Le but initial de cette thèse était d'étudier les espaces de superlacets, version géométrique des espaces de supercordes en Physique. Le point de départ était alors d'étendre les résultats de classifications de l'article de Oleg Mokhov : Symplectic and Poisson structures on loop spaces of smooth manifolds, and integrable systems au cadre de la supergéométrie. Dans cet article l'auteur établit une classification des formes symplectiques locales homogènes d'ordre 0, 1 et 2 sur l'espace des lacets LM = C1(S1;M) à partir d'objets géométriques sur la variété différentiable M. Dans cette thèse, on remplace la variété M par une supervariété Mpjq et le cercle S1 par un supercercle S1jn et l'on étudie l'espace des morphismes de supervariétésMor(S1jn;Mpjq). Dans les deux premières parties, l'on définit les structures géométriques classiques et super des espaces de superlacets. Pour ce faire, l'on se restreint aux deux supercercles S1j1 et en s'inspirant des travaux sur LM, l'on détermine une structure de variété de Fréchet des espaces de superlacets SLM = Mor(S1j1;M). Puis l'on introduit la structure super qui nous a semblé la plus naturelle sur SLM en terme de faisceaux. Afin de pouvoir travailler en coordonnées, l'on introduit la structure super par un autre point de vue en considérant l'espace de superlacets SLM comme le foncteur de points SLM. De plus, en interprétant les calculs de Mokhov en terme de jets, ceci nous permet d'une part d'apporter une justification rigoureuse aux-dits calculs et d'autre part, d'obtenir une généralisation directe des méthodes de calculs en coordonnées ("à la physicienne"). Le troisième chapitre expose les résultats de classification obtenus. Comme dans le cas classique, on obtient un théorème de dépendance limitée de l'ordre des jets qui interviennent dans les formes d'ordre 0 et 1. Puis, on obtient une classification des formes d'ordre 0 au moyen de formes différentielles sur la supervariété Mpjq. Une classification des formes homogènes d'ordre 1 et 2 au moyen de métriques Riemaniennes et de connexions sur Mpjq. Enfin le quatrième chapitre est consacré à la généralisation des résultats d'un autre article de O. Mokhov : Complex homogeneous forms on loop spaces of smooth manifolds and their cohomology groups. De par la présence de la variable impaire, on précise tout d'abord la définition des formes homogènes locales sur SLM, puis on démontre que muni de la différentielle extérieure, l'espace des formes homogènes sur SLM d'ordre m 2 N donné définit un complexe. On calcule alors complètement les espaces de cohomologie pour les ordres m = 0 et 1, partiellement pour les ordres 2 et 3 et on explicite ainsi les formes symplectiques exactes obtenues au troisième chapitre.

Le but initial de cette thèse était d’étudier les espaces de superlacets, version géométrique des espaces de supercordes en Physique. Le point de départ était alors d’étendre les résultats de classifications de l’article de Oleg Mokhov : Symplectic and Poisson structures on loop spaces of smooth manifolds, and integrable systems au cadre de la supergéométrie. Dans cet article l’auteur établit une classification des formes symplectiques locales homogènes d’ordre 0, 1 et 2 sur l’espace des lacets LM = C1(S1;M) à partir d’objets géométriques sur la variété différentiable M. Dans cette thèse, on remplace la variété M par une supervariété Mpjq et le cercle S1 par un supercercle S1jn et l’on étudie l’espace des morphismes de supervariétésMor(S1jn;Mpjq). Dans les deux premières parties, l’on définit les structures géométriques classiques et super des espaces de superlacets. Pour ce faire, l’on se restreint aux deux supercercles S1j1 et en s’inspirant des travaux sur LM, l’on détermine une structure de variété de Fréchet des espaces de superlacets SLM = Mor(S1j1;M). Puis l’on introduit la structure super qui nous a semblé la plus naturelle sur SLM en terme de faisceaux. Afin de pouvoir travailler en coordonnées, l’on introduit la structure super par un autre point de vue en considérant l’espace de superlacets SLM comme le foncteur de points SLM. De plus, en interprétant les calculs de Mokhov en terme de jets, ceci nous permet d’une part d’apporter une justification rigoureuse aux-dits calculs et d’autre part, d’obtenir une généralisation directe des méthodes de calculs en coordonnées ("à la physicienne"). Le troisième chapitre expose les résultats de classification obtenus. Comme dans le cas classique, on obtient un théorème de dépendance limitée de l’ordre des jets qui interviennent dans les formes d’ordre 0 et 1. Puis, on obtient une classification des formes d’ordre 0 au moyen de formes