The goal of this dissertation is not only to present works completed and projects initiated and accomplished, but to also attempt to teach some of the material to readers who have limited exposure to condensed matter. I will offer an introduction to two-dimensional transition metal dichalcogenide materials (2D TMDCs) and the mathematics required to understand the research conducted. Some effort will be given on explaining the experimental setups and preparations. Projects that required elaborate sample fabrication and the yielded results will be summarized. These results have heavy implications for the science behind bound electron-hole pairs, the effects of magnetic fields on such pairs, and extracting the useful optical properties from the material systems in which these pairs reside. Specialized fabrication techniques of samples for longer term projects that I led will also be presented, namely those of constructing heterostructures by stacking various 2D TMDCs for exploring the modulated properties of these novel arrangements. The latter portion of this dissertation will cover the nanoscopic dynamics of TMDC heterostructures. The Kramers-Kronig relations will be derived and discussed in detail. Data and results regarding the electronic structure of these materials, their heterostructures, and their custom alloys measured via scanning tunneling microscopy will be presented. Coupled with the measured optical properties, significant numerical quantities that characterize these materials are extracted. There will be several appendices that offer some supplementary information and basic summaries about all the projects that were initiated.

In this thesis, we use first-principles methods to study a class of systems known as strongly correlated materials in which exceptionally strong electron-electron repulsion in the d or f electron shell can lead to intriguing physical properties. The focus is on transition metal oxide and phosphate intercalation materials such as LiₓCoO₂ and LiₓFePO₄, which are employed as the positive electrode in rechargeable Li ion batteries. We also study the transition metal dichalcogenide system VS₂ as a candidate for strong correlation physics with analogous features to the cuprate high-temperature superconductors. Density functional theory (DFT), the standard theory of materials science which can be viewed as an effective single-electron theory, often breaks down for strongly correlated materials. In this thesis, we augment DFT with a more sophisticated many-electron approach known as dynamical mean-field theory (DMFT). We use the resultant DFT+DMFT approach with the numerically exact continuous-time quantum Monte Carlo solver to explore the physics of the materials studied here and probe compositional phase stability and related observables within DFT+DMFT for the first time. The elementary but efficient Hartree-Fock solver for the DMFT equations (i.e., DFT+U) is also utilized in order to cleanly separate the role of dynamical correlations and to better understand the respective methods. With these ab initio methods, we predict the compositional phase stability, average intercalation voltage, Li order-disorder transition temperature, structural phase stability, phonons, magnetic properties, and other important characteristics of strongly correlated materials. At the DFT+U level of theory, electronic correlations destabilize the intermediate-x compounds of cathode materials via enhanced ordering of the endmember d orbitals. DFT+U is qualitatively consistent with experiments for phase stable LixCoO₂, phase separating LiₓFePO₄, and phase stable LiₓCoPO₄. In Li₁/₂CoO₂, which is not charge ordered in experiments, the charge ordering predicted by DFT+U primarily stems from the approximate interaction, is necessary to qualitatively capture the phase stability, and erroneously predicts an insulating state and an overestimated Li order-disorder transition temperature. DFT+DMFT calculations describe LiCoO₂ as a band insulator with appreciable correlations within the Eg states and CoO₂ as a moderately correlated Fermi liquid; for both these systems we find evidence for appreciable charge and spin fluctuations. Dynamical correlations substantially dampen changes in the number of d electrons per site and the total energy as compared to DFT+U, which alters the predicted battery voltage between the two methods. We find that our DFT+DMFT results underestimate the average intercalation voltage for LiₓCoO₂ and discuss possible reasons for the discrepancy. In monolayer VS₂, a combination of crystal field splitting and direct V-V hopping leads to an isolated low-energy band for the trigonal prismatic phase within non-spin-polarized DFT. Ferromagnetism spin splits this band within spin DFT and leads to a S=1/2 ferromagnetic Stoner insulator. DFT+U opens this gap and leads to Mott insulating behavior, though for sufficiently high U an octahedral phase becomes favored. Using the known charge density wave of this octahedral phase, we assess the validity of DFT and DFT+U in this class of materials. If realized, trigonal prismatic VS₂ could be experimentally probed in an unprecedented fashion due to its monolayer nature.

