En aquesta tesi es realitza l'estudi de les propietats de dues equacions diferencials estocàstiques: una en derivades parcials per processos hiparamètrics que convertim en una equació integral estocàstica en el pla, i una difusió amb condició inicial anticipativa. Sobre la primera s'estudia el suport topòlogic de la llei de la solució, s'estableix un principi de grans desviacions quan considerem petites pertorbacions del soroll que governa l'equaciói es demostra l'existència i regulantat de la llei de la solució. L'estudi de l'equació anticipativa es centra en l'existencia i regularitat de la llei de la solució sota hipòtesis de diferents graus de degeneració. Finalment també s'estudia el cas en que l'equació anticipativa està governada per un moviment brownià de dimensió infinita.El primer capítol està dedicat a estudiar l'equació diferencial estocàstica en derivades parcials (1). Aquesta equació ja va ser estudiada per Farré i Nualart, que van donar sentit a la solució dins la classe de les semimartingales representables. Utilitzant aquesta representació van demostrar l'existència de densitat.En aquest capítol es presenta una nova visió de la solució de l'equació. Com en altres casos estudiats a la literatura sobre equacions diferencials estocàstiques parabòliques i el.líptiques, ens plantejem la solució a partir del mètode de Riemann per l'equació determinista anàloga a (1). Es considera I'operador diferencial de segon ordre "L" i s'indica la funció de Green associada a aquest operador (2). Es defineix aleshores la solució de l'equació(1), com el procés continu i adaptat que satisfa l'equació integral (3). Es demostra l'existència i unicitat de la solució de l'equació integral (3). Es comprova que aquesta solució es la solució feble de (1), en el sentit de distribucions, i que coincideix amb la solució proposada per Farré i Nualart.Utilitzant la representació (3) es demostren diverses propietats del proces solució. Aquests resultats estan basats en un estudi en profunditat de la funció de Green. Aquesta funció no la podem obtenir de manera explícita, però sí a partir d'una série. Es demostren així diverses propietats de la funció de Green, com l'afitació o la derivabilitat respecte "u", "v", "s", "r".S'estableix pnmer un resultat d'aproximacions de la solució. A partir d'aquest resultat d'aproximacions, utilitzant un mètode desenvolupat per Millet i Sanz basat en l'utilització d'esquelets, obtenim un teorema del suport pel procés solució.Posteriorment, s'apliquen les eines del calcul de Malliavin per deduir I'existència i regularitat de la llei de X(n), si s-r = 0. Aquest resultat s'obté tant per condicions equivalents a la condició de Hormander restringida com per condicions equivalents a la condició de Hormander no restringida. Finalment s'estableix un principi de grans desviacions per la familia {X(n), epsilon més gran que 0} de solucions de (3) obtingudes per pertorbacions del soroll blanc. El mètode utilitzat està basat en el principi de quasi-continuitat desenvolupat per Azencott. En el segon capítol es determinen condicions suficients per l'existència de densitat regular per la llei de probabilitat de la solució de l'equació diferencial estocàstica anticipativa en un instant de temps epsilon > 0 fixat. L'existència i regulantat de la densitat sota condicions semblants ja han estat estudiades anteriorment. A més, en el segon capitol s'estén aquest últim resultat en les direccions següents. Per unabanda, s'elimina la hipotesi d'afitació sobre la condició inicial. Després s'obté un resultat anàleg amb condicions de Hormander no restringides. Finalment, s'estudien les condicions necessàries per un cas degenerat, sota el punt de vista presentat per Bell i Mohammed, que permet que la hipotesi de Hormander no es satisfaci. de manera controlada, en una col.lecció de superfícies.Les condicions de Hormander que s'utilitzen es presenten amb una formulació alternativa a la clàssica, fent apareixer la condició inicial "X(n)". S'utilitzen les eines del càlcul de Malliavin, de manera que cal