Corvino, Corvino and Schoen, Chruściel and Delay have shown the existence of a large class of asymptotically flat vacuum initial data for Einstein's field equations which are static or stationary in a neighborhood of space-like infinity, yet quite general in the interior. The proof relies on some abstract, non-constructive arguments which makes it difficult to calculate such data numerically by using similar arguments. A quasilinear elliptic system of equations is presented of which we expect that it can be used to construct vacuum initial data which are asymptotically flat, time-reflection symmetric, and asymptotic to static data up to a prescribed order at space-like infinity. A perturbation argument is used to show the existence of solutions. It is valid when the order at which the solutions approach staticity is restricted to a certain range. Difficulties appear when trying to improve this result to show the existence of solutions that are asymptotically static at higher order. The problems arise from the lack of surjectivity of a certain operator. Some tensor decompositions in asymptotically flat manifolds exhibit some of the difficulties encountered above. The Helmholtz decomposition, which plays a role in the preparation of initial data for the Maxwell equations, is discussed as a model problem. A method to circumvent the difficulties that arise when fast decay rates are required is discussed. This is done in a way that opens the possibility to perform numerical computations. The insights from the analysis of the Helmholtz decomposition are applied to the York decomposition, which is related to that part of the quasilinear system which gives rise to the difficulties. For this decomposition analogous results are obtained. It turns out, however, that in this case the presence of symmetries of the underlying metric leads to certain complications. The question, whether the results obtained so far can be used again to show by a perturbation argument the existence of vacuum initial data which approach static solutions at infinity at any given order, thus remains open. The answer requires further analysis and perhaps new methods. / Corvino, Corvino und Schoen als auch Chruściel und Delay haben die Existenz einer grossen Klasse asymptotisch flacher Anfangsdaten für Einsteins Vakuumfeldgleichungen gezeigt, die in einer Umgebung des raumartig Unendlichen statisch oder stationär aber im Inneren der Anfangshyperfläche sehr allgemein sind. Der Beweis beruht zum Teil auf abstrakten, nicht konstruktiven Argumenten, die Schwierigkeiten bereiten, wenn derartige Daten numerisch berechnet werden sollen. In der Arbeit wird ein quasilineares elliptisches Gleichungssystem vorgestellt, von dem wir annehmen, dass es geeignet ist, asymptotisch flache Vakuumanfangsdaten zu berechnen, die zeitreflektionssymmetrisch sind und im raumartig Unendlichen in einer vorgeschriebenen Ordnung asymptotisch zu statischen Daten sind. Mit einem Störungsargument wird ein Existenzsatz bewiesen, der gilt, solange die Ordnung, in welcher die Lösungen asymptotisch statische Lösungen approximieren, in einem gewissen eingeschränkten Bereich liegt. Versucht man, den Gültigkeitsbereich des Satzes zu erweitern, treten Schwierigkeiten auf. Diese hängen damit zusammen, dass ein gewisser Operator nicht mehr surjektiv ist. In einigen Tensorzerlegungen auf asymptotisch flachen Räumen treten ähnliche Probleme auf, wie die oben erwähnten. Die Helmholtzzerlegung, die bei der Bereitstellung von Anfangsdaten für die Maxwellgleichungen eine Rolle spielt, wird als ein Modellfall diskutiert. Es wird eine Methode angegeben, die es erlaubt, die Schwierigkeiten zu umgehen, die auftreten, wenn ein schnelles Abfallverhalten des gesuchten Vektorfeldes im raumartig Unendlichen gefordert wird. Diese Methode gestattet es, solche Felder auch numerisch zu berechnen. Die Einsichten aus der Analyse der Helmholtzzerlegung werden dann auf die Yorkzerlegung angewandt, die in den Teil des quasilinearen Systems eingeht, der Anlass zu den genannten Schwierigkeiten gibt. Für diese Zerlegung ergeben sich analoge Resultate. Es treten allerdings Schwierigkeiten auf, wenn die zu Grunde liegende Metrik Symmetrien aufweist. Die Frage, ob die Ergebnisse, die soweit erhalten wurden, in einem Störungsargument verwendet werden können um die Existenz von Vakuumdaten zu zeigen, die im räumlich Unendlichen in jeder Ordnung statische Daten approximieren, bleibt daher offen. Die Antwort erfordert eine weitergehende Untersuchung und möglicherweise auch neue Methoden.