Neste trabalho, utilizamos o método RS-LMTO-ASA (Real Space-Linear Muffin Tin Orbitals-Atomic Sphere Approximation) para estudar estrutura eletrônica em torno de vacâncias em Al e Cu. Calculamos também o gradiente de campo elétrico (GCE) no núcleo, para átomos vizinhos às vacâncias e divacâncias. Nossos resultados estão em boa concordância com os experimentais, quando existentes. Cálculos de GCE são de grande interesse experimental, pois através de comparações com resultados teóricos, é possível identificar com mais segurança o defeito medido no material, ou seja, se o sinal vem de uma monovacância, divacância, ou qualquer outro defeito. O RS-LMTO-ASA, baseado no formalismo LMTO-ASA e no método de recorrência, vem sendo desenvolvido por nosso grupo no IFUSP com o objetivo de tratar metais de estrutura complexa, seja devido ao grande número de átomos por cela, seja devido à quebra de periodicidade, como no caso de amorfos, vacâncias, impurezas, etc. Neste trabalho, o RS-LMTO-ASA, até agora aplicado a metais de transição, é utilizado no estudo de um metal simples, o Al. Também, pela primeira vez, a esfera vazia é utilizada num tratamento de espaço direto. Esta experiência será aproveitada no futuro para tratar outros sistemas, onde a esfera vazia seja útil. / In this work, the RS-LMTO-ASA (Real Space Linear Muffin Tin Orbitals Atomic Sphere Approximation) method has been applied to obtain the EFG (Electric Field Gradient) at the neighborhood of vacancies in Al and Cu. The RS-LMTO-ASA is based on the LMTO-ASA formalism and the recursion method, and it has been applied to obtain the electronic structure of complex metallic systems. We have improved the method to perform calculations id the direct space on systems with empty spheres. The results are in good agreement with experimental ones. They are useful to classify several kinds of defects, which are not directly identified by experimental measures, and understand their physical properties.

É apresentado um estudo da estrutura eletrônica e de processos de espalhamento em super-redes semicondutoras degeneradas. Os processos de espalhamento foram estudados em termos do seu efeito sobre os fenômenos magneto-oscilatórios (em particular, o efeito Shubnikov-de Haas), tanto no aspecto teórico como no experimental. Foi desenvolvida uma metodologia que permite a extração dos parâmetros fundamentais para super-redes -dopadas (o período d, a densidade de dopagem por período, N IND.d, e a espessura das camadas dopadas IND.d) com base em medidas de Shubnikov-de Haas (SdH) com o campo magnético aplicado paralelamente aos eixos de crescimento das super-redes e em medidas de Capacitância-Voltagem(CV). Foi demonstrado que os períodos de oscilação CV correspondem aos períodos de dopagern d. A partir da transformada de Fourier das oscilações de SdH são obtidas as áreas extremas da superfície de Fermi que, via a estrutura eletrônica calculada, fornecem os demais parâmetros N IND.d e IND.d. As oscilações de SdH devidas a cada uma das minibandas populadas foram isoladas do restante do espectro através de técnicas de transformada de Fourier. A partir de um modelo desenvolvido recentemente, o qual inclui a estrutura eletrônica das super-redes na forma de linha das oscilações de SdR, as mobilidades quânticas associadas aos tempos de meia vida no nível de Fermi nas várias minibandas eletrônicas foram determinadas. Os estudos foram efetuados em função do período da super-rede, os quais determinam o grau de acoplamento entre poços vizinhos. Uma posterior comparação das mobilidades quânticas obtidas a partir do espectro de SdH com a teoria Random Phase Approximation (RPA) desenvolvida para o espalhamento por centros coulombianos blindados em sistemas periodicamente -dopados, com espessura das camadas dopadas praticamente nula, mostrou um acordo bastante bom. Adicionalmente, cálculos teóricos em sistemas -dopados indicam que as mobilidades quântica e de transporte são sensíveis à espessura e distribuição espacial da camada dopada e à concentração de aceitadores residuais em sistemas realísticos, Também foram efetuados cálculos teóricos para as mobilidades quântica e de transporte em estruturas E-dopadas submetidas à aplicação de um potencial externo as quais mostram que, no estado atual da teoria na literatura para sistemas com múltiplas subbandas, a teoria RPA é aquela de escolha para a descrição dos fenômenos de espalhamento por impurezas ionizadas em sistemas bi-dimensionais. Por fim, alguns tópicos que abordam a obtenção das mobilidades de transporte em sistemas -dopados são discutidos. / It is presented a study of the electronic structure and scattering processes in degenerate semiconductor