Cette thèse porte sur certaines familles à un paramètre de surfaces de Riemann compactes de genre 2 définies par des surfaces de translation. Les familles que nous considérons constituent des géodésiques de Teichmüller dans l'espace des modules.Nous nous attachons en particulier à décrire ces surfaces par leurs matrices des périodes et par les équations des courbes algébriques associées.Nous étudions notamment les automorphismes admissibles par les surfaces de certaines de ces familles.Le principal résultat consiste en une caractérisation explicite des matrices des périodes des courbes réelles à trois composantes réelles appartenant à la famille obtenue par projection dans l'espace des modules de la SL(2,R)-orbite de la surface de translation en «L» pavée par trois carreaux.Nous montrons enfin, grâce à une interprétation en termes de transformations de Schwarz-Christoffel, comment calculer numériquement une équation de la courbe algébrique définie par une surface de translation en «L». / In this thesis we study some one parameter families of compact Riemann surfaces of genus 2 defined by translation surfaces.The families we consider are Teichmüller geodesics in the moduli space.We mainly describe these surfaces by means of period matrices and equations of the associated algebraic curves.We study admissible automorphisms for surfaces in some of those families.The main result is an explicit characterisation of period matrices of real curves with three real components belonging to the family obtained by projecting the SL(2,R)-orbit of the «L»-shaped translation surface tiled by three squares into the moduli space.We finally show, using an interpretation in terms of Schwarz-Christoffel transformations, how to numerically compute an equation of the algebraic curve defined by a «L»-shaped translation surface.

Qu'est-ce qu'un cas particulier ? Comment un mathématicien peut-il dire qu'un phénomène est «exceptionnel» et ne se produit pas «en général» ? Ces questions sont abordées dans cette thèse sous un angle historique, à partir d'un corpus de textes de Poincaré constitué autour de trois pôles: son étude des points singuliers des équations différentielles (1881), son travail sur le théorème (1889, 1890, 1891), et son mémoire sur les géodésiques des surfaces convexes (1905). Je me suis intéressée à ce que Poincaré désigne comme cas particuliers, comme exceptions, aux moyens qu'il met en oeuvre pour les étudier et les caractériser, à la place qu'il leur donne.<br /><br />La nature de cette problématique m'a amenée à développer une méthode particulière de travail historique, centrée sur une exploitation systématique des textes en tant que textes, et non simplement comme véhiculant des résultats mathématiques. J'ai examiné les formes textuelles élaborées pour énoncer et démontrer les résultats visés, la terminologie employée, les rapports établis par l'auteur entre différents résultats. Cette analyse minutieuse des textes apporte un nouvel éclairage sur des sources qui avaient, pour certaines, déjà fait l'objet d'une étude historique. De plus, en permettant de décrire des méthodes de travail de Poincaré touchant à la question du général, elle fait apparaître certains traits caractéristiques de sa démarche de mathématicien.

Le LETI développe des micro-capteurs (tels que des micro-accéléromètres ou des micro-magnétomètres) capables de se géoréférencer et de donner alors leur propre orientation dans l'espace. Ainsi, si nous posons un ensemble de capteurs sur une forme, ils nous fourniront les données tangentielles de la surface aux positions des capteurs. Le travail développé ici consiste à reconstruire la forme d'objets à partir de ces données tangentielles et de la connaissance de la répartition de ces capteurs. Nous étudierons plusieurs cas de reconstruction, en commençant par la reconstruction de courbes planes, puis de courbes gauches et enfin de surfaces. Puis nous proposerons des méthodes de capture de mouvement de formes en déformation, c'est-à-dire que nous allons équiper une courbe ou une surface de capteurs, nous allons lui appliquer des déformations, et nous devrons reconstruire la forme virtuelle associée en temps réel à partir des données fournies par les capteurs. De nombreuses applications sont envisagées (domaines de la santé, de l'aéronautique, du multimédia, ...), et nous élaborons en parallèle des prototypes de capture de forme afin de tester et valider nos méthodes.

On présentera des techniques de mise en correspondance de divers types d'objets. On s'intéressera dans un premier temps à la mise en correspondance géodésique d'objets qui consiste, par le biais de l'action d'un groupe de déformation sur un ensemble d'objets, à définir une distance géodésique sur la variété riemannienne formée par l'ensemble en question, qui soit invariante par l'action de groupe considérée. Dans un premier temps, on s'intéressera à la mise en correspondance d'images sur lesquelles agissent des difféomorphismes. On en déduira un algorithme que l'on perfectionnera par une stratégie multi échelle. On adaptera cette technique de mise en correspondance géodésique à des objets tels que des points ou des vecteurs grâce à une modélisation de la déformation à base de splines. Enfin, on présentera des techniques de mise en correspondance d'ensembles de primitives avec appariement des primitives une à une.

