A dengue representa um sério problema de saúde pública no Brasil, que apresenta condições climáticas favoráveis ao desenvolvimento e proliferação do Aedes aegypti, vetor transmissor da doeça. O mosquito Aedes aegypti passa por diferentes estágios de desenvolvi- mento com características distintas, logo, para uma descrição mais aproximada da história de vida desta espécie e, consequentemente, do comportamento da epidemia, considera-se neste trabalho um modelo com distribuição etária, fundamental para a determinação das propriedades de estabilidade de populações que têm fases distintas de desenvolvimento. O modelo com distribuição etária para a população de mosquitos é descrito por um conjunto de equações diferenciais ordinárias com retardo de difícil análise e implementação. Inicialmente, apresenta-se o modelo SEIR com dinâmica vital, onde a população de mosquitos estabiliza rapidamente e, após, incorpora-se a ele um modelo com competição larval uniforme para população de insetos, com distribuição etária, o que provoca um período de instabilidade nas populações de larvas e adultos, estágios de desenvolvimento considerados para o vetor. A análise realizada investiga as consequências que este período de instabilidade provoca na evolução da epidemia.

Um dos propósitos da modelagem de epidemias é estabelecer uma base racional para tomar decisões, tais como estratégias de vacinação para controlar a expansão de uma doença, isto é, para prevenir a ocorrência de uma epidemia. Assim, o estudo de vacinaçõesé um ramo importante da epidemiologia de doenças infecciosas. O objetivo deste trabalho é apresentar alguns conceitos que refletem quantidades relevantes envolvidas nas discussões sobre cobertura de vacina. Con- siderações do número reprodutivo básico e da máxima cobertura vacinal alcançável em um programa são aspectos de grande interesse em estratégia de saúde pública. A partir da versão básica de um modelo epidêmico determinístico com- partimental SIR (suscetível ! infectivo ! removido), e depois de esclarecer a dife- rença entre os termos \imunizado" e \vacinado", define-se a eficácia da vacina como a redução na porcentagem de incidência nos indivíduos vacinados quando comparada com indivíduos não vacinados. Porém, não são levados em conta efeitos indiretos da vacinação, tais como a reduçaõ na exposição causada pelo decréscimo na incidência em pessoas vacinadas próximas aos indivíduos sob observação; em outras palavras, a vacina confere proteção total contra a infecção (efeito esterilizante) para parte dos sujeitos vacinados, mas não confere nenhuma proteção para o restante. A seguir, esta suposição não realística, de que a vacinação não produz resultado algum em alguns indivíduos, pode ser corrigida, incluindo-se novos parâmetros, relacionados a três efeitos indiretos da vacinação, a saber, redução da suscetibilidade, da contagiosidade, bem como da duração da infecção. Para cada modelo, investigamos a existência e a estabilidade local dos estados de equilíbrio e construímos diagramas de bifurcação. / One of the purposes of modelling epidemics is to provide a rational basis for decision-making, such as vaccination strategies, in order to control the spread of a disease, that is, to prevent an epidemic occurring. So, the study of vaccinations is an important branch of infectious disease epidemiology. The aim of this work is to point out some concepts which re°ect relevant quantities involved in discussions about vaccine coverage. Thus, considerations of the basic reproductive number, and maximum vaccine coverage achievable in a program are very important real aspects of public health strategy. Starting from the basic version of the SIR (susceptible ! infective ! removed) deterministic compartmental epidemic model, and after clarifying the dif- ference between the terms 'immunized' and 'vaccinated', vaccine e±cacy is de¯ned as the percentage reduction in incidence in vaccinated compared to unvaccinated individuals. However, it does not take into account the indirect e®ects of vacci- nation, like the reduction in exposure caused by decreasing incidence in vaccinated people close to the study subjects; in other words, the vaccine gives total protection against infection (sterilizing e®ect) for a proportion of the vaccinated subjects but none for the rest.Then, this unrealistic assumption that some individuals get no e®ect at all from vaccination can be corrected, by including new parameters related to three indirect e®ects of vaccination, namely, decreased susceptibility, decreased contagiousness and shortened infection duration. For each model, the existence and the local stability of the equilibrium states are investigated and bifurcation diagrams are constructed.

