Neste trabalho foram estudadas algumas formas de relação entre séries temporais multivariadas. Discutiu-se, inicialmente, a função de coerência, uma função análoga a função de correlação(que é dada no domínio do tempo) calculada no domínio da freqüência. Foram estudadas também as funções de coerência parcial e coerência parcial direcionada. A função de coerência parcial mede a relação entre duas componentes de uma série multivariada, isolados os efeitos de outra série. Em linhas gerais, a Coerência Parcial Direcionada pode ser interpredata como a decomposição da coerência parcial a partir de modelos autoregressivos multivariados. Esse conceito pode ser interpretado como uma representação do conceito de causalidade de Granger no domínio da freqüência. Finalmente, foram aplicadas as funções acima em dois conjuntos de dados: um modelo VAR(1) trivariado simulado e dados de medições de eletroencefalograma. / In this work we studied relationships between multivariate time series. We discussed the coherence function, a function similar to the correlation function(calculated in time domain) in frequency domain. Next, we discussed partial coherence and partial directed coherence. The partial coherence measures the relationship between two components of a multivariate time series, after removing the influence of another time series. Generally, the partial directed coherence can be interpreted as the decompositioin of the partial coherence from multivariate autoregressive models. We can interpret this function as a representation of the Granger causality concept in frequency domain. Finally, we applied these concepts in two situations: a simulated VAR(1) model and an electroencefalogram database.

Neste trabalho foram estudadas algumas formas de relação entre séries temporais multivariadas. Discutiu-se, inicialmente, a função de coerência, uma função análoga a função de correlação(que é dada no domínio do tempo) calculada no domínio da freqüência. Foram estudadas também as funções de coerência parcial e coerência parcial direcionada. A função de coerência parcial mede a relação entre duas componentes de uma série multivariada, isolados os efeitos de outra série. Em linhas gerais, a Coerência Parcial Direcionada pode ser interpredata como a decomposição da coerência parcial a partir de modelos autoregressivos multivariados. Esse conceito pode ser interpretado como uma representação do conceito de causalidade de Granger no domínio da freqüência. Finalmente, foram aplicadas as funções acima em dois conjuntos de dados: um modelo VAR(1) trivariado simulado e dados de medições de eletroencefalograma. / In this work we studied relationships between multivariate time series. We discussed the coherence function, a function similar to the correlation function(calculated in time domain) in frequency domain. Next, we discussed partial coherence and partial directed coherence. The partial coherence measures the relationship between two components of a multivariate time series, after removing the influence of another time series. Generally, the partial directed coherence can be interpreted as the decompositioin of the partial coherence from multivariate autoregressive models. We can interpret this function as a representation of the Granger causality concept in frequency domain. Finally, we applied these concepts in two situations: a simulated VAR(1) model and an electroencefalogram database.

A resposta oceânica a perturbações com períodos e comprimentos significativamente maiores que o período inercial e que o raio de deformação de Rossby se dá na forma de ondas de Rossby planetárias. Geralmente, as perturbações são atribuídas a variações no rotacional do vento via bombeamento de Ekman. A passagem dessas ondas causa deformação das isopicnais, podendo resultar em anomalias da temperatura da superfície do mar (TSM) por advecção vertical. Dependendo de como ocorre a interação ar-mar, anomalias de TSM podem alterar o campo de ventos ou serem alteradas por ele através de fluxo de calor. Este trabalho utiliza dez anos de dados de temperatura da superfície do mar, velocidade e direção dos ventos e anomalia da altura do mar obtidos por satélites para identificar regiões do oceano onde há forçamento direto do vento na geração de ondas planetárias que se propagam linearmente. Mapas de correlação cruzada entre essas variáveis permitiram identificar onde a interação entre o oceano e a atmosfera é linear. Um modelo simples de uma camada e meia forçado apenas pelo bombeamento de Ekman foi utilizado para testar se, nestas regiões, a variabilidade atmosférica seria suficiente para explicar a variabilidade das ondas de Rossby estimadas pelos dados altimétricos. A interação entre a TSM e a intensidade do vento no Atlântico sul tropical é distinta das demais bacias oceânicas. Das correlações entre a TSM e o rotacional da tensão de cisalhamento do vento, observou-se que a dinâmica de Ekman não é marcante no Índico. Nas regiões tropicais do Atlântico e do Pacífico, as previsões do modelo foram similares às observações. Por fim, foram obtidas evidências de geração e retroalimentação de ondas planetárias nas bordas leste do Atlântico e do Pacífico. / Rossby waves are the ocean response to perturbations whose temporal and spatial scales are significantly longer than both the inertial period and the Rossby radius of deformation. These perturbations are, more often than not, attributed to variations in the wind stress curl {\\em via} Ekman pumping. The waves cause isopycnal displacement which due to vertical advection may result in sea surface temperature (SST) anomalies. Depending on the ocean--atmosphere interaction, SST anomalies can either change the wind field or be changed by it due to the heat flux. This study makes use of ten years of satellite derived SST, wind vector, and sea surface height anomaly data to identify regions where there is direct wind forcing of linear Rossby waves. Cross-correlation maps between these variables show where linear interactions occur. A simple 1½ layer model forced by Ekman pumping was used to check if, in those regions, atmospheric variability alone can explain the observed Rossby wave variability as estimated from radar altimeter data. The interaction between SST and wind magnitude in the South Atlantic is distinct from all other ocean basins. SST and wind stress curl correlations show that the Ekman dynamics is not dominant in the Indian Ocean. In the tropical Atlantic and Pacific the model predictions are similar to the observations. Finally, evidence of genesis and feedback of planetary waves is presented for the eastern boundaries of the Atlantic and Pacific oceans.