Neste trabalho consideramos sistemas elípticos de tipo hamiltoniano, envolvendo o operador Laplaciano, com uma parte linear dependendo de dois parâmetros e uma perturbação sublinear. Obtemos a existência de pelo menos duas soluções quando a parte linear está perto da ressonância (este fenômeno é chamado de quase ressonância). Mostramos também a existência de uma terceira solução, quando a quase ressonância é em relação ao primeiro autovalor do operador Laplaciano. No caso ressonante obtemos resultados análogos, adicionando mais uma perturbação sublinear. Os sistemas estão associados a funcionais fortemente indefinidos, e as soluções são obtidas através do Teorema de Ponto de Sela e aproximação de Galerkin. / In this work we consider elliptic systems of hamiltonian type, involving the Laplacian operator, a linear part depending on two parameters and a sublinear perturbation. We obtain the existence of at least two solutions when the linear part is near resonance (this phenomenon is called almost-resonance). We also show the existence of a third solution when the almost-resonance is with respect to the first eigenvalue of the Laplacian operator. In the resonant case, we obtain similar results, with an additional sublinear term. These systems are associated with strongly indefinite functionals, and the solutions are obtained by Saddle Point Theorem and Galerkin approximation.

Dans cette thèse, on considère plusieurs problèmes issus de la modélisation macroscopique des mouvements de foule. Le premier modèle consiste en une loi de conservation avec un flux discontinu, le second est un système mixte hyperbolique-elliptique et le dernier est une équation non-locale. D'abord, on utilise le modèle de Hughes une dimension pour décrire l'évacuation d'un couloir avec deux sorties. Ce modèle couple une loi de conservation avec un flux discontinu à une équation eikonale. On implémente la méthode de suivi de fronts, qui traite explicitement le comportement de la solution non-classique au point de rebroussement, afin d'obtenir des solutions de référence. Elles serviront à tester numériquement la convergence de schémas aux volumes finis classiques. Ensuite, on modélise le croisement de deux groupes marchant dans des directions opposées avec un système de lois de conservation mixte hyperbolique-elliptique dont le flux dépend des deux densités. Le système perd son hyperbolicité pour certainement valeurs de densité. On assiste à l'apparition d'oscillations persistantes mais bornées, ce qui conduit à la reformulation du problème associé dans le cadre des mesures de probabilités. Finalement, on étudie un modèle non-local de trafic piétonnier en deux dimensions. Le modèle consiste en une loi de conservation dont le flux dépend d'une convolution de la densité. Avec ce modèle, on résout un problème d'optimisation pour une évacuation d'une salle avec une méthode de descente, évaluant l'impact du calcul explicite du gradient de la fonction coût avec la méthode de l'état adjoint plutôt que son approximation par différences finies. / In this thesis, we consider nonclassical problems brought out by the macroscopic modeling of pedestrian flow. The first model consists of a conservation law with a discontinuous flux, the second is a mixed hyperbolic-elliptic system of conservation laws and the last one is a nonlocal equation. In the first chapter, we use the Hughes model in one space-dimension to represent the evacuation of a corridor with two exits. The model couples a conservation law with discontinuous flux to an eikonal equation. We implement the wave front tracking scheme, treating explicitly the solution nonclassical behavior at the turning point, to provide a reference solution, which is used to numerically test the convergence of classical finite volume schemes. In the second chapter, we model the crossing of two groups of pedestrians walking in opposite directions with a system of conservation laws whose flux depends on the two densities. This system loses its hyperbolicity for certain density values. We assist to the rising of persistent but bounded oscillations, that lead us to the recast of the problem in the framework of measure-valued solutions. Finally we study a nonlocal model of pedestrian flow in two space-dimensions. The model consists of a conservation law whose flux depends on a convolution of the density. With this model, we solve an optimization problem for a room evacuation with a descent method, evaluating the impact of the explicit computation of the cost function gradient with the adjoint state method rather than approximating it with finite differences.

Práce je zaměřená na numerickou simulaci dvoufázového proudění. Je studován matematický model a numerická aproximace toku dvou nemísitelných nestlačitelných tekutin. Rozhraní mezi tekutinami je popsáno pomocí pomocí tzv. level set metody. Představena je diskretizace problému v prostoru a v čase. Metoda konečných prvk· se zpětnou Eulerovou metodou je aplikována na Navierovy-Stokesovy rovnice a časoprostorová nespojitá Galerkinova metoda je použita k řešení transportního problému. D·raz je kladen na analýzu chyby nespojité Galerkinovy metody přímek a časoprostorové nespojité Galerkinovy metody pro transportní problém. Jsou prezentovány numerické výsledky. 1