A infecção pelo vírus da Dengue constitui atualmente um dos maiores problemas da saúde pública pelo mundo inteiro, porque se tornou doença reemergente em várias regiões tropicais do mundo, inclusive no Brasil, e é causada por qualquer um de quatro sorotipos distintos. Por tratar-se da infecção viral urbana mais difundida no mundo, várias pesquisas em modelagem de epidemias têm se preocupado em fornecer uma fundamentação racional para tomadas de decisão, tais como adotar estratégias de vacinação ou outras estratégias, com o objetivo de controlar a propagação da doença. O objetivo deste trabalho é o de modelar e ilustrar algumas estratégias alternativas para erradicar esta doença infecciosa. Partindo da versão básica do modelo epidemiológico determinístico compartimental contínuo SEIR (suscetíveis -> expostos -> infecciosos -> recuperados), como um sistema de oito equações diferenciais, determinamos os estados de equilíbrio e a sua análise de estabilidade local, e apresentamos algumas simulações numéricas, para ilustrar os resultados analíticos. A seguir, propomos um modelo discreto correspondente, do qual reconhecemos estados de equilíbrio livre da doença e estados de equilíbrio endêmico, e, através de um enfoque de rede de mapas acoplados, incluímos uma estrutura espacial na qual as populações se movimentam por difusão. Por m, mostramos, através de simulações numéricas, que a doença pode ser erradicada do ambiente todo, por meio da retirada de acumuladores de ovos dos mosquitos, em uma área parcial do habitat todo que está em equilíbrio endêmico; então, esta estratégia tem um efeito desestabilizante, no sentido de que a estabilidade do estado endêmico pode ser destruída, levando o habitat inteiro para o estado de equilíbrio livre da doença. / Dengue virus infection is nowadays one of the major worldwide public health problems, because it has become an important re-emerging disease in many tropical regions of the world, including Brazil, and it is caused by any one of four distinct serotypes. As the moste widespread urban virus infection, several researches of epidemics modeling have focused on providing a rational basis for decision making, such as vaccination strategies or other strategies, in order to control the spread of this disease. The aim of this work is to model and illustrate some alternative strategies to eradicate this infectious disease. Starting from the basic version of the SEIR (susceptible -> exposed -> infective -> removed) deterministic compartmental epidemic continuous model, as a system of eight di erential equations, the equilibrium states and local stability analysis are carried out, and some numerical simulations are presented to illustrate the analytical results. Then we propose a discrete corresponding model, where we identify disease-free and endemic stable equilibrium states, and through a coupled map lattice approach, we include a spatial structure where the populations are allowed to follow a di usive movement. Finally, it is shown through numerical simulations that this disease can be eradicated from the overall environment by removing reservoirs of mosquito eggs from only a partial area of the habitat. Therefore, this strategy has a destabilizing e ect, in the sense that the stability of the endemic state can be destructed and the entire habitat goes to the disease-free equilibrium state.

Neste trabalho, são apresentados modelos matemáticos para a doença Hantavirose. Usando sistemas de equações diferenciais ordinárias, consideramos modelos básicos SI e SEIR, através dos quais, investigamos a existência e a estabilidade dos estados de equilíbrio das populações, identi camos os parâmetros e limiares que caracterizam a dinâmica do sistema, e visualizamos as informações decorrentes dos resultados analíticos, através de grá cos construídos a partir de simulações computacionais. A seguir, propomos um modelo SI discreto, através de um sistema de equações a diferenças, no qual, além da dinâmica vital, permitimos movimento no espaço bidimensional. Para o estudo da distribuição espacial do modelo em questão, utilizamos a Rede de Mapas Acoplados. Ao estudar o comportamento das soluções com relação a questões essenciais na prevenção e controle de uma epidemia, calculamos valores para a velocidade de propagação da infecção e investigamos seu padrão de espalhamento espacial. / Some basic mathematical models describing the dynamics of hantavirus infection, within a rat population, are presented. Both SI anda SEIR continuous epidemic models are analyzed, the equilibrium states and their local stability are determined. Threshold parameter values are de ned and numerical simulations are presented to illustrate analytical results. Then, we propose a SI discrete model where beside of the vital dynamics, the animal population is allowed to follow a di usive movement. A spatial structure is included by a coupled map lattice approach. Finally, by studying the infection propagation, a value of its propagation velocity is obtained.

