Sur les espaces de modules de différentielles abéliennes existe une action naturelle de SL(2,R). Ses orbites, appelées disques de Teichmüller, se projettent dans les espaces de modules de surfaces de Riemann sur des géodésiques complexes. En tirant en arrière la forme dz du tore standard par des revêtements ramifiés au-dessus d'un seul point, on obtient les surfaces à petits carreaux, points entiers des espaces de modules de différentielles abéliennes. Nous étudions en détail les disques de Teichmüller des points entiers de l'espace des modules des différentielles abéliennes en genre deux avec un zéro double: nombre de disques de Teichmüller pour chaque nombre de carreaux, et leur géométrie; propriétés algébriques des stabilisateurs (sous-groupes de SL(2,Z) qui ne sont pas de congruence); comportement asymptotique des constantes de Siegel-Veech (coefficients des taux de croissance quadratiques des géodésiques fermées) lorsque le nombre de carreaux tend vers l'infini.

E. Bombieri et J. Pila ont introduit une méthode qui donne les bornees sur le nombre de points entiers qui sont appartiennent d'un arc donné (sous les plusieurs hypothèses).Dans la partie algébrique nous généralisons la méthode de Bombieri Pila pour le cas des champs de fonction de genre $0$ avec une variable. Ensuite, nous appliquons le résultat pour calculer le nombre de courbes elliptiques qui sont dans la même classe d'isomorphisme avec leurs coefficients dans une petite boîte.Une fois que nous avons prouvé ça, la question naturelle est de savoir si nous pouvons l'améliorer dans certains cas particuliers. Nous allons étudier le cas des courbes elliptiques en utilisant la partie de conjecture par Birch Swinnerton-Dyer, les propriétés des fonctions de hauteur bien avec les empilements compacts.Après, dans une partie analytique nous donnons la version explicite du théorème de Bombieri Vinogradov. Ce théorème est un résultat important concerne le terme d'erreur dans le théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques, pris en moyenne sur les modules $q$ variant jusqu'à $Q$. Notre but est d'améliorer les résultats existant de cette façon (voir cite{Akbary2015}), donc nous pouvons réduire la puissance du facteur logarithmique en utilisant l'inégalité de grand crible et l'identité de Vaughan. / E.Bombieri and J.Pila introduced a method to bound the number of integral points in a small given box (under some conditions). In algebraic part we generalise this method to the case of function fields of genus $0$ in ove variable. Then we apply the result to count the number of elliptic curves falling in the same isomorphic class with coefficients lying in a small box.Once we are done the natural question is how to improve this bound for some particular families of curves. We study the case of elliptic curves and use the fact that the necessary part of Birch Swinnerton-Dyer conjecture holds over function fields. We also use the properties of height functions and results about sphere packing.In analytic part we give an explicit version of Bombieri-Vinogradov theorem. This theorem is an important result that concerns the error term in Dirichlet's theorem in arithmetic progressions averaged over moduli $q$ up to $Q$. We improve the existent result of such type given in cite{Akbary2015}. We reduce the logarithmic power by using the large sieve inequality and Vaughan identity.

Nous étudions ici deux problèmes diophantiens distincts. Le premier concerne les points entiers sur les courbes modulaires associées au normalisateur de sous-groupe de Cartan non déployé. Le deuxième concerne la recherche de point de multiplication complexe sur les droites. Dans les deux cas la méthode de résolution est algorithmique. On utilise la méthode de Baker sur les formes linéaires en logarithmes ainsi que des méthodes de réduction effectives. En particulier cette méthode permet d’obtenir les points entiers sur la courbe associée au normalisateur de sous-groupe de Cartan non déployé pour les niveaux compris entre 7 et 71. / We study here two diophantine problem. The first one deals with integral point on modular curves associated to normalizer of non-split Cartan subgroup. The second one is about finding singular moduli on straight line. In both cases, we solve theproblem in an algorithmic way. We use Baker’s method on linear form in logarithm and some effective technical of reduction. In particular this method gives integral points on the curve associated to normalizer of non-split Cartan subgroup for level between 7 and 71.

Le sujet de cette thèse est l'étude des progressions arithmétiques dans les nombres entiers. Plus précisément, nous nous intéressons à borner inférieurement v(N), la taille du plus grand sous-ensemble des nombres entiers de 1 à N qui ne contient pas de progressions arithmétiques de 3 termes. Nous allons donc construire de grands sous-ensembles de nombres entiers qui ne contiennent pas de telles progressions, ce qui nous donne une borne inférieure sur v(N). Nous allons d'abord étudier les preuves de toutes les bornes inférieures obtenues jusqu'à présent, pour ensuite donner une autre preuve de la meilleure borne. Nous allons considérer les points à coordonnés entières dans un anneau à d dimensions, et compter le nombre de progressions arithmétiques qu'il contient. Pour obtenir des bornes sur ces quantités, nous allons étudier les méthodes pour compter le nombre de points de réseau dans des sphères à plusieurs dimensions, ce qui est le sujet de la dernière section. / The subject of this thesis is the study of arithmetic progressions in the integers. Precisely, we are interested in the size v(N) of the largest subset of the integers from 1 to N that contains no 3 term arithmetic progressions. Therefore, we will construct a large subset of integers with no such progressions, thus giving us a lower bound on v(N). We will begin by looking at the proofs of all the significant lower bounds obtained on v(N), then we will show another proof of the best lower bound known today. For the proof, we will consider points on a large d-dimensional annulus, and count the number of integer points inside that annulus and the number of arithmetic progressions it contains. To obtain bounds on those quantities, it will be interesting to look at the theory behind counting lattice points in high dimensional spheres, which is the subject of the last section.

Le sujet de cette thèse est l'étude des progressions arithmétiques dans les nombres entiers. Plus précisément, nous nous intéressons à borner inférieurement v(N), la taille du plus grand sous-ensemble des nombres entiers de 1 à N qui ne contient pas de progressions arithmétiques de 3 termes. Nous allons donc construire de grands sous-ensembles de nombres entiers qui ne contiennent pas de telles progressions, ce qui nous donne une borne inférieure sur v(N). Nous allons d'abord étudier les preuves de toutes les bornes inférieures obtenues jusqu'à présent, pour ensuite donner une autre preuve de la meilleure borne. Nous allons considérer les points à coordonnés entières dans un anneau à d dimensions, et compter le nombre de progressions arithmétiques qu'il contient. Pour obtenir des bornes sur ces quantités, nous allons étudier les méthodes pour compter le nombre de points de réseau dans des sphères à plusieurs dimensions, ce qui est le sujet de la dernière section. / The subject of this thesis is the study of arithmetic progressions in the integers. Precisely, we are interested in the size v(N) of the largest subset of the integers from 1 to N that contains no 3 term arithmetic progressions. Therefore, we will construct a large subset of integers with no such progressions, thus giving us a lower bound on v(N). We will begin by looking at the proofs of all the significant lower bounds obtained on v(N), then we will show another proof of the best lower bound known today. For the proof, we will consider points on a large d-dimensional annulus, and count the number of integer points inside that annulus and the number of arithmetic progressions it contains. To obtain bounds on those quantities, it will be interesting to look at the theory behind counting lattice points in high dimensional spheres, which is the subject of the last section.