Dans la présente thèse, on s’intéresse à la résolution de problèmes algébriques et d’évolution en dimension finie et infinie. Dans le premier chapitre, on a étudié l’existence globale et la régularité maximale d’un système gradient abstrait avec des applications à des problèmes de diffusion non-linéaires et à une équation de la chaleur avec des coefficients non-locaux. La méthode utilisée est la méthode d’approximation de Galerkin. Dans le deuxième chapitre, on a étudié l’existence locale, l’unicité et la régularité maximale des solutions de l’équation de raccourcissement des courbes en utilisant le théorème d’inversion locale. Finalement, dans le dernier chapitre, on a résolu une équation algébrique entre deux espaces de Banach en utilisant la méthode de Newton continue avec une application à une équation différentielle avec des conditions aux limites périodiques / In this work, we solve algebraic and evolution equations in finite and infinite-dimensional sapces. In the first chapter, we use the Galerkin method to study existence and maximal regularity of solutions of a gradient abstract system with applications to non-linear diffusion equations and to non-degenerate quasilinear parabolic equations with nonlocal coefficients. In the second chapter, we Study local existence, uniqueness and maximal regularity of solutions of the curve shortening flow equation by using the local inverse theorem. Finally, in the third chapter, we solve an algebraic equation between two Banach spaces by using the continuous Newton’s method and we apply this result to solve a non-linear ordinary differential equation with periodic boundary conditions.

This thesis focuses on a certain type of nonlinear parabolic partial differential equations, i.e. PME and FDE. Chapter 1 consists of a survey on results related to PME and FDE, and a short review on some works about deriving gradient estimates in probabilistic ways. In Chapter 2 we estimate gradient on space variables of solutions to the heat equation on Euclidean space. The main idea is to construct two semimartingales by letting the solution and its gradient running backward on the path space of a diffusion process. Estimates derived from decompositions of those two semimartingales are then combined to give rise to an upper bound on gradient that only involves the maximum of the initial data and time variable. In particular, it is independent of the dimension. In Chapter 3 we carry the idea in Chapter 2 onto the study of positive solutions to PME or FDE, and obtained a similar type of bound on |∇u| for local solutions to PME or FDE on Euclidean space. In existing literature there have always been constraints on m. By considering a more general form of transformation on u and introducing a family of equivalent measures on path space, we add more flexibility to our method. Thus our result is valid for a larger range of m. For global solutions, when m violates our constraint, we need two-sided bound on u to control |∇u|. In Chapter 4 we utilize maximum principle to derive Li-Yau type gradient estimate for PME on a compact Riemannian manifold with Ricci curvature bounded from below. Our result is able to yield a Harnack inequality possessing the right order in time variable when the lower bound of Ricci curvature is negative.

Helium-3 surface spin echo spectroscopy (HeSE) has been used to measure the diffusive dynamics of adsorbates on close-packed metal surfaces, namely hydrogen on Cu(111), Pd(111) and Ru(0001), carbon and oxygen on Ru(0001), and oxygen on Cu(111). Chapter 2 reviews the HeSE technique and describes the relevant dynamical models and statistical methods used to interpret data in later chapters. The performance of the ionizing detector is analysed, with a focus on the signal-to-noise ratio. In Chapter 3 expressions for the classical intermediate scattering function (ISF) are introduced for open and closed systems. The effects of corrugation and surface-perpendicular motion on the amplitude of different components in the ISF are modelled analytically and compared with simulation. The exact ISF for a particle on a flat surface, obeying the Generalized Langevin Equation with exponential memory friction, is calculated analytically. In Chapter 4 the analytical ISF is calculated for quantum Brownian motion and for coherent tunneling dynamics in a tight binding system. The bounce method for calculating quantum mechanical hopping rates in dissipative systems is applied to model diffusion of hydrogen on Ru(0001). Chapter 5 presents the first HeSE measurements of carbon and oxygen diffusion. C/Ru(0001) diffusion is assigned to a small carbon cluster. The jump rate has an activation energy $E_{A}=292\pm7\,$meV in the temperature range $550\,\textrm{K}\leq T \leq 1300\,$K. Oxygen diffusion is significantly slower. By comparison of literature data with the new HeSE results, the activation energy for oxygen diffusion at low coverage is estimated as $650\pm10$meV. Oxygen measurements at high coverage $\theta\approx0.22\,$ML are consistent with strong mutual O-O interactions. Surface diffusion is also observed after exposing Cu(111) to oxygen. Chapter 6 presents low-coverage measurements of protium (H) and deuterium (D) diffusion on Ru(0001), Pd(111) and Cu(111). In the quantum activated regime there is evidence for multiple jumps in all three systems, suggesting a low dynamical friction. The measurements on Ru(0001) indicate that the deep tunneling rate is much slower for D than for H.