A infecção pelo vírus da Dengue constitui atualmente um dos maiores problemas da saúde pública pelo mundo inteiro, porque se tornou doença reemergente em várias regiões tropicais do mundo, inclusive no Brasil, e é causada por qualquer um de quatro sorotipos distintos. Por tratar-se da infecção viral urbana mais difundida no mundo, várias pesquisas em modelagem de epidemias têm se preocupado em fornecer uma fundamentação racional para tomadas de decisão, tais como adotar estratégias de vacinação ou outras estratégias, com o objetivo de controlar a propagação da doença. O objetivo deste trabalho é o de modelar e ilustrar algumas estratégias alternativas para erradicar esta doença infecciosa. Partindo da versão básica do modelo epidemiológico determinístico compartimental contínuo SEIR (suscetíveis -> expostos -> infecciosos -> recuperados), como um sistema de oito equações diferenciais, determinamos os estados de equilíbrio e a sua análise de estabilidade local, e apresentamos algumas simulações numéricas, para ilustrar os resultados analíticos. A seguir, propomos um modelo discreto correspondente, do qual reconhecemos estados de equilíbrio livre da doença e estados de equilíbrio endêmico, e, através de um enfoque de rede de mapas acoplados, incluímos uma estrutura espacial na qual as populações se movimentam por difusão. Por m, mostramos, através de simulações numéricas, que a doença pode ser erradicada do ambiente todo, por meio da retirada de acumuladores de ovos dos mosquitos, em uma área parcial do habitat todo que está em equilíbrio endêmico; então, esta estratégia tem um efeito desestabilizante, no sentido de que a estabilidade do estado endêmico pode ser destruída, levando o habitat inteiro para o estado de equilíbrio livre da doença. / Dengue virus infection is nowadays one of the major worldwide public health problems, because it has become an important re-emerging disease in many tropical regions of the world, including Brazil, and it is caused by any one of four distinct serotypes. As the moste widespread urban virus infection, several researches of epidemics modeling have focused on providing a rational basis for decision making, such as vaccination strategies or other strategies, in order to control the spread of this disease. The aim of this work is to model and illustrate some alternative strategies to eradicate this infectious disease. Starting from the basic version of the SEIR (susceptible -> exposed -> infective -> removed) deterministic compartmental epidemic continuous model, as a system of eight di erential equations, the equilibrium states and local stability analysis are carried out, and some numerical simulations are presented to illustrate the analytical results. Then we propose a discrete corresponding model, where we identify disease-free and endemic stable equilibrium states, and through a coupled map lattice approach, we include a spatial structure where the populations are allowed to follow a di usive movement. Finally, it is shown through numerical simulations that this disease can be eradicated from the overall environment by removing reservoirs of mosquito eggs from only a partial area of the habitat. Therefore, this strategy has a destabilizing e ect, in the sense that the stability of the endemic state can be destructed and the entire habitat goes to the disease-free equilibrium state.

Neste trabalho, são apresentados modelos matemáticos para a doença Hantavirose. Usando sistemas de equações diferenciais ordinárias, consideramos modelos básicos SI e SEIR, através dos quais, investigamos a existência e a estabilidade dos estados de equilíbrio das populações, identi camos os parâmetros e limiares que caracterizam a dinâmica do sistema, e visualizamos as informações decorrentes dos resultados analíticos, através de grá cos construídos a partir de simulações computacionais. A seguir, propomos um modelo SI discreto, através de um sistema de equações a diferenças, no qual, além da dinâmica vital, permitimos movimento no espaço bidimensional. Para o estudo da distribuição espacial do modelo em questão, utilizamos a Rede de Mapas Acoplados. Ao estudar o comportamento das soluções com relação a questões essenciais na prevenção e controle de uma epidemia, calculamos valores para a velocidade de propagação da infecção e investigamos seu padrão de espalhamento espacial. / Some basic mathematical models describing the dynamics of hantavirus infection, within a rat population, are presented. Both SI anda SEIR continuous epidemic models are analyzed, the equilibrium states and their local stability are determined. Threshold parameter values are de ned and numerical simulations are presented to illustrate analytical results. Then, we propose a SI discrete model where beside of the vital dynamics, the animal population is allowed to follow a di usive movement. A spatial structure is included by a coupled map lattice approach. Finally, by studying the infection propagation, a value of its propagation velocity is obtained.

A dengue representa um sério problema de saúde pública no Brasil, que apresenta condições climáticas favoráveis ao desenvolvimento e proliferação do Aedes aegypti, vetor transmissor da doeça. O mosquito Aedes aegypti passa por diferentes estágios de desenvolvi- mento com características distintas, logo, para uma descrição mais aproximada da história de vida desta espécie e, consequentemente, do comportamento da epidemia, considera-se neste trabalho um modelo com distribuição etária, fundamental para a determinação das propriedades de estabilidade de populações que têm fases distintas de desenvolvimento. O modelo com distribuição etária para a população de mosquitos é descrito por um conjunto de equações diferenciais ordinárias com retardo de difícil análise e implementação. Inicialmente, apresenta-se o modelo SEIR com dinâmica vital, onde a população de mosquitos estabiliza rapidamente e, após, incorpora-se a ele um modelo com competição larval uniforme para população de insetos, com distribuição etária, o que provoca um período de instabilidade nas populações de larvas e adultos, estágios de desenvolvimento considerados para o vetor. A análise realizada investiga as consequências que este período de instabilidade provoca na evolução da epidemia.