superlattices, The scattering processes were studied in terms of their effect on the magneto--oscillatory phenomena (in particular, the Shubnikov-de Haas effect), both theoretical and experimentally. An approach was developed to allow the extraction of the fundamental parameters for -doped superlattices (the period d, the doping density per period, N IND.d, and the doped layers thicknesses IND.d) from Shubnikov-de Haas (SdH) measurements with magnetic field applied along the superlattice growth axis and from Capacitance-Voltage (CV) measurements. It was demonstrated that the CV oscillation periods correspond to the doping period d, From the Fourier transform of SdH oscillations the extremal cross sectional areas of the Fermi surface are obtained and, together with the calculated electronic structure, provide the additional parameters N IND.d and IND.d. The oscillations due to each populated miniband were isolated from the rest of the spectrurn by Fourier transform techniques. By means of a recently developed model, which includes the superlattice electronic structure in the lineshape of the SdH oscillations, the quantum mobi1ities associated to the quantum lifetimes at the Fermi level for each miniband were determined. The behaviour of the quantum mobilities were studied as a function of the superlattice period, which determines the coupling strength between adjacent wells. The comparison between the quantum mobilities obtained from the SdH spectrum and the Random Phase Approximation(RPA) theory developed for the screened Coulomb centers in systems periodically -doped, with vanishing thickness of the doped layers, showed a very good agreement. Furthermore, theoretical calculations in -doped systems show that the quantum and the transport mobilities are sensible to the thickness and to the spatial profile of the doped layer, and to the concentration of residual acceptors in realistic systems. The quantum and the transport mobilities were calculated for gated -doped structures and it\'s shown that, in the actual state-of-art of the theory for systems with multiple subbands, the RPA theory is that of choice to describe the scattering phenomena by ionized impurities in two-dimensional systems. Finally, some topics involving the extraction of transport mobilities for multiple subbands systems are discussed.

Neste trabalho investigamos a estrutura eletrônica de fios quânticos formados por distribuição de carga espacial, obtidos a partir da incorporação de dopantes nos degraus que delimitam planos vicinais em semicondutores. Estudos experimentais recentes, que combinam o crescimento epitaxial em planos vicinais (terraços) sobre o GaAs com as técnica de dopagem planar abrupta, sugerem que a incorporação do dopante (Silício) ocorre preferencialmente ao longo das linhas que delimitam os planos vicinais deste semicondutor. Baseados em resultados teóricos recentes, que sugerem que a aproximação semiclássica de Thomas-Fermi é capaz de reproduzir o potencial auto-consciente de sistemas eletrônicos criados a partir de distribuições de carga de origem puramente espacial, vários efeitos tais como: difusão de dopantes, temperatura finita e densidade residual de aceitadores puderam ser investigados neste nível de aproximação. As equações de Kohn-Sham na aproximação de densidade local (T=0K) foram também empregadas com o propósito de avaliar-se a possível influência de efeitos de não localidade do funcional energia cinética e efeitos de muitos corpos (troca e correlação) que foram ignorados pela abordagem semiclássica. / In this work we investigate the electronic structure of space-charge quantum wires obtained via attachment of donors in misorientation steps of semiconductor vicinal surfaces. Recent experimental studies, combining epitaxial growth on GaAs (100) vicinal surfaces (terraces) with the ?-doping technique, suggests that the incorporation of Silicon donors is preferential along the lines that delimit the vicinal terraces in this semiconductor. Based on recent theoretical results suggesting that the Thomas-Fermi is a reliable approximation for the self-consistent potential fo space-charge layers, we have employed this approximation to study the possible influence of various factors such as diffusion of dopants, finite temperature and residual density of acceptors on the electronic structure of these wires. The Kohn-Sham equations, within the local density approximation (T=0K), were also solved as the propose of evaluating the influence of effects due to the non-locality of the kinectic energy densities functional and many body effects (exchange and correlation) that were ignored in the semiclassical approximation.

