L'effet Hawking prédit, dans un espace-temps décrivant l'effondrement d'une étoile à symétrie sphérique vers un trou noir de Schwarzschild, qu'un observateur statique, situé à l'infini, observera un flux thermal de particules quantiques à la température de Hawking. La première démonstration mathématique de l'effet Hawking pour des champs quantiques libres est due à Bachelot, dont le travail sur les champs de Klein-Gordon a été ensuite étendu aux champs de Dirac, d'abord par Bachelot lui-même, puis par Melnyk. Ces travaux, placés dans le cadre d'une symétrie sphérique, ont été complétés par Häfner, qui donna une démonstration rigoureuse de l'effet Hawking pour des champs de Dirac, autour d'une étoile s'effondrant vers un trou noir de Kerr. Le but de cette thèse est d'étudier l'effet Hawking non plus dans un modèle de champs quantiques libres, où les problèmes posés se ramènent à l'étude d'équations aux dérivées partielles linéaires, mais dans un modèle de champs de Dirac en interaction. L'interaction est supposée à support compact, statique, et localisée à l'extérieur de l'étoile. Nous choisissons de traiter le cas d'un modèle jouet, dans un espace-temps de dimension 1+1, situation à laquelle on peut se ramener, au moins dans le cas libre, en utilisant la symétrie sphérique du problème. Nous étudions le comportement de champs de fermions de Dirac dans différentes situations : d'abord, pour une observable suivant l'effondrement de l'étoile ; puis pour une observable stationnaire ; enfin, pour une interaction dépendante du temps, localisée près de la surface de l'étoile. Dans chacun de ces cas, nous montrons l'existence de l'effet Hawking et donnons l'état limite correspondant. / The Hawking effect predicts that, in a space- time describing the collapse of a spherically symmetric star to a Schwarzschild black hole, a static observer at infinity sees the Unruh state as a thermal state at Hawking temperature. The first mathematical proof of the Hawking effect, in the original setting of Hawking, is due to Bachelot. His work on Klein-Gordon fields has been extended to Dirac fields, in the first place by Bachelot himself, and by Melnyk after that. Those works, placed in the setup of a spherically symmetric star, have been completed by Häfner, who gave a rigorous proof of the Hawking effect for Dirac fields, outside a star collapsing to a Kerr black hole. The aim of this thesis is to study the Hawking effect not for a model of free quantum fields, in which case the problems can be reduced to studies on linear partial differential equations, but for a model of interacting Dirac fields. The interaction will be considered as a static, compactly-supported interaction, living outside the star. We choose to study a toy model in a 1+1 dimensional space-time. Using the fact that the problem is spherically symetric, one can, at least in the free case, reduce the real problem to this toy model. We study the behavior of Dirac fermions fields in various situations : first, for an observable following the star's collapse ; then, for a static observable ; finally, for a time-dependent interaction, fixed close to the star's boundary. In each of those cases, we show the existence of the Hawking Effect and give the corresponding limit state.

L'effet Hawking prédit, dans un espace-temps décrivant l'effondrement d'une étoile à symétrie sphérique vers un trou noir de Schwarzschild, qu'un observateur statique, situé à l'infini, observera un flux thermal de particules quantiques à la température de Hawking. La première démonstration mathématique de l'effet Hawking pour des champs quantiques libres est due à Bachelot, dont le travail sur les champs de Klein-Gordon a été ensuite étendu aux champs de Dirac, d'abord par Bachelot lui-même, puis par Melnyk. Ces travaux, placés dans le cadre d'une symétrie sphérique, ont été complétés par Häfner, qui donna une démonstration rigoureuse de l'effet Hawking pour des champs de Dirac, autour d'une étoile s'effondrant vers un trou noir de Kerr. Le but de cette thèse est d'étudier l'effet Hawking non plus dans un modèle de champs quantiques libres, où les problèmes posés se ramènent à l'étude d'équations aux dérivées partielles linéaires, mais dans un modèle de champs de Dirac en interaction. L'interaction est supposée à support compact, statique, et localisée à l'extérieur de l'étoile. Nous choisissons de traiter le cas d'un modèle jouet, dans un espace-temps de dimension 1+1, situation à laquelle on peut se ramener, au moins dans le cas libre, en utilisant la symétrie sphérique du problème. Nous étudions le comportement de champs de fermions de Dirac dans différentes situations : d'abord, pour une observable suivant l'effondrement de l'étoile ; puis pour une observable stationnaire ; enfin, pour une interaction dépendante du temps, localisée près de la surface de l'étoile. Dans chacun de ces cas, nous montrons l'existence de l'effet Hawking et donnons l'état limite correspondant.

