Après un survol de la théorie des géométries de Klein, nous présentons les rudiments de la géométrie de Cartan, qui généralise celle de Klein de la même manière que la géométrie riemannienne généralise la géométrie euclidienne. Ensuite, nous présentons la correspondance entre les géométries pseudo-riemanniennes et les géométries de Cartan sans torsion modélisées sur l'espace pseudo-euclidien. Nous utilisons cette correspondance pour montrer dans le langage de la géométrie de Cartan que les pré-géodésiques de type lumière d'une variété pseudo-riemannienne sont les mêmes pour toutes les métriques pseudo-riemanniennes dans la même classe d'équivalence conforme. Enfin, nous obtenons une seconde preuve de ce résultat, cette fois-ci en utilisant la correspondance entre les géométries conformes et les géométries de Cartan normales modélisées sur l'univers d'Einstein.

Dans ce travail, nous présentons une méthode de résolution de l'équation de la courbe géodésique en utilisant le symbole de Christoffel. En effet, l'équation de la courbe géodésique contient une dérivée covariante.

On étudie la norme stable sur l'homologie des variétés riemanniennes, plus spécialement dans le cas où la variété est une surface orientable de genre supérieur à 1. On établit le lien entre norme stable et fonction beta de Mather, puis on montre des résultats de non-stricte convexité et non-différentiabilité de la norme stable. Ensuite on compare la norme stable et la norme L2.

Après un survol de la théorie des géométries de Klein, nous présentons les rudiments de la géométrie de Cartan, qui généralise celle de Klein de la même manière que la géométrie riemannienne généralise la géométrie euclidienne. Ensuite, nous présentons la correspondance entre les géométries pseudo-riemanniennes et les géométries de Cartan sans torsion modélisées sur l'espace pseudo-euclidien. Nous utilisons cette correspondance pour montrer dans le langage de la géométrie de Cartan que les pré-géodésiques de type lumière d'une variété pseudo-riemannienne sont les mêmes pour toutes les métriques pseudo-riemanniennes dans la même classe d'équivalence conforme. Enfin, nous obtenons une seconde preuve de ce résultat, cette fois-ci en utilisant la correspondance entre les géométries conformes et les géométries de Cartan normales modélisées sur l'univers d'Einstein.

Titre de l'écran-titre (visionné le 2 octobre 2023) / Dans cette thèse, le problème de Steklov est étudié. Tout d'abord, ce problème est étudié sur des variétés riemanniennes fermées soumises à des excisions tubulaires. Étant données $\varepsilon > 0$, une variété riemannienne fermée $M$ de dimension $m \geq 2$ et une sous-variété fermée $N \subset M$ de dimension $0 \leq n \leq m - 2$, une excision tubulaire consiste à enlever le voisinage tubulaire $N^{\varepsilon} := \{ p \in M : d_{g}(p, N) \leq \varepsilon \}$ de taille $\varepsilon$ autour de $N$ afin d'obtenir le domaine $\Omega_{\varepsilon} := M \setminus N^{\varepsilon}$. Le résultat principal de cette thèse concerne le comportement des valeurs propres de Steklov d'une variété riemannienne fermée $M$ soumise à un nombre fini $b \geq 1$ d'excisions tubulaires. Plus précisément, il est montré que les valeurs propres divergent lorsque la taille des voisinages tubulaires tend vers $0$. Cette construction donne un nouvel exemple de variétés ayant une grande première valeur propre et permet d'étudier des problèmes de type isopérimétrique, comme étudier la pertinence de certaines quantités géométriques présentes dans des bornes supérieures connues. On utilise la quasi-isométrie et la comparaison des valeurs propres de Steklov à des valeurs propres de problèmes mixtes -- le problème de Steklov-Neumann et le problème de Steklov-Dirichlet. La séparation de variables est ensuite utilisée pour calculer les valeurs propres de ces problèmes mixtes. Grâce à cette méthode, on obtient l'ordre et le taux de divergence des valeurs propres ordonnées d'indice supérieur à $b$. Finalement, les fonctions propres et les valeurs propres de Steklov pour des boules géodésiques des sphères et des espcaes hyperboliques sont calculées. Elles sont trouvées à l'aide de la méthode de séparation de variables. / In this thesis, the Steklov problem is studied. This problem is first studied on closed Riemannian manifolds subject to tubular excisions. Given $\varepsilon > 0$, a closed Riemannian manifold $M$ of dimension $m \geq 2$ and a closed submanifold $N \subset M$ of dimension $0 \leq n \leq m - 2$, a tubular excision consists of removing the tubular neighbourhood $N^{\varepsilon} := \{ p \in M : d_{g}(p, N) \leq \varepsilon \}$ of size $\varepsilon$ around $N$ to obtain the domain $\Omega_{\varepsilon} := M \setminus N^{\varepsilon}$. The principal result of this thesis concerns the behaviour of the Stekov eigenvalues of a closed Riemannian manifold $M$ subject to a finite number $b \geq 1$ of tubular excisions. More precisely, it is proven that the eigenvalues diverge to infinity when the size of the tubular neighbourhood tends to $0$. This construction gives a new example of manifolds with a large first eigenvalue and allows to study isoperimetric type problems, as well as study the importance of certain geometric quantities present in known upper bounds. We use quasi-isometry and the bracketing of Steklov eigenvalues which compares the Steklov eigenvalues with eigenvalues of mixed problems -- the Steklov-Neumann and the Steklov-Dirichlet problems. Then, the eigenvalues of those mixed problems are computed via the method of separation of variables. This method gives us the order and the rate of divergence of the ordered eigenvalues of index superior to "b". In a second part, the eigenfunctions and eigenvalues of geodesic balls in spheres and hyperbolic spaces are computed via the method of separation of variables.