Neste trabalho, utilizamos o método RS-LMTO-ASA (Real Space-Linear Muffin Tin Orbitals-Atomic Sphere Approximation) para estudar estrutura eletrônica em torno de vacâncias em Al e Cu. Calculamos também o gradiente de campo elétrico (GCE) no núcleo, para átomos vizinhos às vacâncias e divacâncias. Nossos resultados estão em boa concordância com os experimentais, quando existentes. Cálculos de GCE são de grande interesse experimental, pois através de comparações com resultados teóricos, é possível identificar com mais segurança o defeito medido no material, ou seja, se o sinal vem de uma monovacância, divacância, ou qualquer outro defeito. O RS-LMTO-ASA, baseado no formalismo LMTO-ASA e no método de recorrência, vem sendo desenvolvido por nosso grupo no IFUSP com o objetivo de tratar metais de estrutura complexa, seja devido ao grande número de átomos por cela, seja devido à quebra de periodicidade, como no caso de amorfos, vacâncias, impurezas, etc. Neste trabalho, o RS-LMTO-ASA, até agora aplicado a metais de transição, é utilizado no estudo de um metal simples, o Al. Também, pela primeira vez, a esfera vazia é utilizada num tratamento de espaço direto. Esta experiência será aproveitada no futuro para tratar outros sistemas, onde a esfera vazia seja útil. / In this work, the RS-LMTO-ASA (Real Space Linear Muffin Tin Orbitals Atomic Sphere Approximation) method has been applied to obtain the EFG (Electric Field Gradient) at the neighborhood of vacancies in Al and Cu. The RS-LMTO-ASA is based on the LMTO-ASA formalism and the recursion method, and it has been applied to obtain the electronic structure of complex metallic systems. We have improved the method to perform calculations id the direct space on systems with empty spheres. The results are in good agreement with experimental ones. They are useful to classify several kinds of defects, which are not directly identified by experimental measures, and understand their physical properties.

É apresentado um estudo da estrutura eletrônica e de processos de espalhamento em super-redes semicondutoras degeneradas. Os processos de espalhamento foram estudados em termos do seu efeito sobre os fenômenos magneto-oscilatórios (em particular, o efeito Shubnikov-de Haas), tanto no aspecto teórico como no experimental. Foi desenvolvida uma metodologia que permite a extração dos parâmetros fundamentais para super-redes -dopadas (o período d, a densidade de dopagem por período, N IND.d, e a espessura das camadas dopadas IND.d) com base em medidas de Shubnikov-de Haas (SdH) com o campo magnético aplicado paralelamente aos eixos de crescimento das super-redes e em medidas de Capacitância-Voltagem(CV). Foi demonstrado que os períodos de oscilação CV correspondem aos períodos de dopagern d. A partir da transformada de Fourier das oscilações de SdH são obtidas as áreas extremas da superfície de Fermi que, via a estrutura eletrônica calculada, fornecem os demais parâmetros N IND.d e IND.d. As oscilações de SdH devidas a cada uma das minibandas populadas foram isoladas do restante do espectro através de técnicas de transformada de Fourier. A partir de um modelo desenvolvido recentemente, o qual inclui a estrutura eletrônica das super-redes na forma de linha das oscilações de SdR, as mobilidades quânticas associadas aos tempos de meia vida no nível de Fermi nas várias minibandas eletrônicas foram determinadas. Os estudos foram efetuados em função do período da super-rede, os quais determinam o grau de acoplamento entre poços vizinhos. Uma posterior comparação das mobilidades quânticas obtidas a partir do espectro de SdH com a teoria Random Phase Approximation (RPA) desenvolvida para o espalhamento por centros coulombianos blindados em sistemas periodicamente -dopados, com espessura das camadas dopadas praticamente nula, mostrou um acordo bastante bom. Adicionalmente, cálculos teóricos em sistemas -dopados indicam que as mobilidades quântica e de transporte são sensíveis à espessura e distribuição espacial da camada dopada e à concentração de aceitadores residuais em sistemas realísticos, Também foram efetuados cálculos teóricos para as mobilidades quântica e de transporte em estruturas E-dopadas submetidas à aplicação de um potencial externo as quais mostram que, no estado atual da teoria na literatura para sistemas com múltiplas subbandas, a teoria RPA é aquela de escolha para a descrição dos fenômenos de espalhamento por impurezas ionizadas em sistemas