Fragmentation processes describe phenomena of random splitting, with possibly infinite activity, according to certain rules that give rise to a close relation of these processes to branching processes and L´evy processes. In this thesis we study some asymptotic properties of fragmentation processes. More specifically, we prove certain strong laws of large numbers for self–similar fragmentations and we deal with the existence and uniqueness of solutions ofthe one–sided FKPP travelling wave equation for homogenous fragmentation processes. In addition to being concerned with standard fragmentation processes we also consider fragmentation processes with immigration, fragmentations stopped at a stopping line as well as killed fragmentation processes.

O estudo de dinâmica de populações é um tema recorrente na biologia matemática. As características centrais a serem consideradas em problemas deste tipo são o comportamento do crescimento seguido por determinada população no tempo e a descrição dos aspectos espaciais. O problema abordado neste trabalho resume-se em descrever uma população movendo-se no espaço sujeita a uma taxa de crescimento contida por uma saturação. Pressupõe-se um modelo dinâmico com difusão espacial fikiana em uma dimensão. Neste modelo, representado pela equação de Fisher-Komolgorov-Petroviski-Piskunov (FKPP), introduz-se algumas heterogeneidades espaciais, gerando descontinuidade no modelo. Tal descontinuidade pode ser interpretada em termos biológicos como uma fragmentação do espaço. Estamos interessados em encontrar a solução para o tamanho crítico mínimo que um fragmento deve ter para que seja próspero em sistemas de um ou dois fragmentos, todos de mesmo tamanho. Verifica-se com isso uma diferença entre o tamanho crítico dos fragmentos, que depende do grau de favorabilidade a vida, assim como a distância entre fragmentos. Verificou-se ainda a influência exercida pelo isolamento do sistema do meio externo aumentando significativamente o tamanho crítico de cada um dos fragmentos nos casos de isolamento. / The study of population dynamics is a frequent topic in mathematical biology. The most important points to consider in these type of simulations are the growth behaviour of a specific population over time and the description of the spatial aspects. The addressed problem in this work is to describe a population moving in space subject to a growth rate contained by a saturation. A dynamic one-dimensional Fickian diffusion model was adopted. In order to introduce discontinuity in the model, described by the Fisher-Komolgorov-Petroviski-Piskunov (FKPP) equation, some spatial heterogeneities were added. In biological terms, this discontinuity can be understood as a space fragmentation. The aim of this work is to determine the minimum critical size that a fragment must have so it can be prosperous in systems of one or two fragments, all of the same size. It was found that the minimum critical size depends on the number of fragments, the degree of life favorability, as well as the distance between the fragments. It was also found that the higher the isolation from the external environment , the higher the critical size of each fragment in case of isolation.

In this thesis, we study a class of reaction-diffusion equations of the form $\frac{\partial u}{\partial t} = \mathcal{L}u + \phi u - \tfrac{1}{k} u^{k+1}$ where $\mathcal{L}$ is the stochastic generator of a Markov process, $\phi$ is a function of the space variables and $k\in \mathbb{R}\backslash\{0\}$. An important example, in the case when $k > 0$, is equations of the FKPP-type. We also give an example from the theory of utility maximisation problems when such equations arise and in this case $k < 0$. We introduce a new representation, for the solution of the equation, as the optimal value of an optimal control problem. We also give a second representation which can be seen as a dual problem to the first optimisation problem. We note that this is a new type of dual problem and we compare it to the standard Lagrangian dual formulation. By choosing controls in the optimisation problems we obtain upper and lower bounds on the solution to the PDE. We use these bounds to study the speed of the wave front of the PDE in the case when $\mathcal{L}$ is the generator of a suitable Lévy process.

