Cette thèse traite de la théorie spectrale des opérateurs de Schrödinger discrets H(λ) := - Δ + b sur Zd et plus généralement sur des graphes pondérés infinis. Plus précisément, nous étudions le comportement des fonctions spectrales qui représentent les bornes du spectre de ces opérateurs. Un des principaux résultats est l'obtention d'une condition nécessaire et suffisante sur le potentiel b pour que le bas du spectre soit strictement positif. L'étude du haut du spectre est également considérée.Nous étudions tout d'abord ces questions pour les opérateurs de Schrödinger discrets sur Zd. La régularité de cet espace permet alors d'obtenir des résultats spécifiques dans ce cas particulier. Nous généralisons ensuite nos travaux au cas des graphes infinis pondérés. Les techniques développées dans ce cadre nous permettent également d'étudier le comportement asymptotique du bas du spectre pour les grandes valeurs de λ. / This thesis deals with the spectral theory of discrete Schrödinger operators H(λ) := - Δ + b on Zd and more generally on in#nite weighted graphs. Precisely, we study the behavior of the spectral functions which represent the spectral bounds of these operators. One of the main results is the obtention of a necessary and sufficient condition on the potential b such that the bottom of the spectrum is stricly positive.The study of the top of the spectrum is also treated.We first study these questions for discrete Schrödinger operators on Zd. The regularity of this space provides specific results in this particular case. Then we extend our work to the case of infinite weighted graphs. Moreover, the technics developed in this framework allow us to study the asymptotic behavior of the bottom of the spectrum for large values of λ.

Le plasma de quarks et de gluons (QGP) est un état de la matière observe lors de la collision d'ions lourds dans les accélérateurs tels que le LHC. Il est présent à haute température et/ou à haute densité, les quarks sont alors déconfinés : libres de se mouvoir et interagissant très peu entre eux. A basse température et basse densité, les quarks sont, au contraire, confines dans les hadrons formant la matière hadronique ordinaire. La présence d'une transition entre cette phase hadronique et le QGP a des conséquences importantes que ce soit 'a haute température (expériences RHIC et LHC) ou a haute densité (expérience CBM à FAIR, étude des étoiles compactes). Une première transition de phase est liée à la brisure de la symétrie chirale. Dans la matière hadronique, cette symétrie est brisée spontanément. Elle est restaurée en augmentant la température ou la densité. Au delà de la discussion habituelle sur la transition chirale, nous utiliserons un modèle, le modèle Polyakov Nambu Jona-Lasinio permettant de décrire une deuxième transition : la transition de deconfinement. Ceci permettra de séparer le diagramme Temperature-Densité en trois phases distinctes : la phase hadronique ou les quarks sont confines et o'u la symétrie chirale est brisée, la phase du QGP ou les quarks sont d'confines et o'u la symétrie chirale est restaurée et une phase hypothétique dite quarkyonique à basse température et haute densité ou les quarks sont encore confines mais ou la symétrie chirale est restaurée. On décrira, dans un premier temps les différentes transitions à l'aide des paramètres d'ordre suivant : le condensat de quark pour la transition chirale et la boucle de Polyakov pour le déconfinement. On verra ensuite comment l'évolution des fonctions spectrales des mésons sigma et pi peut nous renseigner sur le diagramme de phase. Le critère de transition chirale sera alors la différence entre les masses de ces mésons, la masse étant prise comme étant le maximum de la fonction spectrale. Le critère de transition de deconfinement sera, quant à lui, l'écart-type de la fonction spectrale. Enfin, nous verrons comment intégrer les mésons vecteurs au modèle, en particulier le méson rho, qui pourra jouer le rôle de sonde du plasma, ses propriétés étant modifiées suivant le milieu dans lequel il est émis.

Le plasma de quarks et de gluons (QGP) est un état de la matière observe lors de la collision d'ions lourds dans les accélérateurs tels que le LHC. Il est présent à haute température et/ou à haute densité, les quarks sont alors déconfinés : libres de se mouvoir et interagissant très peu entre eux. A basse température et basse densité, les quarks sont, au contraire, confines dans les hadrons formant la matière hadronique ordinaire. La présence d'une transition entre cette phase hadronique et le QGP a des conséquences importantes que ce soit 'a haute température (expériences RHIC et LHC) ou a haute densité (expérience CBM à FAIR, étude des étoiles compactes). Une première transition de phase est liée à la brisure de la symétrie chirale. Dans la matière hadronique, cette symétrie est brisée spontanément. Elle est restaurée en augmentant la température ou la densité. Au delà de la discussion habituelle sur la transition chirale, nous utiliserons un modèle, le modèle Polyakov Nambu Jona-Lasinio permettant de décrire une deuxième transition : la transition de deconfinement. Ceci permettra de séparer le diagramme Temperature-Densité en trois phases distinctes : la phase hadronique ou les quarks sont confines et o'u la symétrie chirale est brisée, la phase du QGP ou les quarks sont d'confines et o'u la symétrie chirale est restaurée et une phase hypothétique dite quarkyonique à basse température et haute densité ou les quarks sont encore confines mais ou la symétrie chirale est restaurée. On décrira, dans un premier temps les différentes transitions à l'aide des paramètres d'ordre suivant : le condensat de quark pour la transition chirale et la boucle de Polyakov pour le déconfinement. On verra ensuite comment l'évolution des fonctions spectrales des mésons sigma et pi peut nous renseigner sur le diagramme de phase. Le critère de transition chirale sera alors la différence entre les masses de ces mésons, la masse étant prise comme étant le maximum de la fonction spectrale. Le critère de transition de deconfinement sera, quant à lui, l'écart-type de la fonction spectrale. Enfin, nous verrons comment intégrer les mésons vecteurs au modèle, en particulier le méson rho, qui pourra jouer le rôle de sonde du plasma, ses propriétés étant modifiées suivant le milieu dans lequel il est émis / The quark and gluon plasma (QGP) is a state of matter observed in the collision of heavy ions in accelerators such as the LHC. It is formed at high temperature and / or high density, quarks are then deconfined : free to move and interacting very little with each other. At low temperature and low density, the quarks are, however, confined within hadrons forming the ordinary hadronic matter. The presence of the phase transition between hadronic matter and the QGP has observable consequences whatsoever at high temperature (RHIC and LHC experiments) or high density (FAIR experience, study of compact stars). A first phase transition is linked to the chiral symmetry breaking. In hadronic matter, this symmetry is spontaneously broken. It is restored by increasing the temperature or the density. Beyond the usual discussion on the chiral transition, we use a model called Polyakov Nambu Jona-Lasinio for describing a second transition, the deconfinement transition. This allows to separate the temperature-density diagram in three distinct phases : the hadronic phase where quarks are confined and where chiral symmetry is broken, the phase of the QGP where quarks are deconfined and chiral symmetry is restored and a hypothetical phase called quarkyonic at low temperature and high density in which quarks are confined but where chiral symmetry is still restored. We will describe, at first, the various transitions using the following order parameters : the quark condensate for the chiral transition and the Polyakov loop for the deconfinement one. Then we will see how the evolution of the spectral functions of sigma and pi mesons can provide information on the phase diagram. The chiral transition criterion will be the difference between the masses of these mesons, the mass being taken as the maximum of the spectral function. And the criterion for the deconfinement transition will be the standard deviation (also called variance) of the spectral function. Finally, we discuss how the vector mesons fit in the model, especially the meson, which can act as a probe of plasma properties which are modified by the environment from which it is issued