bi-dimensionais. Por fim, alguns tópicos que abordam a obtenção das mobilidades de transporte em sistemas -dopados são discutidos. / It is presented a study of the electronic structure and scattering processes in degenerate semiconductor superlattices, The scattering processes were studied in terms of their effect on the magneto--oscillatory phenomena (in particular, the Shubnikov-de Haas effect), both theoretical and experimentally. An approach was developed to allow the extraction of the fundamental parameters for -doped superlattices (the period d, the doping density per period, N IND.d, and the doped layers thicknesses IND.d) from Shubnikov-de Haas (SdH) measurements with magnetic field applied along the superlattice growth axis and from Capacitance-Voltage (CV) measurements. It was demonstrated that the CV oscillation periods correspond to the doping period d, From the Fourier transform of SdH oscillations the extremal cross sectional areas of the Fermi surface are obtained and, together with the calculated electronic structure, provide the additional parameters N IND.d and IND.d. The oscillations due to each populated miniband were isolated from the rest of the spectrurn by Fourier transform techniques. By means of a recently developed model, which includes the superlattice electronic structure in the lineshape of the SdH oscillations, the quantum mobi1ities associated to the quantum lifetimes at the Fermi level for each miniband were determined. The behaviour of the quantum mobilities were studied as a function of the superlattice period, which determines the coupling strength between adjacent wells. The comparison between the quantum mobilities obtained from the SdH spectrum and the Random Phase Approximation(RPA) theory developed for the screened Coulomb centers in systems periodically -doped, with vanishing thickness of the doped layers, showed a very good agreement. Furthermore, theoretical calculations in -doped systems show that the quantum and the transport mobilities are sensible to the thickness and to the spatial profile of the doped layer, and to the concentration of residual acceptors in realistic systems. The quantum and the transport mobilities were calculated for gated -doped structures and it\'s shown that, in the actual state-of-art of the theory for systems with multiple subbands, the RPA theory is that of choice to describe the scattering phenomena by ionized impurities in two-dimensional systems. Finally, some topics involving the extraction of transport mobilities for multiple subbands systems are discussed.

Neste trabalho, apresentamos um metodo baseado no formalismo lmto-asa (combinacao linear de orbitais muffin-tin na aproximacao de esfera atomica) e no metodo de recorrencia, que possibilita calculos autoconsistentes de primeiros principios com polarizacao de spin no espaco direto. Para testar o metodo, calculamos a estrutura eletronica dos sistemas FENI IND.5 (ferromagnetico) e FEMN (antiferromagnetico). Os resultados mostraram boa concordancia com os obtidos por outros metodos. A fim de ilustrar o metodo aplicado a um sistema nao-periodico, calculamos a estrutura eletronica e a distribuicao local de momentos magneticos para um sistema constituido de uma impureza substitucional de FE numa matriz CU. Nossos resultados para momento magnetico e densidade de estados local para o sitio de impureza, concordam bem com resultados via metodo kkr-funcao de gren e experimentais, da literatura. O metodo aqui descrito e bastante flexivel e e muito util na obtencao de momentos magneticos locais em sistemas complexos / In this work we present an approach based on the linear muffin-tin orbital (LMTO) formalism in the atomic sphere approximation (ASA) and on the recursion method which allows us to perform first principies calculations in real space. To test the method, we obtain the electronic structure of ferromagnetic FeNi3 e antiferromagnetic FeMn. The results compare well with those obtained by others methods. To illustrate the scheme applied to a non-periodic system, we calculate the electronic structure and local magnetic moments for a substitutional impurity of Fe in a Cu host. Our results for the magnetic moment and local density of states at the Fe site, agree well with KKR-Green functions and experimental results in the literature. The scheme described here is extremely flexible and is very useful to obtain local distribuition of magnetic moments in complex metallic systems.