Um dos propósitos da modelagem de epidemias é estabelecer uma base racional para tomar decisões, tais como estratégias de vacinação para controlar a expansão de uma doença, isto é, para prevenir a ocorrência de uma epidemia. Assim, o estudo de vacinaçõesé um ramo importante da epidemiologia de doenças infecciosas. O objetivo deste trabalho é apresentar alguns conceitos que refletem quantidades relevantes envolvidas nas discussões sobre cobertura de vacina. Con- siderações do número reprodutivo básico e da máxima cobertura vacinal alcançável em um programa são aspectos de grande interesse em estratégia de saúde pública. A partir da versão básica de um modelo epidêmico determinístico com- partimental SIR (suscetível ! infectivo ! removido), e depois de esclarecer a dife- rença entre os termos \imunizado" e \vacinado", define-se a eficácia da vacina como a redução na porcentagem de incidência nos indivíduos vacinados quando comparada com indivíduos não vacinados. Porém, não são levados em conta efeitos indiretos da vacinação, tais como a reduçaõ na exposição causada pelo decréscimo na incidência em pessoas vacinadas próximas aos indivíduos sob observação; em outras palavras, a vacina confere proteção total contra a infecção (efeito esterilizante) para parte dos sujeitos vacinados, mas não confere nenhuma proteção para o restante. A seguir, esta suposição não realística, de que a vacinação não produz resultado algum em alguns indivíduos, pode ser corrigida, incluindo-se novos parâmetros, relacionados a três efeitos indiretos da vacinação, a saber, redução da suscetibilidade, da contagiosidade, bem como da duração da infecção. Para cada modelo, investigamos a existência e a estabilidade local dos estados de equilíbrio e construímos diagramas de bifurcação. / One of the purposes of modelling epidemics is to provide a rational basis for decision-making, such as vaccination strategies, in order to control the spread of a disease, that is, to prevent an epidemic occurring. So, the study of vaccinations is an important branch of infectious disease epidemiology. The aim of this work is to point out some concepts which re°ect relevant quantities involved in discussions about vaccine coverage. Thus, considerations of the basic reproductive number, and maximum vaccine coverage achievable in a program are very important real aspects of public health strategy. Starting from the basic version of the SIR (susceptible ! infective ! removed) deterministic compartmental epidemic model, and after clarifying the dif- ference between the terms 'immunized' and 'vaccinated', vaccine e±cacy is de¯ned as the percentage reduction in incidence in vaccinated compared to unvaccinated individuals. However, it does not take into account the indirect e®ects of vacci- nation, like the reduction in exposure caused by decreasing incidence in vaccinated people close to the study subjects; in other words, the vaccine gives total protection against infection (sterilizing e®ect) for a proportion of the vaccinated subjects but none for the rest.Then, this unrealistic assumption that some individuals get no e®ect at all from vaccination can be corrected, by including new parameters related to three indirect e®ects of vaccination, namely, decreased susceptibility, decreased contagiousness and shortened infection duration. For each model, the existence and the local stability of the equilibrium states are investigated and bifurcation diagrams are constructed.