A resposta oceânica a perturbações com períodos e comprimentos significativamente maiores que o período inercial e que o raio de deformação de Rossby se dá na forma de ondas de Rossby planetárias. Geralmente, as perturbações são atribuídas a variações no rotacional do vento via bombeamento de Ekman. A passagem dessas ondas causa deformação das isopicnais, podendo resultar em anomalias da temperatura da superfície do mar (TSM) por advecção vertical. Dependendo de como ocorre a interação ar-mar, anomalias de TSM podem alterar o campo de ventos ou serem alteradas por ele através de fluxo de calor. Este trabalho utiliza dez anos de dados de temperatura da superfície do mar, velocidade e direção dos ventos e anomalia da altura do mar obtidos por satélites para identificar regiões do oceano onde há forçamento direto do vento na geração de ondas planetárias que se propagam linearmente. Mapas de correlação cruzada entre essas variáveis permitiram identificar onde a interação entre o oceano e a atmosfera é linear. Um modelo simples de uma camada e meia forçado apenas pelo bombeamento de Ekman foi utilizado para testar se, nestas regiões, a variabilidade atmosférica seria suficiente para explicar a variabilidade das ondas de Rossby estimadas pelos dados altimétricos. A interação entre a TSM e a intensidade do vento no Atlântico sul tropical é distinta das demais bacias oceânicas. Das correlações entre a TSM e o rotacional da tensão de cisalhamento do vento, observou-se que a dinâmica de Ekman não é marcante no Índico. Nas regiões tropicais do Atlântico e do Pacífico, as previsões do modelo foram similares às observações. Por fim, foram obtidas evidências de geração e retroalimentação de ondas planetárias nas bordas leste do Atlântico e do Pacífico. / Rossby waves are the ocean response to perturbations whose temporal and spatial scales are significantly longer than both the inertial period and the Rossby radius of deformation. These perturbations are, more often than not, attributed to variations in the wind stress curl {\\em via} Ekman pumping. The waves cause isopycnal displacement which due to vertical advection may result in sea surface temperature (SST) anomalies. Depending on the ocean--atmosphere interaction, SST anomalies can either change the wind field or be changed by it due to the heat flux. This study makes use of ten years of satellite derived SST, wind vector, and sea surface height anomaly data to identify regions where there is direct wind forcing of linear Rossby waves. Cross-correlation maps between these variables show where linear interactions occur. A simple 1½ layer model forced by Ekman pumping was used to check if, in those regions, atmospheric variability alone can explain the observed Rossby wave variability as estimated from radar altimeter data. The interaction between SST and wind magnitude in the South Atlantic is distinct from all other ocean basins. SST and wind stress curl correlations show that the Ekman dynamics is not dominant in the Indian Ocean. In the tropical Atlantic and Pacific the model predictions are similar to the observations. Finally, evidence of genesis and feedback of planetary waves is presented for the eastern boundaries of the Atlantic and Pacific oceans.