Neste trabalho, propusemos um método autoconsistente de espaço direto para o calculo de estrutura eletrônica. O método se baseia no formalismo LNTO -ASA na representação fortemente ligada (light-binding) e no método de recorrência aliado ao terminador de Beer & Pettifor. Neste método o custo computacional cresce linearmente com o numero de átomos não equivalentes na cela primitiva sendo, portanto, ideal para tratar sistemas complexos que não apresentam periodicidade ou que possuem um grande numero de átomos não equivalentes por cela primitiva. Podemos, por exemplo, estudar de forma autoconsistente a estrutura eletrônica das vizinhanças de uma impureza com um custo computacional apenas cinco ou seis vezes maior que o de um metal puro. O método aqui proposto tem a vantagem adicional de ser fisicamente transparente. Para avaliarmos a eficácia do método, comparamos nossos resultados autoconsistentes obtidos para a liga cristalina ZR IND.2FE com os resultados obtidos pelo processo autoconsistente de espaço reciproco. O material em questão tem uma estrutura cristalina simples com seis átomos por cela primitiva e o calculo de estrutura eletrônica pode ser resolvido por métodos usuais de espaço reciproco. A presença do FE com sua banda d estreita e com uma alta densidade de estados no nível de Fermi tornara o processo de convergência não trivial. / In this work we have proposed a first-principles selfconsistent method which allows us to perform electronic structure calculations in real space. The scheme, based on the LNTO ASA formalism and the Recursion Method, enables us to evaluate the electronic structures of complex systems, with good degree of precision and low computational costs. Using Zr 2 Fe as test case, we compare our real-space results with those obtained in reciprocal space using the standard LMTO - ASA procedure. The agreement is very good showing the efficiency of the real-space approach. We note that the real-space method developed here presents advantages for the evaluation of local properties and can be applied for non-periodic systems. For instance, we can describe the electronic structure in a large region around a substitutional impurity with very little cost. lf we consider five shells around the impurity the cost in real-space will be about seven times the cost of the calculation for a mono atomic system.

Neste trabalho apresentamos um procedimento para o cálculo da contribuição eletrônica para o gradiente de campo elétrico no núcleo (GCE), baseado no método de recorrência e no método de arbitais \"muffin-tin\" linearizados (LMTO) na representação forteme~ te ligada (\"tlght-binding\"). Este esquema é desenvolvido no esp~ ço real e pode ser aplicado em sistemas sem simetria, tais como metais amorfos, onde métodos de espaço-k não podem ser utilizados. A contribuição eletrônica é a dominante em sistemas metálicos e requer para sua avaliação o conhecimento das funções de onda eletrônicas do sistema. O esquema sugerido aqui, possui duas etapas principais: a es colha da Hamiltoniana do sistema, que neste caso foi a LMTO na aproximação de esfera atômica fortemente ligada (LMTO-ASA-TB), e o desenvolvimento dos termos do tensor GCE em uma abordagem de orbl tais fortemente ligados. Para o cálculo deste último, sugerimos a utilização do método de recorrência na obtenção dos elementos diagonais e não diagonais da função de Green, que compõem as expressões dos termos do tensor GGE em cada sitio. Como teste para nosso procedimento de espaço real, calculamos o GCE para o ao longo do eixo Zr hcp com o eixo /1. z do sistema de /1. c do cristal e também ao longo de coordenadas uma direção arbitrária. Os resultados se mostraram independentes da escolha do sistema, mostrando que o procedimento funciona na ausência de simetria. FinaJ.mente, como iLustração, calcuLamos a distribuição de GCE\'s para um agJ.omerado de Zt amorfo construído segundo o mode- Io de empacotamento denso e aleatório de esferas rígidas (DRPHS). / We present here a new method to cal-culate the el-ectronic contrlbution to the electric field gradient (GCE), which is based on the recursion method and in the recently developed tight-binding representation of the LMI0 method. This is a real-space scheme and can be applied to systems which lack symmetry, as amorphous metal.s where R-space methods can not be used. The electronic contribution is dominant Ín metalLÍc systems and requÍres for its evaluation the knowledge of the electronic wave functions of the system. The scheme I¡/e suggest here has two main steps: the choice of the Hamiltonian which in this case was the tight-binding LMT0 i\'n the atomÍc sþhere approxÍmation ( t-Uf O-ASA-TB ) and the deveJ.opment of the GCE tensor\'s components in a tight-binding approach. In the last step we suggest to use the recursion method to caLculate the diagonal and the off-diagonal Greenrs function eLements which build the GCE tensot\'s components in each site. As a test of our real space method we calculate the GCE for hcp zr with the c axis parall-eL to the crystaI\' s z axis and also in an arbitrary direction. The resuLts have shown to be independent of the choice of the system, showing that the procedure works in the abcense ofl symmetry. FinaJ.ly, as an iliustration we cal-cuLate the GCErs distribution for an amorphous Zr cluster buÍ1t in the model of dense random packing of hard spheres (DRPHS).