Um dos propósitos da modelagem de epidemias é estabelecer uma base racional para tomar decisões, tais como estratégias de vacinação para controlar a expansão de uma doença, isto é, para prevenir a ocorrência de uma epidemia. Assim, o estudo de vacinaçõesé um ramo importante da epidemiologia de doenças infecciosas. O objetivo deste trabalho é apresentar alguns conceitos que refletem quantidades relevantes envolvidas nas discussões sobre cobertura de vacina. Con- siderações do número reprodutivo básico e da máxima cobertura vacinal alcançável em um programa são aspectos de grande interesse em estratégia de saúde pública. A partir da versão básica de um modelo epidêmico determinístico com- partimental SIR (suscetível ! infectivo ! removido), e depois de esclarecer a dife- rença entre os termos \imunizado" e \vacinado", define-se a eficácia da vacina como a redução na porcentagem de incidência nos indivíduos vacinados quando comparada com indivíduos não vacinados. Porém, não são levados em conta efeitos indiretos da vacinação, tais como a reduçaõ na exposição causada pelo decréscimo na incidência em pessoas vacinadas próximas aos indivíduos sob observação; em outras palavras, a vacina confere proteção total contra a infecção (efeito esterilizante) para parte dos sujeitos vacinados, mas não confere nenhuma proteção para o restante. A seguir, esta suposição não realística, de que a vacinação não produz resultado algum em alguns indivíduos, pode ser corrigida, incluindo-se novos parâmetros, relacionados a três efeitos indiretos da vacinação, a saber, redução da suscetibilidade, da contagiosidade, bem como da duração da infecção. Para cada modelo, investigamos a existência e a estabilidade local dos estados de equilíbrio e construímos diagramas de bifurcação. / One of the purposes of modelling epidemics is to provide a rational basis for decision-making, such as vaccination strategies, in order to control the spread of a disease, that is, to prevent an epidemic occurring. So, the study of vaccinations is an important branch of infectious disease epidemiology. The aim of this work is to point out some concepts which re°ect relevant quantities involved in discussions about vaccine coverage. Thus, considerations of the basic reproductive number, and maximum vaccine coverage achievable in a program are very important real aspects of public health strategy. Starting from the basic version of the SIR (susceptible ! infective ! removed) deterministic compartmental epidemic model, and after clarifying the dif- ference between the terms 'immunized' and 'vaccinated', vaccine e±cacy is de¯ned as the percentage reduction in incidence in vaccinated compared to unvaccinated individuals. However, it does not take into account the indirect e®ects of vacci- nation, like the reduction in exposure caused by decreasing incidence in vaccinated people close to the study subjects; in other words, the vaccine gives total protection against infection (sterilizing e®ect) for a proportion of the vaccinated subjects but none for the rest.Then, this unrealistic assumption that some individuals get no e®ect at all from vaccination can be corrected, by including new parameters related to three indirect e®ects of vaccination, namely, decreased susceptibility, decreased contagiousness and shortened infection duration. For each model, the existence and the local stability of the equilibrium states are investigated and bifurcation diagrams are constructed.

A infecção pelo vírus da Dengue constitui atualmente um dos maiores problemas da saúde pública pelo mundo inteiro, porque se tornou doença reemergente em várias regiões tropicais do mundo, inclusive no Brasil, e é causada por qualquer um de quatro sorotipos distintos. Por tratar-se da infecção viral urbana mais difundida no mundo, várias pesquisas em modelagem de epidemias têm se preocupado em fornecer uma fundamentação racional para tomadas de decisão, tais como adotar estratégias de vacinação ou outras estratégias, com o objetivo de controlar a propagação da doença. O objetivo deste trabalho é o de modelar e ilustrar algumas estratégias alternativas para erradicar esta doença infecciosa. Partindo da versão básica do modelo epidemiológico determinístico compartimental contínuo SEIR (suscetíveis -> expostos -> infecciosos -> recuperados), como um sistema de oito equações diferenciais, determinamos os estados de equilíbrio e a sua análise de estabilidade local, e apresentamos algumas simulações numéricas, para ilustrar os resultados analíticos. A seguir, propomos um modelo discreto correspondente, do qual reconhecemos estados de equilíbrio livre da doença e estados de equilíbrio endêmico, e, através de um enfoque de rede de mapas acoplados, incluímos uma estrutura espacial na qual as populações se movimentam por difusão. Por m, mostramos, através de simulações numéricas, que a doença pode ser erradicada do ambiente todo, por meio da retirada de acumuladores de ovos dos mosquitos, em uma área parcial do habitat todo que está em equilíbrio endêmico; então, esta estratégia tem um efeito desestabilizante, no sentido de que a estabilidade do estado endêmico pode ser destruída, levando o habitat inteiro para o estado de equilíbrio livre da doença. / Dengue virus infection is nowadays one of the major worldwide public health problems, because it has become an important re-emerging disease in many tropical regions of the world, including Brazil, and it is caused by any one of four distinct serotypes. As the moste widespread urban virus infection, several researches of epidemics modeling have focused on providing a rational basis for decision making, such as vaccination strategies or other strategies, in order to control the spread of this disease. The aim of this work is to model and illustrate some alternative strategies to eradicate this infectious disease. Starting from the basic version of the SEIR (susceptible -> exposed -> infective -> removed) deterministic compartmental epidemic continuous model, as a system of eight di erential equations, the equilibrium states and local stability analysis are carried out, and some numerical simulations are presented to illustrate the analytical results. Then we propose a discrete corresponding model, where we identify disease-free and endemic stable equilibrium states, and through a coupled map lattice approach, we include a spatial structure where the populations are allowed to follow a di usive movement. Finally, it is shown through numerical simulations that this disease can be eradicated from the overall environment by removing reservoirs of mosquito eggs from only a partial area of the habitat. Therefore, this strategy has a destabilizing e ect, in the sense that the stability of the endemic state can be destructed and the entire habitat goes to the disease-free equilibrium state.