We investigate properties of Koszmider spaces. We show that if K and L are compact Hausdor spaces with no isolated points, K is Koszmider and C(K) is isomorphic to C(L), then K and L are homeomorphic and, in particular, L is also Koszmider. We also analyse topological properties of Koszmider spaces and show that a connected Koszmider space is strongly rigid. In addition to Koszmider spaces, we introduce the notion of weakly Koszmider spaces. Having established an alternative characterisation thereof, we show that, while it is evident that every Koszmider space is weakly Koszmider, the reverse implication does not hold. We also prove that if C(K) and C(L) are isomorphic and K is weakly Koszmider, then so is L. However, if K is Koszmider, there always exists a non-Koszmider space L such that C(K) and C(L) are isomorphic. In the second part of the thesis we present two separable Koszmider spaces the construction of which does not use any set-theoretical assumptions except for the usual (ZFC) axioms. The first space is zero-dimensional, being the Stone space of a Boolean algebra. The second construction results in a separable connected Koszmider space.

No presente trabalho, estudamos alguns aspectos da teoria de estruturas complexas em espaços de Banach. Demonstramos que se um espaço de Banach real $X$ tem a propriedade $P$, então todas as estruturas complexas em $X$ também satisfazem $P$, quando $P$ é qualquer uma das seguintes propriedades: propriedade de aproximação limitada, \\emph{G.L-l.u.st}, ser injetivo e ser complementado num espaço dual. Abordamos o problema da unicidade de estruturas complexas em espaços de Banach com base subsimétrica, provando que um espaço de Banach real $E$ com base subsimétrica e isomorfo ao espaço de sequências $E[E]$ admite estrutura complexa única. Por outro lado, apresentamos um exemplo de espaço de Banach com exatamente $\\omega$ estruturas complexas distintas. Também usamos a teoria de estruturas complexas para estudar o clássico problema dos hiperplanos no espaço $Z_2$ de Kalton-Peck. Com o propósito de distinguir $Z_2$ de seus hiperplanos nos perguntamos se os hiperplanos admitem estrutura complexa. Nesse sentido, provamos que os hiperplanos de $Z_2$ contendo a cópia canônica de $\\ell_2$ não admitem estruturas complexas que sejam extensões de estruturas complexas em $\\ell_2$. Também construímos uma estrutura complexa em $\\ell_2$ que não pode-se estender a nenhum operador em $Z_2$. / In this work, we study some aspects of the theory of complex structures in Banach spaces. We show that if a real Banach space $X$ has the property $P$, then all its complex structures also satisfy $P$, where $P$ is any of the following properties: bounded approximation property, \\emph{G.L-l.u.st}, being injective and being complemented in a dual space. We address the problem of uniqueness of complex structures in Banach spaces with subsymmetric basis by proving that a real Banach space $E$ with subsymmetric basis and isomorphic to the space of sequences $E [E]$ admits a unique complex structure. On the other hand, we show an example of Banach space with exactly $\\omega$ different complex structures. We also use the theory of complex structures to study the classical problem of hyperplanes in the Kalton-Peck space $Z_2$. In order to distinguish between $Z_2$ and its hyperplanes we wonder whether the hyperplanes admit complex structures. In this sense we prove that no complex structure on $\\ell_2$ can be extended to a complex structure on the hyperplanes of $Z_2$ containing the canonical copy $l_2$. We also constructed a complex structure on $l_2$ that can not be extended to any operator in $Z_2$.

No presente trabalho, estudamos alguns aspectos da teoria de estruturas complexas em espaços de Banach. Demonstramos que se um espaço de Banach real $X$ tem a propriedade $P$, então todas as estruturas complexas em $X$ também satisfazem $P$, quando $P$ é qualquer uma das seguintes propriedades: propriedade de aproximação limitada, \\emph{G.L-l.u.st}, ser injetivo e ser complementado num espaço dual. Abordamos o problema da unicidade de estruturas complexas em espaços de Banach com base subsimétrica, provando que um espaço de Banach real $E$ com base subsimétrica e isomorfo ao espaço de sequências $E[E]$ admite estrutura complexa única. Por outro lado, apresentamos um exemplo de espaço de Banach com exatamente $\\omega$ estruturas complexas distintas. Também usamos a teoria de estruturas complexas para estudar o clássico problema dos hiperplanos no espaço $Z_2$ de Kalton-Peck. Com o propósito de distinguir $Z_2$ de seus hiperplanos nos perguntamos se os hiperplanos admitem estrutura complexa. Nesse sentido, provamos que os hiperplanos de $Z_2$ contendo a cópia canônica de $\\ell_2$ não admitem estruturas complexas que sejam extensões de estruturas complexas em $\\ell_2$. Também construímos uma estrutura complexa em $\\ell_2$ que não pode-se estender a nenhum operador em $Z_2$. / In this work, we study some aspects of the theory of complex structures in Banach spaces. We show that if a real Banach space $X$ has the property $P$, then all its complex structures also satisfy $P$, where $P$ is any of the following properties: bounded approximation property, \\emph{G.L-l.u.st}, being injective and being complemented in a dual space. We address the problem of uniqueness of complex structures in Banach spaces with subsymmetric basis by proving that a real Banach space $E$ with subsymmetric basis and isomorphic to the space of sequences $E [E]$ admits a unique complex structure. On the other hand, we show an example of Banach space with exactly $\\omega$ different complex structures. We also use the theory of complex structures to study the classical problem of hyperplanes in the Kalton-Peck space $Z_2$. In order to distinguish between $Z_2$ and its hyperplanes we wonder whether the hyperplanes admit complex structures. In this sense we prove that no complex structure on $\\ell_2$ can be extended to a complex structure on the hyperplanes of $Z_2$ containing the canonical copy $l_2$. We also constructed a complex structure on $l_2$ that can not be extended to any operator in $Z_2$.