Dans ce travail on se propose d'établir des estimations d'erreurs a priori pour les solutions approchées d'équations d'évolution obtenues par la méthode d'éléments finis mixte duale en espace et ce pour trois types de problèmes : le premier concerne le problème de Cauchy pour l'équation de diffusion de la chaleur, le second est le problème de Stokes instationnaire, et le dernier concerne le problème de Cauchy pour l'équation de diffusion de la chaleur mais avec un coefficient de diffusion aléatoire. Pour ces trois types de problèmes, il y a un certain nombre de raisons de préférer la méthode mixte duale en espace à une méthode classique en espace ; parmi elles la propriété fondamentale qu'est la conservation locale, et par suite globale, de certaines quantités physiques (la quantité de mouvement, la masse, la quantité de chaleur,...). Une autre raison bien connue pour adopter la méthode mixte duale en espace est qu'elle nous permet d'introduire des nouvelles variables : p(t) =grad u(t) le flux de chaleur à l'instant t pour l'équation de diffusion de la chaleur, p(t) = K ◊ u(t) le flux de chaleur à l'instant t pour l'équation de diffusion de la chaleur avec un coefficient de diffusion aléatoire K, ◊ dénotant le produit de Wick, σ = grad u(t) le tenseur gradient du champ des vitesses à l'instant t pour le problème de Stokes instationnaire, ces inconnues supplémentaires ayant un sens physique et une importance particulière pour plus d'une application. Il est donc important de disposer d'une méthode numérique donnant aussi de bonnes approximations de ces quantités.

Cette thèse porte sur le développement de méthodes de Monte-Carlo pour calculer des représentations Feynman-Kac impliquant des opérateurs sous forme divergence avec un coefficient de diffusion constant par morceaux. Les méthodes proposées sont des variantes de la marche sur les sphères à l'intérieur des zones avec un coefficient de diffusion constant et des techniques de différences finies stochastiques pour traiter les conditions aux interfaces aussi bien que les conditions aux limites de différents types. En combinant ces deux techniques, on obtient des marches aléatoires dont le score calculé le long du chemin fourni un estimateur biaisé de la solution de l'équation aux dérivées partielles considérée. On montre que le biais global de notre algorithme est en général d'ordre deux par rapport au pas de différences finies. Ces méthodes sont ensuite appliquées au problème direct lié à la tomographie par impédance électrique pour la détection de tumeurs. Une technique de réduction de variance est également proposée dans ce cadre. On traite finalement du problème inverse de la détection de tumeurs à partir de mesures de surfaces à l'aide de deux algorithmes stochastiques basés sur une représentation paramétrique de la tumeur ou des tumeurs sous forme d'une ou plusieurs sphères. De nombreux essais numériques sont proposés et montrent des résultats probants dans la localisation des tumeurs. / This thesis deals with the development of Monte-Carlo methods to compute Feynman-Kac representations involving divergence form operators with a piecewise constant diffusion coefficient. The proposed methods are variations around the walk on spheres method inside the regions with a constant diffusion coefficient and stochastic finite differences techniques to treat the interface conditions as well as the different kinds of boundary conditions. By combining these two techniques, we build random walks which score computed along the walk gives us a biased estimator of the solution of the partial differential equation we consider. We prove that the global bias is in general of order two with respect to the finite difference step. These methods are then applied for tumour detection to the forward problem in electrical impedance tomography. A variance reduction technique is also proposed in this case. Finally, we treat the inverse problem of tumours detection from surface measurements using two stochastics algorithms based on a spherical parametric representation of the tumours. Many numerical tests are proposed and show convincing results in the localization of the tumours.