[pt] Uma propriedade notável dos sistemas biológicos é a formação de estruturas espaciais. Estas podem surgir por auto-organização, como consequência das próprias interações entre os indivíduos. Para estudar estas estruturas e como elas emergem, têm sido muito úteis modelos simples para a dinâmica da densidade espacial de uma população, que levam em conta apenas certos processos elementares (como reprodução, competição e dispersão). Em particular, a equação de FKPP (Fisher-Kolmogorov- Petrovski-Piskunov), que inclui simplesmente o crescimento logístico mais a difusão normal, é um modelo clássico para a dinâmica de uma população de uma única espécie. Dentro do quadro minimalista da equação de FKPP e suas variantes, a competição à distância (ou, não local) é a principal responsável por produzir oscilações espaciais na densidade da população. Entretanto, a não localidade pode ocorrer também nos demais processos. Assim, um primeiro objetivo desta tese é investigar como as diferentes escalas espaciais presentes podem interferir entre si, afetando a formação de padrões. Para isso, consideramos uma generalização da equação de FKPP em que todos os termos são não locais, em um ambiente homogêneo com condições de contorno periódicas. Enquanto a competição é o principal processo por trás da formação de padrões, mostramos que os outros dois podem agir de forma construtiva ou destrutiva. Por exemplo, a difusão, que comumente homogeniza, pode favorecer a formação de padrões dependendo do formato e alcance das funções de influência de cada processo. Em um segundo estudo, motivado por resultados experimentais, procuramos entender como a variabilidade da difusividade pode impactar a organização espacial da população dentro e fora de um refúgio (região de alta qualidade imersa em um ambiente hostil). Para tanto, consideramos uma outra generalização da equação de FKPP, com não localidade apenas no processo de competição intra-espécie, e modificada para levar em conta a presença do refúgio. Além da dependência espacial da taxa de crescimento, que é a principal característica distintiva de um refúgio em um ambiente hostil, também consideramos o fato de que a mobilidade pode ser heterogênea no espaço ou depender da densidade populacional. Focamos em dois casos em que a difusividade responde à densidade de indivíduos, diminuindo ou aumentando com a densidade populacional. Para comparação, também abordamos a difusividade dependente do espaço, com valores diferentes dentro e fora do refúgio. Observamos que o limiar da formação de padrões, no espaço de parâmetros, é bastante robusto diante destas heterogeneidades. Por outro lado, a dependência com a densidade pode produzir uma realimentação que está ausente em meios homogêneos, e que afeta a forma dos padrões. Em todos os casos, os resultados foram obtidos mediante a integração numérica das equações integro-diferenciais e realizando considerações analíticas. / [en] A remarkable property of biological systems is the formation of spatial structures. These can arise by self-organization, as a consequence of the interactions between individuals. To study these structures and how they emerge, simple models for the dynamics of the spatial density of a population, which take into account only certain elementary processes (such as reproduction, competition and dispersion) have been very useful. In particular, the FKPP (Fisher-Kolmogorov-Petrovski-Piskunov) equation, which simply includes logistic growth plus normal diffusion, is a classic model for the dynamics of a population of a single species. Within the minimalist framework of the FKPP equation and its variants, distance (or, non-local) competition is primarily responsible for producing spatial oscillations in population density. However, non-locality can also be present in other processes. Then, a first objective of this thesis is to investigate how the different spatial scales which are present in each process can interfere between them, affecting the formation of patterns in a homogeneous environment with periodic boundary conditions. For this purpose, we consider a generalization of the FKPP equation in which all terms are nonlocal. While competition is the main process behind pattern formation, we show that the other two can act constructively or destructively. For example, diffusion, which commonly homogenizes, can favor the formation of patterns depending on the format and range of the influence functions of each process. In a second study, motivated by experimental results, we seek to understand how the variability of the diffusivity can impact the spatial organization of the population inside and outside a refuge (a high-quality region immersed in a hostile environment). Therefore, we consider another generalization of the FKPP equation, with non-locality only in the intra-species competition process, modified to take into account the presence of the refuge. In addition to the spatial dependence of the growth rate, which is the main distinguishing feature of a refuge in a hostile environment, we also consider the fact that mobility can be spatially heterogeneous or depend on population density. We focus on two cases in which diffusivity responds to the density of individuals, decreasing or increasing with population density. For comparison, we also address spacedependent diffusivity, with different values inside and outside the refuge. We observed that the threshold of pattern formation in parameter space is quite robust under the presence of these heterogeneities. On the other hand, density dependence can produce a feedback that is absent in homogeneous media, and that affects the shape of the patterns. In all cases, the results were obtained by numerical simulations of the integro-differential equations and by analytical considerations.

Dans cette thèse, le mouvement brownien branchant (MBB) est un système aléatoire de particules, où celles-ci diffusent sur la droite réelle selon des mouvements browniens et branchent à taux constant en un nombre aléatoire de particules d'espérance supérieure à 1. Nous étudions deux modèles de MBB avec sélection : le MBB avec absorption à une droite espace-temps et le N -MBB, où, dès que le nombre de particules dépasse un nombre donné N , seules les N particules les plus à droite sont gardées tandis que les autres sont enlevées du système. Pour le premier modèle, nous étudions la loi du nombre de particules absorbées dans le cas où le processus s'éteint presque sûrement, en utilisant un lien entre les équations de Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskounov (FKPP) et de Briot-Bouquet. Pour le deuxième modèle, dont l'étude représente la plus grande partie de cette thèse, nous donnons des asymptotiques précises sur la position du nuage de particules quand N est grand. Plus précisément, nous montrons qu'elle converge à l'échelle de temps log³ N vers un processus de Lévy plus une dérive linéaire, tous les deux explicites, confirmant des prévisions de Brunet, Derrida, Mueller et Munier. Cette étude contribue à la compréhension de fronts du type FKPP sous l'influence de bruit. Enfin, une troisième partie montre le lien qui existe entre le MBB et des processus ponctuels stables.