Ce travail de thèse s'intéresse aux corrections relativistes induites par une impulsion lumineuse ultra-brève et intense dans la matière condensée. Il s'inscrit dans la thématique nouvelle de la désaimantation ultra-rapide cohérente de systèmes ferromagnétiques induite par une impulsion laser femto-seconde [Nature 5, 515 (2009)] [1]. Un couplage de nature relativiste entre les spins et les photons a été proposé pour expliquer les résultats expérimentaux observés dans [1]. La première partie de ce travail étudie la limite non relativiste du formalisme de Dirac en présence d'un champ électromagnétique dépendant du temps. En utilisant la transformation de Foldy-Wouthuysen , le hamiltonien électronique de Dirac en présence d'un champ électromagnétique dépendant du temps est développé au cinquième ordre en 1/m. Les résultats obtenus ont permis de postuler une expression générale de l'interaction directe entre le spin et le champ électromagnétique sous la forme d'un développement en série entière. Un travail similaire est réalisé dans le cadre du problème relativiste à deux électrons en interaction coulombienne. La diagonalisation du hamiltonien de Breit au troisième ordre en 1/m fait apparaître une interaction singulière entre le spin, le champ coulombien et le champ électromagnétique externe dépendant du temps. Dans la deuxième partie, on propose un modèle classique pour modéliser une expérience de magnéto-optique non-linéaire réalisée sur des échantillons ferromagnétiques. Les prédictions théoriques des angles de rotation Faraday sont comparées aux résultats expérimentaux de la référence [1] et permettent d'ouvrir une discussion à propos des mécanismes physiques gouvernant les phénomènes magnéto-optiques observés. Le rôle joué par l'interaction spin-orbite entre les spins et le champ électrique du laser est discuté.

Ces dernières années, de nouveaux matériaux bidimensionnels aux propriétés surprenantes ont été découverts, le plus connu étant le graphène. Dans ces matériaux, les électrons du niveau de Fermi ont une masse apparente nulle, et peuvent être décrits par l’équation de Dirac sans masse. Un tel phénomène apparaît dans des situations très générales, pour les matériaux bidimensionnels ayant une structure périodique en « nid d’abeille ». De plus, la prise en compte d’interactions mène à des équations de Dirac non linéaires. Ces équations apparaissent également dans l’étude des paquets d’ondes lumineuses dans certaines fibres optiques. Le but de cette thèse est d’étudier l’existence et la stabilité de solutions stationnaires de ces équations avec termes non linéaires sous-critiques et critiques, et de montrer qu’ils sont la limite de solutions stationnaires de l’équation de Schrödinger non linéaire à potentiel périodique dans certains régimes de paramètres. Du point de vue mathématique, on devra résoudre les équations d’Euler-Lagrange de fonctionnelles d'énergie fortement indéfinies faisant intervenir l’opérateur de Dirac. Il s’agira en particulier d’étudier le cas des non-linéarités avec exposant critique, encore mal comprises pour ce type de fonctionnelle, et qui apparaissent naturellement en optique non linéaire. Les résultats de cette thèse pourraient avoir un impact important en physique, en particulier en physique du solide et optique non linéaire. / Recently, new two-dimensional materials possessing unique properties have been discovered, the most famous being the graphene. In this materials, electrons at the Fermi level behave as massless particles and can be described by the massless Dirac equation. This phenomenon is quite general, and it is a common features of "honeycomb" periodic structures. Moreover, taking into account interaction leads to non-linear Dirac equations, which also appear in the description of light propagation in particular waveguides. The aim of the thesis is to study existence and stability of stationary solutions for those equations with both sub-critical and critical nonlinearities, and to show that they are limit of stationary solutions to the Schroedinger equation with honeycomb potential, for a suitable choice of parameters. This amounts to solving the Euler-Lagrange equation for strongly indefinite energy functionals, involving the Dirac operator. We will deal with critical nonlinearities, which are still poorly understood, and appear naturally in non-linear optics. This results may have an impact on the understanding some solid state or nonlinear optics systems.