différentielles sur la supervariété Mpjq. Une classification des formes homogènes d’ordre 1 et 2 au moyen de métriques Riemaniennes et de connexions sur Mpjq. Enfin le quatrième chapitre est consacré à la généralisation des résultats d’un autre article de O. Mokhov : Complex homogeneous forms on loop spaces of smooth manifolds and their cohomology groups. De par la présence de la variable impaire, on précise tout d’abord la définition des formes homogènes locales sur SLM, puis on démontre que muni de la différentielle extérieure, l’espace des formes homogènes sur SLM d’ordre m 2 N donné définit un complexe. On calcule alors complètement les espaces de cohomologie pour les ordres m = 0 et 1, partiellement pour les ordres 2 et 3 et on explicite ainsi les formes symplectiques exactes obtenues au troisième chapitre. / The goal of the thesis was to study superloopspaces, the geometric version of superstrings in Physics, by extending the classification results contained in Oleg Mokov’s paper : Symplectic and Poisson structures on loop spaces of smooth manifolds, and integrable systems to the supergeometric setting. In it, lies the classification of local homogeneous symplectic forms of order 0, 1 and 2 on the loopspace LM = C1(S1;M) by means of geometric objects on the manifold M. In this thesis, the manifold M becomes a supermanifold Mpjq, the circle S1 becomes a supercircle S1jn and we consider the superloopspace as the space of morphisms of supermanifolds Mor(S1jn;Mpjq). In the two first chapters, we look at the classical and super geometric structures of the superloopspaces. To do this, we restrict ourselves to the two supercircles S1j1 and using the previous works on LM, we define a Fréchet manifold structure on the superloopspaces SLM = Mor(S1j1;M). Then we bring in what we consider as the most natural superstructure on SLM by means of sheaves. In order to work with coordinates, we adopt another point of view considering SLM as the functor of points SLM. Moreover, rewriting Mokhov results in terms of jets allows us to give a rigorous proof of those calculations and also to extend right away the methods of calculations in coordinates. The third chapter contains the new classification results we obtained. Similarly to the classical case, we first show that the order of the jets in the forms of order 0 and 1 is bounded. Then we give the complete classification of the symplectics forms of order 0 by means of differential forms on the manifold Mpjq and of homogeneous symplectics forms of order 1 and 2 using Riemannian metrics and connections on Mpjq. Finally, the fourth chapter is devoted to extending the cohomology results of an other Mokhov’s article : Complex homogeneous forms on loop spaces of smooth manifolds and their cohomology groups. We first discuss the dependance of the odd variable in the homogeneous forms on SLM, and show that with the exterior derivative, the space of homogeneous forms on SLM of a given order m 2 N is a complex. We then calculate the cohomological spaces, completely for the order m = 0 and 1, partially for the order 2 and 3 and we identify the exact forms amongst those of the third chapter.

Dans une première partie, on établit des résultats structuraux sur la construction cobar, visant à obtenir un relèvement homotopique explicite d'une structure de BV-algèbre sur la double construction cobar. Ces résultats interviennent à différentes itérations de la construction cobar. En conclusion, nous obtenons par descente de structures, un critère à l'obtention d'une structure de BV-algèbre homotopique (à la Gerstenhaber-Voronov) sur la double construction cobar Ω²C d'une G-cogèbre homotopique C, ceci en terme de co-opérations structurelles de C. Dans une seconde partie, nous appliquons le critère précédent sur la G-cogèbre homotopique C(X), où C(X) est le complexe de chaînes simpliciales sur un ensemble simplicial X. La structure de G-cogèbre homotopique considérée sur C(X) est telle que la double construction cobar Ω²C(X) est un modèle pour les lacets doubles Ω²|X|. Nous donnons ensuite des résultats de comparaisons entre la structure d'algèbre de Batalin-Vilkovisky obtenue sur la double construction cobar Ω²C(X) lorsque X est une double suspension et celle sur l'homologie H(Ω²|X|) induite par l'action diagonale du cercle sur Ω²|X|. Pour finir, lorsque l'anneau des coefficients est Q, nous déformons la structure de dg-algèbre de Hopf sur la construction cobar de Baues ΩC(X) en une structure de dg-algèbre de Hopf involutive (∇, S). On obtient alors une structure de BV-algèbre homotopique sur la double construction cobar Ω(ΩC(X), ∇, S) pour tout ensemble simplicial X.