Dans cette thèse, on s'intéresse en premier aux problèmes sous-riemanniens sur un groupe de Lie nilpotent d'ordre 2. Dans un premier temps, on réalise la classification complète des algèbres de Lie sous-riemanniennes (SR-algèbres de Lie) nilpotentes d'ordre 2 de dimension n compris entre 3 et 7, et celles de dimension arbitraire n telle que l'algèbre dérivée est de dimension une.De plus, nous avons distingué les SR-algèbres de Lie de contact et de quasi-contact et nous avons calculé, en dimension 5, le groupe des SR-symétries infinitésimales. Une fois cette classification réalisée, on étudie les géodésiques sous-riemanniennes associées aux SR-algèbres de Lie nilpotentes d'ordre 2 obtenues dans notre classification. Nous avons étudié l'intégrabilité des équations géodésiques adjointes et donné les contrôles optimaux ainsi que les trajectoires optimales dans chacun des cas. Dans une seconde partie de la thèse, on étudie les géodésiques sous-riemanniennes pour un groupe de Lie sous-riemannien (G;D;B) où G = SO(4) ou G = SO(2; 2) et D est de codimension2 (donnant des espaces SR-homogènes de contact). Nous avons donné un modèle canonique de ces espaces et ensuite montré que les systèmes adjoints de Lie-Poisson associés au modèle étaient toujours intégrables au sens de Liouville. De plus, nous montrons que le système de Lie-Poisson est soit un système linéaire qui est super-intégrable en fonctions trigonométriques du temps ou constantes ; soit un système non linéaire intégrable au sens de Liouville et dont les solutions sont exprimables à l'aide de la fonction elliptique de Weierstrass.

Cette thèse est consacrée à l’étude du problème de transport de Monge pour le coût quadratique en géométrie sous-Riemannienne et des conditions essentielles à l’obtention des résultats d’existence et et d’unicité de solutions. Ces travaux consistent à étendre ces résultats au cas des structures sous-Riemanniennes admettant des géodésiques minimisantes singulières. Dans une première partie, on développe des techniques inspirées de travaux de Cavalletti et Huesmann pour d’obtenir des résultats significatifs pour des structures de rang 2 en dimension 4. Dans une deuxième partie, on étudie des outils analytiques de la h-semiconcavité de la distance sousriemannienne et on montre comment ce type de régularité peut aboutit à l’obtention d’existence et d’unicité de solutions dans un cas général. / This thesis is devoted to the study of the Monge transport problem for the quadratic cost in sub-Riemannian geometry and the essential conditions to obtain existence and uniqueness of solutions. These works consist in extending these results to the case of sub-Riemannian structures admitting singular minimizing geodesics. In a first part, we develop techniques inspired by works by Cavalletti and Huesmann in order to obtain significant results for structures of rank 2 in dimension 4. In a second part, we study analytical tools of the h-semiconcavity of the sub-Riemannian distance and we show how this type of regularity can lead to the well-posedness of the Monge problem in general cases.

Dans cette thèse, on s'intéresse en premier aux problèmes sous-riemanniens sur un groupe de Lie nilpotent d'ordre 2. Dans un premier temps, on réalise la classification complète des algèbres de Lie sous-riemanniennes (SR-algèbres de Lie) nilpotentes d'ordre 2 de dimension n compris entre 3 et 7, et celles de dimension arbitraire n telle que l'algèbre dérivée est de dimension une. De plus, nous avons distingué les SR-algèbres de Lie de contact et de quasi-contact et nous avons calculé, en dimension 5, le groupe des SR-symétries infinitésimales. Une fois cette classification réalisée, on étudie les géodésiques sous-riemanniennes associées aux SR-algèbres de Lie nilpotentes d'ordre 2 obtenues dans notre classification. Nous avons étudié l'intégrabilité des équations géodésiques adjointes et donné les contrôles optimaux ainsi que les trajectoires optimales dans chacun des cas. Dans une seconde partie de la thèse, on étudie les géodésiques sous-riemanniennes pour un groupe de Lie sous-riemannien (G;D;B) où G = SO(4) ou G = SO(2; 2) et D est de codimension 2 (donnant des espaces SR-homogènes de contact). Nous avons donné un modèle canonique de ces espaces et ensuite montré que les systèmes adjoints de Lie-Poisson associés au modèle étaient toujours intégrables au sens de Liouville. De plus, nous montrons que le système de Lie-Poisson est soit un système linéaire qui est super-intégrable en fonctions trigonométriques du temps ou constantes ; soit un système non linéaire intégrable au sens de Liouville et dont les solutions sont exprimables à l'aide de la fonction elliptique de Weierstrass. / In this thesis, we are interested first in the sub-Riemannian problems on 2-step nilpotent Lie groups. We start by obtaining a complete classification of 2-step nilpotent sub-Riemannian Lie algebras (SR-Lie algebras) of dimension n between 3 and 7, and those of arbitrary dimension n such that the derivated algebra is of dimension one. In addition, we characterize the contact and quasi contact SR-Lie algebras and we calculate, in dimension 5, the group of SR-infinitesimal symmetries. Having presented that classification, we study the sub-Riemannian geodesics associated with the 2 step nilpotent SR-Lie algebras obtained in our classification. We study the integrability of the adjoint geodesic equations and we give the optimal controls and optimal trajectories in each case. In the second part of the thesis, we study the sub-Riemannian geodesics for a sub-RiemannianLie group (G;D;B) where G = SO(4) or G = SO(2; 2) and D is of codimension 2 (giving contactSR-homogeneous spaces). We give canonical models of these spaces and then show that the Lie-Poisson adjoint systems associated with the models are always integrable in the Liouville sense. More over, we show that the Lie-Poisson system is either a linear system which is super-integrable with the help of trigonometric functions of time (or constant ones) or a non-linear system which is integrable in the Liouville sense and whose solutions can be expressed using the Weierstrass elliptic function.