Ce travail de thèse s’intéresse aux corrections relativistes induites par une impulsion lumineuse ultra-brève et intense dans la matière condensée. Il s’inscrit dans la thématique nouvelle de la désaimantation ultra-rapide cohérente de systèmes ferromagnétiques induite par une impulsion laser femto-seconde [Nature 5, 515 (2009)] [1]. Un couplage de nature relativiste entre les spins et les photons a été proposé pour expliquer les résultats expérimentaux observés dans [1]. La première partie de ce travail étudie la limite non relativiste du formalisme de Dirac en présence d’un champ électromagnétique dépendant du temps. En utilisant la transformation de Foldy-Wouthuysen , le hamiltonien électronique de Dirac en présence d’un champ électromagnétique dépendant du temps est développé au cinquième ordre en 1/m. Les résultats obtenus ont permis de postuler une expression générale de l’interaction directe entre le spin et le champ électromagnétique sous la forme d’un développement en série entière. Un travail similaire est réalisé dans le cadre du problème relativiste à deux électrons en interaction coulombienne. La diagonalisation du hamiltonien de Breit au troisième ordre en 1/m fait apparaître une interaction singulière entre le spin, le champ coulombien et le champ électromagnétique externe dépendant du temps. Dans la deuxième partie, on propose un modèle classique pour modéliser une expérience de magnéto-optique non-linéaire réalisée sur des échantillons ferromagnétiques. Les prédictions théoriques des angles de rotation Faraday sont comparées aux résultats expérimentaux de la référence [1] et permettent d’ouvrir une discussion à propos des mécanismes physiques gouvernant les phénomènes magnéto-optiques observés. Le rôle joué par l’interaction spin-orbite entre les spins et le champ électrique du laser est discuté. / This thesis focuses on the relativistic corrections induced by an ultra-short and intense light pulse in condensed matter. It is part of the new theme of the coherent ultra-fast demagnetization of ferromagnetic systems induced by a femtosecond laser pulse [ Nature, 5, 515 (2009)] [1]. A relativistic coupling between spins and photons has been proposed to explain the experimental results obtained in [1]. The first part of this work focuses on the nonrelativistic limit of the Dirac’s formalism. By means of the Foldy–Wouthuysen transformation the nonrelativistic approximation of the external-electromagnetic-field Dirac equation to fifth order in powers of 1/m is obtained. Generalizing this result we postulate a general expression of the direct spin–field electronic hamiltonian valid at any order in 1/m. A similar work is performed on a two-interacting electrons system described with the Breit hamiltonian, whose the diagonalization at third order in 1/m illustrates an original coupling between the spin, the coulombian interaction and the time-dependent external electromagnetic field. In a second part, a classical model is developed for modeling ultrafast nonlinear coherent magneto-optical experiments performed on ferromagnetic thin films. Theoretical predictions of the Faraday rotation angles are compared to available experimental values and give meaningful insights about the physical mechanisms underlying the observed coherent magneto-optical phenomena. The crucial role played by the spin-orbit mechanism resulting from the direct interaction between the external electric field of the laser and the electron spins of the sample is underlined.