desenvolupar versions del lema de Norris adients, tant pel cas restringit com pel cas no restringit.El tercer capitol està dedicat a estudiar l'equació anticipativa governada per un moviment brownià de dimensió infinita (4). En aquest capitol es demostra l'existència i regulantat de la densitat a un instant de temps "t" fixat.El cas no anticipatiu ja va ser estudiat per Minh Duc, Nualart i Sanz. Es demostra pnmer que podem obtenir una solució de l'equació composant el flux associat a (4) amb la condició inicial "X(n)". Després s'estudia la regulantat de la densitat per aquesta solució. El mètode emprat es basa en transferir el resultat conegut per l'equació governada per un moviment brownià de dimensió finit per mitjà d'una convergència apropiada. / In Chapter 1, we study the hyperbolic stochastical partial differential equation (1). We analyze (1) using a new approach, inspired bv Riemann's method for solving the deterministic analogue of (1). using a Green function. The result is expressed as a (2).We have proved existence and uniqueness of solution to the stochastic equation (2), and we state the equivalence between our approach and the approach presented by Farre and Nualart. We have established a result on approximation of this solution and a suport theorem in Hölder norm for the solution to (1). We apply the tools of Malliavin calculus to deduce the existence and smoothness of density. We also establish a large deviations principle for the family of solutions to (2) obtained by a penurbation of the noise.In Chapter 2, we obtain sufficient conditions for the existence of a smooth density for the probability law of the solution to the anticipating stochastic differential equation at a fixed time t > 0 , where X(o) is an arbitrary random variable. We extend the results of Caballero, Fernandez and Nualart. We remove the boundedness assumption on "X(n)" and we deal with restricted and unrestricted Hörmander's tvpe conditions.We also study, using the point of view introduced by Bell and Mohammed, a degenerate case where Hörmander's condition is not satisfied.Finally, in Chapter 3, we obtain sufficient conditions for the smoothness of the density for the probability law of the solution to the anticipating stochastic differential equation driven by an infinite dimensional brownian.

DE LA TESI DOCTORAL:Aquesta memòria estudia bàsicament el comportament asimptòtic de la densitat de diferents famílies de vectors aleatoris. Al començament es dóna una introducció on es comenten diversos treballs anteriors que tracten sobre estudis asimptòtics de densitats, es pot observar el gran lligam que hi ha entre les estimacions de Varadhan i l'anomenat desenvolupament de Taylor de la densitat. Les estimacions són un primer pas cap a un estudi més extens del comportament asimptòtic.Un cop feta l'introducció general (Capítol 1), el Capítol 2 de la memòria està dedicat a l'estudi de les anomenades estimacions de Varadhan. Al tercer Capítol realitzarem un estudi més acurat i exhaustiu del comportament asimptòtic de la densitat. Al Capítol 4, sota les mateixes condicions que s'utilitzen per demostrar l'existència i regularitat d'una densitat "pe(y)", nosaltres trobarem el desenvolupament asimptòtic amb d = 1, on ara els coeficients "c-1" dependran de les derivades del procés solució de l'equació estocàstica pertorbada avaluades en e >> 0; a més a més, aquestes derivades satisfarán equacions d'evolució que seran descrites. Finalment, al Capítol 5, estudiarem el comportament densitat que al Capítol 4, però per a tot "y" pertanyent a R.Els Capítols 2, 3, 4 i 5 contenen una introducció on s'explica la metodologia que nosaltres hem seguit en aquell capítol, donant les idees més importants. Les Seccions d'aquests Capítols constaran quasi sempre de tres parts. Una primera, anomenada Objectiu, està dedicada a explicar el propòsit de la Secció. Una segona, dita Preliminars, on es donaran els prerequisits necessaris, quan s'escaigui, per poder portar a terme la demostració dels Objectius. A l'última es provaran els resultats.