The main goal of this study is to propose a methodology that measures directed relations between locally stationary processes. Unlike stationary processes, locally stationary processes may present sudden pattern changes and have local characteristics in specific intervals. This behavior causes instability in measures based on Fourier transforms. The relevance of this study relies on considering these processes and propose robust methodologies that are not affected by outliers, sudden pattern changes or local behavior. We start reviewing the Partial Directed Coherence (PDC) and the Wavelet Coherence. PDC measures the directed relation between components of a multivariate stationary Vector Autoregressive (VAR) model in the frequency domain, while Wavelet Coherence is based on complex wavelets decomposition. We then propose a causal wavelet decomposition of the covariance structure for bivariate locally stationary processes: the Directed Wavelet Covariance (DWC). Compared to Fourier-based quantities, wavelet-based estimators are more appropriate for non-stationary processes and processes with local patterns, outliers and rapid regime changes like in EEG experiments with the introduction of stimuli. We then propose its estimators and calculate its expectation and analyze its variance. Next we propose a decomposition for the variance of multivariate processes with more than two components: the Partial Directed Wavelet Covariance (pDWC). Considering a N-variate locally stationary process, the pDWC calculates the Directed Wavelet Covariance of X_1(t) with X_2(t) eliminating the effect of the other components X_3(t), ... ,X_N(t). We propose two approaches to this situation. First we filter the multivariate process to remove all the exogenous influences and then we calculate the directed relation between the components. In the second case, as in Partial Directed Coherence, we consider the multivariate process as a time-varying Vector Autoregressive Model (tv-VAR) and use its coefficients in the decomposition of the covariance function to isolate the effects of the other components. We also compare results of the PDC, Wavelet Coherence and Directed Wavelet Covariance with simulated data. Finally, we present an application of the proposed Directed Wavelet Covariance and Partial Directed Wavelet Covariance on EEG data. Simulation results show that the proposed measures capture the simulated relations. The pDWC with linear filter has shown more stable estimations than the proposed pDWC considering the tv-VAR. Future studies will discuss the DWC\'s and pDWC\'s asymptotic distributions and significance tests. The proposed Directed Wavelet Covariance decomposition is a different approach to deal with non-stationary processes in the context of causality. The use of wavelets is a gain and adds to the number of studies that can be addressed when Fourier transform does not apply. The pDWC is an alternative for multivariate processes and it removes linear influences from observed external components. / O objetivo deste trabalho é propor uma metodologia para mensurar o impacto direcionado entre processos localmente estacionários. Diferente de processos estacionários, processos localmente estacionários podem apresentar mudanças bruscas e características específicas em determinados intervalos. Tal comportamento pode causar instabilidade em medidas baseadas na transformada de Fourier. A importância deste estudo se dá em englobar processos com tais características, propondo metodologias robustas que não são afetadas pela existência de mudanças bruscas, pontos discrepantes e comportamentos locais. Inicialmente apresentamos conceitos já existentes na literatura, como a Coerência Parcial Direcionada (PDC) e a Coerência de Ondaletas. A PDC mede o impacto direcionado entre componentes de um modelo vetorial autoregressivo (VAR) no domínio da frequência. A coerência de ondaletas é baseada em transformadas complexas de ondaletas. Propomos então uma decomposição no domínio de ondaletas para a estrutura de covariância de processos bivariados localmente estacionários: a Covariância Direcionada de Ondaletas (DWC). Em comparação com as quantidades baseadas na tranformada Fourier, os estimadores baseados em ondaletas são mais apropriados para processos não estacionários com padrões locais, pontos discrepantes ou mudanças rápidas de regime, como em experimentos de eletroencefalograma (EEG) com a introdução de estímulo. Ainda, propomos um estimador para a DWC, calculamos a esperança deste estimador e avaliamos sua variância. Em seguida, propomos uma quantidade análoga à DWC para processos multivariados com mais de duas componentes: a Covariância Parcial Direcionada de Ondaletas (pDWC). Considerando um processo N-variado localmente estacionário, a pDWC calcula a Covariância Direcionada de Ondaletas entre X_1(t) e X_2(t) eliminando o efeito das outras componentes X_3(t), ... , X_N(t). Propomos duas abordagens para a pDWC: na primeira, a pDWC é calculada após a aplicação de um filtro linear que remove o efeito das variáveis exógenas. No segundo caso, a exemplo da Coerência Parcial Direcionada, consideramos o processo multivariado como um Modelo Autoregressivo de Vetorial variante no tempo (tv-VAR) e usamos seus coeficientes na decomposição da função de covariância para isolar os efeitos das demais componentes. Também comparamos os resultados da PDC, Coerência de Ondaletas e Covariância Direcionada de Ondaletas com dados simulados. Por fim, apresentamos uma aplicação da DWC e da pDWC em dados de EEG. Identificamos nas simulações que tanto as medidas já existentes na literatura quanto as quantidades propostas identificaram as relações simuladas. A pDWC proposta com filtros lineares apresentou estimações mais estáveis do que a pDWC considerando os modelos tv-VAR. Estudos futuros discutirão as propriedades assintóticas e testes de significância da DWC e pDWC.

