Nous nous intéressons dans ce travail au prolongement d'applications linéaires, que ce soit des fonctions à valeurs scalaires ou des applications à valeurs opérateurs, sur des limites inductives d'espaces vectoriels topologiques en général et en particulier sur des algèbres d'opérateurs. Dans un premier lieu, nous regardons le problème dans le cadre le plus général c'est à dire celui de prolonger des formes linéaires sur une limite inductive d'espaces localement convexes. Nous donnons une condition nécessaire sur ces formes pour que le prolongement soit possible. Nous nous intéressons aussi au prolongement préservant la norme et nous donnons un exemple ou un tel prolongement n'est pas possible. Ensuite nous donnons une application de notre résultat principal dans le cadre des germes des fonctions holomorphes sur un compact de Cn. Puis nous généralisons les résultats obtenus dans le contexte des applications linéaires sur des C*-algèbres à valeurs opérateurs ce qui nous permet de généraliser l'application. En second lieu, nous considérons les mêmes questions dans le cas particulier de limites inductives: les espaces de fractions. Nous généralisons le résultat de F-H. Vasilescu dans le cas non commutatif ainsi que le problème des moments multidimensionnels sur un ensemble fermé non borné du corps des quaternion. En dernier lieu, nous nous intéressons aux applications complètement positives et complètement contractives à valeurs opérateurs sur des espaces de fractions. On considère le contexte non commutatif du papier de E. Albrecht et F -H. Vasilescu. Nous donnons un résultat pour chaque type de ses application linéaires. En applications aux résultats obtenues, on généralise notre problème des moments dans le cas opératoriel en introduisant une nouvelle mesure. Enfin, nous donnons une caractérisation des applications moments. / Ln this work we are interested by extending Iinear forms and Iinear maps in general on inductive Iimit spaces of locally convex spaces or of sorne operator algebras. Firstly, we consider the more general case i.e. extending linear forms on limit spaces of locally convex spaces. We give a necessary condition on the linear forms making the extension possible. We are also in interest of a norm preserving extension. We show by an example that a such extension is no always possible then we state our result in a general case. Moreover we give an application of our main result in a context of germes of holomorphic fonctions on a compact set of Cn. After that, we generalize this results and the application, by the same way, when the Iinear application are with operator values. Secondly, we consider the same questions in a particular case of inductive limits : The spaces of fractions. We generalize the result of F-H. Vasilescu in a non commutatif context and then we generalize the multi-dimensionnels moment problem on a closed unbounded set of quaternion set. Finally, we focus on the completely positive or completely contractive linear maps on spaces of fractions with operator values. We consider the non commutative context of the work of E. Albrecht and F-H. Vasilescu. As an application, we generalize the given moment problem on the operator case and we give a new measure. Then we give a characterization of the moment maps.

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Nous étudions ici deux problèmes diophantiens distincts. Le premier concerne les points entiers sur les courbes modulaires associées au normalisateur de sous-groupe de Cartan non déployé. Le deuxième concerne la recherche de point de multiplication complexe sur les droites. Dans les deux cas la méthode de résolution est algorithmique. On utilise la méthode de Baker sur les formes linéaires en logarithmes ainsi que des méthodes de réduction effectives. En particulier cette méthode permet d’obtenir les points entiers sur la courbe associée au normalisateur de sous-groupe de Cartan non déployé pour les niveaux compris entre 7 et 71. / We study here two diophantine problem. The first one deals with integral point on modular curves associated to normalizer of non-split Cartan subgroup. The second one is about finding singular moduli on straight line. In both cases, we solve theproblem in an algorithmic way. We use Baker’s method on linear form in logarithm and some effective technical of reduction. In particular this method gives integral points on the curve associated to normalizer of non-split Cartan subgroup for level between 7 and 71.

Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Il est bien connu, d'après un résultat de Duflo, Khalgui et Torasso, qu'une algèbre de Lie algébrique quasi-réductive (définie sur K) est stable. La réciproque est fausse en général. Se pose la question de savoir, si pour certaines classes particulières d'algèbres de Lie non réductives, il y a équivalence entre ces deux notions. Plus généralement, les sous-algèbres biparaboliques forment une classe très intéressante (incluant la classe des sous-algèbres paraboliques et de Levi) d'algèbres de Lie qui ne sont pas toutes réductives. Panyushev conjecture que si une sous-algèbre biparabolique est stable, alors son stabilisateur générique est un tore. Cette conjecture peut être reformulée ainsi : une sous-algèbre de Lie biparabolique est stable si et seulement si elle est quasi-réductive. Compte tenu des résultats obtenus par ce dernier pour le cas des sous-algèbres paraboliques d'une algèbre de Lie simple de type A et C, on donne dans cette thèse une réponse positive à cette conjecture pour la classe des sous-algèbres paraboliques d'une algèbre de Lie simple. Au passage, nous montrons également qu'une sous-algèbre de Lie de gl(n, K) qui stabilise une forme bilinéaire alternée de rang maximal et un drapeau en position générique est stable si et seulement si elle est quasi-réductive. / Let K be an algebraically closed field of characteristic 0. It is well known by work of Duflo, Khalgui and Torasso that any quasi-reductive algebraic Lie algebra (defined over K) is stable. However, there are stable Lie algebras which are not quasi-reductive. This raises the question, if for some particular class of non-reductive Lie algebras, there is equivalence between stability and quasi-reductivity. More generally, biparabolic subalgebras form a very interesting class (including the class of parabolic subalgebras and of Levi subalgebras) of non-reductive Lie algebras. It was conjectured by Panyushev that these two notions are equivalent for biparabolic subalgebras of a reductive Lie algebra. In this thesis, we give by considering the results of Panyushev for parabolic subalgerbras of simple Lie algebra of type A and C a positive answer to this conjecture in the case of parabolic subalgebras. In passing, we prove that these two notions are equivalent for certain subalgebras of gl(n,K) which stabilize an alternating bilinear form of maximal rank and a flag in generic position.