L’objectif principal de la thèse est de répondre à des questions liées aux étapes clé d’un processus de l’adaptation de modèles de plaques. Comme l’adaptativité dépend des estimateurs d’erreurs fiables, une part importante du rapport est dédiée au développement des méthodes numériques pour les estimateurs d’erreurs aussi bien dues à la discrétisation qu’au choix du modèle. Une comparaison des estimateurs d’erreurs de discrétisation d’un point de vue pratique est présentée. Une attention particulière est prêtée a la méthode de résiduels équilibrés (en anglais, "equilibrated residual method"), laquelle est potentiellement applicable aux estimations des deux types d’erreurs, de discrétisation et de modèle.Il faut souligner que, contrairement aux estimateurs d’erreurs de discrétisation, les estimateurs d’erreur de modèle sont plus difficiles à élaborer. Le concept de l’adaptativité de modèles pour les plaques est implémenté sur la base de la méthode de résiduels équilibrés et de la famille hiérarchique des éléments finis de plaques. Les éléments finis dérivés dans le cadre de la thèse, comprennent aussi bien les éléments de plaques minces et que les éléments de plaques épaisses. Ces derniers sont formulés en s’appuyant sur une théorie nouvelle de plaque, intégrant aussi les effets d’étirement le long de l’épaisseur. Les erreurs de modèle sont estimées via des calculs élément par élément. Les erreurs de discrétisation et de modèle sont estimées d’une manière indépendante, ce qui rend l’approche très robuste et facile à utiliser. Les méthodes développées sont appliquées sur plusieurs exemples numériques. Les travaux réalisés dans le cadre de la thèse représentent plusieurs contributions qui visent l’objectif final de la modélisation adaptative, ou une procédure complètement automatique permettrait de faire un choix optimal du modèle de plaques pour chaque élément de la structure. / The primary goal of the thesis is to provide some answers to the questions related to the key steps in the process of adaptive modeling of plates. Since the adaptivity depends on reliable error estimates, a large part of the thesis is related to the derivation of computational procedures for discretization error estimates as well as model error estimates. A practical comparison of some of the established discretization error estimates is made. Special attention is paid to what is called equilibrated residuum method, which has a potential to be used both for discretization error and model error estimates. It should be emphasized that the model error estimates are quite hard to obtain, in contrast to the discretization error estimates. The concept of model adaptivity for plates is in this work implemented on the basis of equilibrated residuum method and hierarchic family of plate finite element models.The finite elements used in the thesis range from thin plate finite elements to thick plate finite elements. The latter are based on a newly derived higher order plate theory, which includes through the thickness stretching. The model error is estimated by local element-wise computations. As all the finite elements, representing the chosen plate mathematical models, are re-derived in order to share the same interpolation bases, the difference between the local computations can be attributed mainly to the model error. This choice of finite elements enables effective computation of the model error estimate and improves the robustness of the adaptive modeling. Thus the discretization error can be computed by an independent procedure.Many numerical examples are provided as an illustration of performance of the derived plate elements, the derived discretization error procedures and the derived modeling error procedure. Since the basic goal of modeling in engineering is to produce an effective model, which will produce the most accurate results with the minimum input data, the need for the adaptive modeling will always be present. In this view, the present work is a contribution to the final goal of the finite element modeling of plate structures: a fully automatic adaptive procedure for the construction of an optimal computational model (an optimal finite element mesh and an optimal choice of a plate model for each element of the mesh) for a given plate structure.