The main goal of this study is to propose a methodology that measures directed relations between locally stationary processes. Unlike stationary processes, locally stationary processes may present sudden pattern changes and have local characteristics in specific intervals. This behavior causes instability in measures based on Fourier transforms. The relevance of this study relies on considering these processes and propose robust methodologies that are not affected by outliers, sudden pattern changes or local behavior. We start reviewing the Partial Directed Coherence (PDC) and the Wavelet Coherence. PDC measures the directed relation between components of a multivariate stationary Vector Autoregressive (VAR) model in the frequency domain, while Wavelet Coherence is based on complex wavelets decomposition. We then propose a causal wavelet decomposition of the covariance structure for bivariate locally stationary processes: the Directed Wavelet Covariance (DWC). Compared to Fourier-based quantities, wavelet-based estimators are more appropriate for non-stationary processes and processes with local patterns, outliers and rapid regime changes like in EEG experiments with the introduction of stimuli. We then propose its estimators and calculate its expectation and analyze its variance. Next we propose a decomposition for the variance of multivariate processes with more than two components: the Partial Directed Wavelet Covariance (pDWC). Considering a N-variate locally stationary process, the pDWC calculates the Directed Wavelet Covariance of X_1(t) with X_2(t) eliminating the effect of the other components X_3(t), ... ,X_N(t). We propose two approaches to this situation. First we filter the multivariate process to remove all the exogenous influences and then we calculate the directed relation between the components. In the second case, as in Partial Directed Coherence, we consider the multivariate process as a time-varying Vector Autoregressive Model (tv-VAR) and use its coefficients in the decomposition of the covariance function to isolate the effects of the other components. We also compare results of the PDC, Wavelet Coherence and Directed Wavelet Covariance with simulated data. Finally, we present an application of the proposed Directed Wavelet Covariance and Partial Directed Wavelet Covariance on EEG data. Simulation results show that the proposed measures capture the simulated relations. The pDWC with linear filter has shown more stable estimations than the proposed pDWC considering the tv-VAR. Future studies will discuss the DWC\'s and pDWC\'s asymptotic distributions and significance tests. The proposed Directed Wavelet Covariance decomposition is a different approach to deal with non-stationary processes in the context of causality. The use of wavelets is a gain and adds to the number of studies that can be addressed when Fourier transform does not apply. The pDWC is an alternative for multivariate processes and it removes linear influences from observed external components. / O objetivo deste trabalho é propor uma metodologia para mensurar o impacto direcionado entre processos localmente estacionários. Diferente de processos estacionários, processos localmente estacionários podem apresentar mudanças bruscas e características específicas em determinados intervalos. Tal comportamento pode causar instabilidade em medidas baseadas na transformada de Fourier. A importância deste estudo se dá em englobar processos com tais características, propondo metodologias robustas que não são afetadas pela existência de mudanças bruscas, pontos discrepantes e comportamentos locais. Inicialmente apresentamos conceitos já existentes na literatura, como a Coerência Parcial Direcionada (PDC) e a Coerência de Ondaletas. A PDC mede o impacto direcionado entre componentes de um modelo vetorial autoregressivo (VAR) no domínio da frequência. A coerência de ondaletas é baseada em transformadas complexas de ondaletas. Propomos então uma decomposição no domínio de ondaletas para a estrutura de covariância de processos bivariados localmente estacionários: a Covariância Direcionada de Ondaletas (DWC). Em comparação com as quantidades baseadas na tranformada Fourier, os estimadores baseados em ondaletas são mais apropriados para processos não estacionários com padrões locais, pontos discrepantes ou mudanças rápidas de regime, como em experimentos de eletroencefalograma (EEG) com a introdução de estímulo. Ainda, propomos um estimador para a DWC, calculamos a esperança deste estimador e avaliamos sua variância. Em seguida, propomos uma quantidade análoga à DWC para processos multivariados com mais de duas componentes: a Covariância Parcial Direcionada de Ondaletas (pDWC). Considerando um processo N-variado localmente estacionário, a pDWC calcula a Covariância Direcionada de Ondaletas entre X_1(t) e X_2(t) eliminando o efeito das outras componentes X_3(t), ... , X_N(t). Propomos duas abordagens para a pDWC: na primeira, a pDWC é calculada após a aplicação de um filtro linear que remove o efeito das variáveis exógenas. No segundo caso, a exemplo da Coerência Parcial Direcionada, consideramos o processo multivariado como um Modelo Autoregressivo de Vetorial variante no tempo (tv-VAR) e usamos seus coeficientes na decomposição da função de covariância para isolar os efeitos das demais componentes. Também comparamos os resultados da PDC, Coerência de Ondaletas e Covariância Direcionada de Ondaletas com dados simulados. Por fim, apresentamos uma aplicação da DWC e da pDWC em dados de EEG. Identificamos nas simulações que tanto as medidas já existentes na literatura quanto as quantidades propostas identificaram as relações simuladas. A pDWC proposta com filtros lineares apresentou estimações mais estáveis do que a pDWC considerando os modelos tv-VAR. Estudos futuros discutirão as propriedades assintóticas e testes de significância da DWC e pDWC.