En aquesta memòria presentem tres treballs dedicats a l'estudi d'equacions diferencials estocàstiques dirigides per un moviment Bromnià fraccionari.La primera equació diferencial estocàstica que estudiarem és una equació amb retard i amb restriccions de positivitat. Com que el retard (R) és en aquest cas un valor positiu, hem de donar com a condició inicial la solució de l'equació a l'interval [-r; 0], que serà X(t) = ni(t), on la funció "mi" serà una funció determinista no negativa. El terme Y és el que ens permetrà assegurar que la solució de l'equació sigui sempre positiva.La metodologia utilitzada per provar els resultats per a aquesta equaciói per a la següent que presentarem és similar, encara que amb dificultats tècniques diferents. Considerem equacions deterministes i demostrem els resultats per aquest tipus d'equacions. Llavors com que entenem la integral estocàstica que apareix com una integral de Riemann-Stieltjes és fàcil aplicar els resultats obtinguts a les nostres equacions diferencials estocà tiques. Es tracta de la metodologia utilitzada per Nualart i Răşcanu a [3].La segona equació que treballarem és una equació diferencial estocàstica de Volterra a R(d). Per aquesta equació demostrarem l'existència i la unicitat de solució, i provarem que la solució té moments finits. Observem que els nostres resultats inclouen com a cas particular els resultats obtinguts per Nualart i Răşcanu a [3].L'interès d'aquesta part recau en l'obtenció d'estimacions per a les integrals de Lebesgue i Riemann-Stieltjes. Amb aquestes estimacions, obtenim les mateixes cotes que les de [3], i la demostració de l'existència i unicitat s'aconsegueix seguint els mateixos passos que fan Nualarti Rascanu per la seva equació.Finalment, l'últim treball fa referència a l'estudi d'aquesta equació diferencial d-dimensional dx(t )= f(x(t))dy(t) on la funció de control y no és diferenciable però és B-Holder contínua. Una manera d'estudiar aquestes equacions si la funci_o de control és B-Holder contínua d'ordre B>1/2 , és la desenvolupada per Nualart i Răşcanu a [3]. Aquest mètode ha sigut estès en un treball recent de Hu i Nualart [2] pel cas que B pertanguès a (1/3, ½). El propòsit del nostre treball és obtenir estimacions precises per a la norma del suprem per a la soluci_o de l'equació utilitzant la metodologia introduïda a [2]. Com a aplicació d'aquests resultats, deduïrem l'existència de moments per a les solucions d'equacions diferencials estocàstiques dirigides per un moviment Brownià fraccionari amb paràmetre de Hurst H pertany a (1/3, ½).Obtindrem, finalment, una estimació per la norma del suprem de la derivada de Malliavin de la solució de l'equació anterior. Aquests resultats generalitzen el treball de Hu i Nualart [1] pel cas H > 1/2.REFERÈNCIES:[1] Hu, Y.; Nualart, D. "Differential equations driven by Hölder continuous functions of order greater than ½. Stochastic analysis and applications", 399-413, Abel Symp., 2, Springer, Berlin, 2007.[2] Hu, Y.; Nualart, D. "Rough path analysis via fractional calculus". Transactions of the American Mathematical Society 361, (2009), 2689-2718.[3] Nualart, D.; Răşcanu, A. "Differential equations driven by fractional Brownian motion". Collect. Math. 53 (2002) 55-81. / "Stochastic Differential Equations driven by a fractional Brownian Motion"By Mireia Besaló i MayolTEXT:This dissertation is devoted to the presentation of three contributions to the study of differential stochastic equations driven by a fractional Brownian motion.The first equation we study is an stochastic delay differential equation with reflection and non-negativity constraints. The second equation we work with is an stochastic Volterra equation on R(d). For that equation, like for the first one, we will prove the existence and uniqueness of solution, and we also prove the solution has finite moments. Our results include as a particular case the results obtained by Nualart and Răşcanu in [2].Finally, the last contribution it is about this d-dimensional differential equation dx(t) = f(x(t))dy(t), where the control function "y" is non-differenciable but is B-Hölder continuous. If B>1/2, one way to study these equations is the one used in [2]. That method has been extended by Hu and Nualart [1] to the case B belongs to (1/3, ½)For that equation we obtain precise estimates of the supremum norm of the solution of the equation. As an application of these results, we deduce the existence of moments and an estimate of the supremum norm of the Malliavin derivative of the solution of stochastic differential equations driven by a fractional Brownian motion with Hurst parameter H belongs to (1/3, ½). REFERENCES:[1] Hu, Y.; Nualart, D. "Rough path analysis via fractional calculus". Transactions of the American Mathematical Society 361, (2009), 2689-2718.[2] Nualart, D.; Răşcanu, A. "Differential equations driven by fractional Brownian motion". Collect. Math. 53 (2002) 55-81.