for the system with large di usion by constructing a Liapunov function. -- KEY WORDS: CROSS DIFFUSION, BANACH SPACES, HOLDER SPACES SOBOLEV SPACES, ESTIMATES / Tesis

Ingeniero Civil Matemático / La presente memoria busca ser un aporte en el estudio matemático de las ecuaciones de Pitcher, cuya finalidad es predecir la dinámica delictual asociada a robos residenciales. Los supuestos involucrados en su formulación muestran que este modelo constituye una aproximación en el análisis de esta realidad, lejos aún de reflejar a cabalidad su naturaleza. En el modelo están involucradas dos variables. La primera hace referencia a la atractividad de la región, mientras la segunda es la densidad de población criminal presente en el medio. La interacción entre ambas es gobernada por un sistema de ecuaciones diferenciales parabólicas del tipo reacción-difusión, que incluyen términos no lineales. Pitcher también propone incluir como una tercera variable al efecto disuasivo que produce la presencia de una fuerza policial en el medio, pero tal situación no se considerará debido a los alcances de este trabajo. Entender como se comportan las soluciones asociadas a las ecuaciones de Pitcher es fundamental por varios motivos, entre los cuales está situar los focos delictivos (hot spots) dentro de una región. Por ello, dotando al problema de condiciones de borde Neumann, la motivación central de esta memoria es contribuir a un estudio riguroso de la existencia de soluciones no constantes en el caso estacionario. El primer capítulo consta de una revisión y análisis de los modelos de Short et al., Pitcher, y Jones, Brantingham y Chayes, donde se establecen sus principales similitudes y diferencias. A continuación, en el segundo capítulo se presentan y demuestran los dos resultados centrales obtenidos en este trabajo: la existencia de ramas de bifurcación, que dependen tanto de los valores propios simples y positivos del operador $-\lap$ como de los parámetros del problema; y la estabilidad de tales ramas. Ambos resultados se derivan del uso de la teoría de bifurcaciones desarrollada por Shi y Wang y los teoremas clásicos de estabilidad de Crandall y Rabinowitz, y en conjunto proveen mayor información respecto al uso de inestabilidades de Turing en el caso no estacionario. Finalmente, se incluyen algunas simulaciones numéricas que, usando el método de elementos finitos y un algoritmo de punto fijo alternante, permiten visualizar el origen de tales ramas.

El objetivo principal de esta memoria es estudiar algunos problemas inversos en ecuaciones en derivadas parciales mediante el uso de desigualdades de Carleman. Estas últimas son una herramienta muy útil para obtener estabilidad para el problema inverso en torno a una solución regular.