Cette thèse porte sur certaines familles à un paramètre de surfaces de Riemann compactes de genre 2 définies par des surfaces de translation. Les familles que nous considérons constituent des géodésiques de Teichmüller dans l'espace des modules. Nous nous attachons en particulier à décrire ces surfaces par leurs matrices des périodes et par les équations des courbes algébriques associées. Nous étudions notamment les automorphismes admissibles par les surfaces qui sont des courbes réelles à trois composantes réelles dans ces familles. Le principal résultat consiste en une caractérisation explicite des matrices des périodes des courbes réelles à trois composantes réelles appartenant à la famille obtenue par projection dans l'espace des modules de la SL(2,R)-orbite de la surface de translation en "L" pavée par trois carreaux. Nous montrons enfin, grâce à une interprétation en termes de transformations de Schwarz-Christoffel, comment calculer numériquement une équation de la courbe algébrique définie par une surface de translation en "L".

Sur les espaces de modules de différentielles abéliennes existe une action naturelle de SL(2,R). Ses orbites, appelées disques de Teichmüller, se projettent dans les espaces de modules de surfaces de Riemann sur des géodésiques complexes. En tirant en arrière la forme dz du tore standard par des revêtements ramifiés au-dessus d'un seul point, on obtient les surfaces à petits carreaux, points entiers des espaces de modules de différentielles abéliennes. Nous étudions en détail les disques de Teichmüller des points entiers de l'espace des modules des différentielles abéliennes en genre deux avec un zéro double: nombre de disques de Teichmüller pour chaque nombre de carreaux, et leur géométrie; propriétés algébriques des stabilisateurs (sous-groupes de SL(2,Z) qui ne sont pas de congruence); comportement asymptotique des constantes de Siegel-Veech (coefficients des taux de croissance quadratiques des géodésiques fermées) lorsque le nombre de carreaux tend vers l'infini.

Cette thèse se propose d'examiner sous un angle particulier quelques aspects de la morphologie mathématique. Nous montrons d'abord comment la notion de convergence d'ensembles fermés et celle d'ensemble aléatoire fermé peuvent être employées en géométrie algorithmique. Nous exposons ensuite une nouvelle technique permettant l'écriture d'algorithmes morphologiques efficace en imagerie binaire au moyen d'un codage de contours sous forme de chaînes et lacets. Les algorithmes concernés sont entre autres l'érosion, la dilatation, la fonction distance, tant dans le cas euclidien que géodésique, la fonction de propagation, en métrique hexagonale et dodécagonale, le labeling, la reconstruction. . . Nous abordons aussi les mesures morphologiques telles que variation diamétrale, diamètre de Ferret, périmètre, nombre d'Euler. . . L'emploi des transformations est alors illustré par la résolution complète d'un problème particulier en sciences des matériaux où nous discutons les qualités respectives d'une dizaine de solutions différentes. Enfin, un essai de formalisation de l'emploi des transformations morphologiques a abouti à l'écriture d'un système de programmation automatique.

Cette thèse est consacrée à l'étude d'inégalités géométriques universelles sur les variétés riemanniennes. Plus particulièrement, nous nous intéressons aux relations entre le volume et la longueur des courtes géodésiques fermées, sans hypothèse de courbure.<br /><br />Tout d'abord, nous étudions les métriques extrémales pour le problème isosystolique sur les surfaces. Nous établissons un critère à l'extrémalité des métriques sur les surfaces orientables et examinons le cas de genre deux.<br /><br />Ensuite, nous montrons que la longueur de la plus courte trajectoire non triviale parmi les géodésiques fermées simples d'indice un et les géodésiques en huit d'indice nul minore l'aire et le diamètre des sphères riemanniennes.<br />Nous discutons aussi de la rigidité et de la souplesse du rayon de remplissage par rapport aux longueurs de courtes géodésiques provenant de la théorie de Morse sur l'espace des 1-cycles.<br /><br />Finalement, nous minorons le volume et le diamètre des variétés riemanniennes complètes à l'aide de la longueur du plus court lacet géodésique non trivial. De plus, nous obtenons une minoration de la croissance du volume des boules de ``petit'' rayon, ainsi qu'un résultat de finitude homotopique.

Nous proposons des méthodes et des outils pour l'aide à la conception stratégique de réseaux de transports publics en milieu urbain. Un état de l'art des problèmes de synthèse de réseaux est suivi par la définition du problème de synthèse de réseaux de mobilité avec demande élastique (dépendante de la qualité de service) . Nous déclinons différentes modélisations et des extensions étudiées de manière exacte sur de modestes instances. Les métaheuristiques GRASP et Tabou permettent d'obtenir de bonnes solutions sur des instances plus grandes. Nous utilisons pour cela la "géodésique", une description particulière de circuit. La résolution est accélérée en introduisant une fonction objectif auxiliaire. Enfin, nous utilisons une méthode inspirée du schéma de Benders. En annexe, nous formalisons des schémas de conception de composants logiciels flexibles et performants avec la programmation générique. Nous présentons aussi le couplage par enrichissement, entre optimisation et simulation.