L'objectif de cette thèse est l'analyse d'erreur a posteriori et la proposition de stratégies d'adaptivité basées sur des critères d'arrêt et de raffinement local de maillage. Nous traitons une classe d'équations paraboliques dégénér ées multidimensionnelles modélisant des problèmes importants pour l'industrie. Au chapitre 1 nous considérons le problème de Stefan instationaire a deux phases qui modélise un processus de changement de phase régi par la loi de Fourier. Nous régularisons la relation entre l'enthalpie et la température et nous discrétisons le problème par la méthode d'Euler implicite en temps et un schéma numérique conforme en espace tel que les élément finis conformes, ou les volumes finis centrés aux sommets du maillage. Nous démontrons une borne supérieure de la norme duale du résidu, de l'erreur sur l'enthalpie dans L2(0; T;H-1) et de l'erreur sur la température dans L2(0; T;L2), par des estimateurs d'erreur entièrement calculables. Ces estimateurs comprennent : un estimateur associé à l'erreur de régularisation, un estimateur associé à l'erreur d'une méthode de linéarisation (par exemple, la méthode de Newton), un estimateur associé à l'erreur en temps et un estimateur associé à l'erreur du schéma en espace. Par conséquent, ces estimateurs permettent de formuler un algorithme adaptatif de résolution où les erreurs associées peuvent être équilibrées. Nous proposons également une stratégie de raffinement local de maillages. En fin, nous prouvons l'efficacité de nos estimations d'erreur a posteriori. Un test numérique illustre l'efficacité de nos estimateurs et la performance de l'algorithme adaptatif. En particulier, des indices d'efficacité proches de la valeur optimale de 1 sont obtenus. Au chapitre 2 nous développons des estimations d'erreur a posteriori pour l'écoulement de Darcy polyphasique et isothermique, décrit par un système couplé d'équations aux dérivées partielles non linéaires et d'équations algébriques non linéaires. Ce système est discrétisé en espace par une méthode de volume finis centrés par maille et la méthode d'Euler implicite en temps. Nous etablissons une borne supérieure d'une norme duale du résidu augmentée d'un terme qui tiens compte de la non-conformité des volumes finis par des estimateurs d'erreur a posteriori entièrement calculables. Dans ce chapitre, nous nous concentrons sur la formulation d'un critère d'arrêt de l'algorithme de linéarisation du problème discrète (tel que la méthode de Newton) avec un critère d'arrêt du solveur algébrique de résolution du système linéarité (par exemple la méthode GMRes), de sort que les contributions des estimateurs d'erreur correspondant n'affectent plus la somme globale des estimateurs d'erreur de manière significative. Nous appliquons notre analyse sur des exemples réalistes d'ingénierie de réservoir pour confirmer qu'en général notre ajustement des critères d'arrêt apporte une économie significative (jusqu'au un ordre de magnitude en termes du nombre total des itérations du solveur algébrique), déjà sur des maillages fixes, et ceci sans perte notable de précision. Au chapitre 3 nous complétons le modèle décrit au chapitre 2 en considérant une condition non-isothermique pour l'écoulement a fin de traiter le modèle général d'écoulement polyphasique thermique dans les milieux poreux. Pour ce problème, nous développons des estimateurs d'erreur analogues a ceux du chapitre 2 pour lesquels nous établissons une borne supérieure d'erreur entièrement calculable, pour une norme duale du résidu complétée par un terme d'évaluation de la non-conformité. Nous montrons ensuite comment estimer séparément chaque composante d'erreur, ce qui nous permet d'ajuster les critères d'arrêt et d'équilibrer les contributions des différents estimateurs d'erreur : erreur d'approximation en temps, erreur d'approximation en espace, erreur de linéarisation et erreur du solveur algébrique. Ce chapitre se termine par une application des estimateurs au modèle d'huile morte. La preuve de l'efficacité de notre estimation a postiriori est egalement fournie. Finalement, au chapitre 4 nous considérons les procédés de récupération assistée d'huile. Plus précisément, nous étudions une technique de récupération thermique d'huile de type huile morte par injection de vapeur destinée a augmenter la mobilité des hydrocarbures. Dans ce chapitre, nous appliquons l'analyse a posteriori des chapitres 2 et 3, nous proposons une formule de quadrature pour simplifier l'évaluation des estimateurs, nous proposons un algorithme adaptatif de raffinement de maillages en espace et en temps basé sur les estimateurs et nous illustrons pas des essais numériques sur des exemples réalistes la performance de cette stratégie de raffinement. Notamment, des gains significatifs sont réalisés en terme du nombre de mailles nécessaires pour la simulation sur des exemples en dimension trois.