Este trabalho tem dois objetivos principais. Primeiramente, analisamos a preservação de conexidade na extensão de espaços compactos por funções contínuas, técnica utilizada por Koszmider para obter $C(K)$ indecomponível com poucos operadores. Mostramos que para todo compacto metrizável $K$ existe um desconexo $L$ que é obtido a partir de $K$ por uma quantidade finita de extensões por funções contínuas. Em seguida, enfatizamos a construção de espaços de Banach da forma $C(K)$ com poucos operadores, com a propriedade de que $C(L)$ tem poucos operadores, para todo fechado $L \\subseteq K$. Assumindo o princípio diamante construímos uma família $(K_\\xi)_{\\xi < 2^{(2^\\omega)}}$ de espaços conexos e hereditariamente Koszmider tais que todo operador de $C(K_\\xi)$ em $C(K_\\eta)$ é fracamente compacto, para $\\xi$ diferente de $\\eta$. Em particular, $(C(K_\\xi))_{\\xi < 2^{(2^\\omega)}}$ é uma família de espaços de Banach indecomponíveis e dois a dois essencialmente incomparáveis, e cada espaço $K_\\xi$ responde positivamente ao problema de Efimov. Apresentamos também um método de construção via forcing de um espaço compacto e conexo $K$ hereditariamente fracamente Koszmider. / This work has two main objectives. First, we analyze the preservation of connectedness in the extension of compact spaces by continuous functions, a technique used by Koszmider to obtain an indecomposable Banach space $C(K)$ with few operators. We show that for any metrizable compactum $K$ there exists a disconnected $L$ which is obtained from $K$ by finitely many extensions by continuous functions. Next, we emphasize the construction of Banach spaces of the form $C(K)$ with the property that $C(L)$ has few operators, for every closed $L \\subseteq K$. Assuming the diamond principle we construct a family $(K_\\xi)_{\\xi < 2^{(2^\\omega)}}$ of connected and hereditarily Koszmider spaces such that every operator from $C(K_\\xi)$ into $C(K_\\eta)$ is weakly compact, for $\\xi$ different from $\\eta$. In particular, $(C(K_\\xi))_{\\xi < 2^{(2^\\omega)}}$ is a family of indecomposable and pairwise essentially incomparable Banach spaces, and each space $K_\\xi$ responds positively to the Efimov\'s problem. We also present a method of construction using forcing of a compact and connected hereditarily weakly Koszmider space $K$.

Este trabalho tem dois objetivos principais. Primeiramente, analisamos a preservação de conexidade na extensão de espaços compactos por funções contínuas, técnica utilizada por Koszmider para obter $C(K)$ indecomponível com poucos operadores. Mostramos que para todo compacto metrizável $K$ existe um desconexo $L$ que é obtido a partir de $K$ por uma quantidade finita de extensões por funções contínuas. Em seguida, enfatizamos a construção de espaços de Banach da forma $C(K)$ com poucos operadores, com a propriedade de que $C(L)$ tem poucos operadores, para todo fechado $L \\subseteq K$. Assumindo o princípio diamante construímos uma família $(K_\\xi)_{\\xi < 2^{(2^\\omega)}}$ de espaços conexos e hereditariamente Koszmider tais que todo operador de $C(K_\\xi)$ em $C(K_\\eta)$ é fracamente compacto, para $\\xi$ diferente de $\\eta$. Em particular, $(C(K_\\xi))_{\\xi < 2^{(2^\\omega)}}$ é uma família de espaços de Banach indecomponíveis e dois a dois essencialmente incomparáveis, e cada espaço $K_\\xi$ responde positivamente ao problema de Efimov. Apresentamos também um método de construção via forcing de um espaço compacto e conexo $K$ hereditariamente fracamente Koszmider. / This work has two main objectives. First, we analyze the preservation of connectedness in the extension of compact spaces by continuous functions, a technique used by Koszmider to obtain an indecomposable Banach space $C(K)$ with few operators. We show that for any metrizable compactum $K$ there exists a disconnected $L$ which is obtained from $K$ by finitely many extensions by continuous functions. Next, we emphasize the construction of Banach spaces of the form $C(K)$ with the property that $C(L)$ has few operators, for every closed $L \\subseteq K$. Assuming the diamond principle we construct a family $(K_\\xi)_{\\xi < 2^{(2^\\omega)}}$ of connected and hereditarily Koszmider spaces such that every operator from $C(K_\\xi)$ into $C(K_\\eta)$ is weakly compact, for $\\xi$ different from $\\eta$. In particular, $(C(K_\\xi))_{\\xi < 2^{(2^\\omega)}}$ is a family of indecomposable and pairwise essentially incomparable Banach spaces, and each space $K_\\xi$ responds positively to the Efimov\'s problem. We also present a method of construction using forcing of a compact and connected hereditarily weakly Koszmider space $K$.