Une synthèse des données sur le socle dans le SE de la France (forages, profils sismiques) conduit à l'élaboration d'une carte isobathe du toit de ce marqueur. Concernant les zones de bassin, on observe que les régions à socle peu profond montrent des vitesses d'onde P plus élevées que dans les régions à socle profond. Ceci est interprété comme une réponse différenciée selon la lithologie (boudinage en grand) dans un mécanisme d'extension précoce. Une synthèse des données sur la croûte permet de mettre en évidence un important épaississement crustal à l'aplomb des massifs cristallins externes. La signification du corps d'Ivrea est discutée en termes de superposition de plusieurs unités de manteau supérieur anormal. L'amincissement de la seule croûte supérieure sous la bordure SE du Massif Central est interprétée comme du à la formation tardive (post-extension) de la croûte inférieure. Dans une troisième partie il est proposé que le mécanisme de base d'édification de la chaîne soit un épaississement crustal discontinu provoqué par un chevauchement (écaillage) à l'échelle de la croûte, le chevauchement des massifs cristallins externes. Ce mécanisme discontinu est également invoqué pour interpréter les déformations de couverture comme résultant d'un poinçonnement de celle-ci par l'avancée du socle chevauchant.

Une approche variationnelle robuste est proposée pour le recalage de signaux 1D puis appliquée au calcul des géodésiques de formes pour la classification. L'approche est ensuite étendue au recalage d'images de séquences de formes. Cette approche de recalage, basé-géométrie, est particulièrement bien adaptée aux images peu contrastées, pour lesquelles le recalage basé-intensité manque d'efficacité. Une étude de validation est menée sur des signaux et des images issus de la biologie et du milieu médical. La reconnaissance de formes (classification et recherche) a aussi été validée sur la base d'images MPEG-7 largement utilisée dans la littérature scientifique. L'application principale visée concerne le traitement des signaux et des images issus d'archives biologiques marines (otolithes de poissons et coquilles Saint-Jacques), qui présentent une grande variabilité inter-individuelle et où les approches de recalage sont d'un intérêt tout particulier. Les méthodes proposées ont été appliquées avec succès à l'identification de l'espèce et/ou du stock du poisson et de la coquille Saint-Jacques, à l'estimation de l'âge et de la croissance du poisson, comme aide à l'interprétation des marques de croissance et à l'établissement de modèles statistiques de formes.

Dans tout ce qui suit, nous considérons une variété riemannienne compacte de dimension au moins égale à 2. A tout domaine (suffisamment régulier) $\Omega$, on peut associer la première valeur propre $\lambda_\Omega$ de l'opérateur de Laplace-Beltrami avec condition de Dirichlet au bord. Nous dirons qu'un domaine $\Omega$ est extrémal (sous entendu, pour la première valeur propre de l'opérateur de Laplace-Beltrami) si $\Omega$ est un point critique de la fonctionnelle $\Omega \rightarrow \lambda_\Omega$ sous une contrainte de volume $Vol (\Omega) = c_0$. Autrement dit, $\Omega$ est extrémal si, pour toute famille régulière $\{\Omega_t\}_{t \in (-t_0,t_0)}$ de domaines de volume constant, telle que $\Omega_0 = \Omega$, la dérivée de la fonction $t \rightarrow \lambda_{\Omega_t}$ en $0$ est nulle. Rappelons que les domaines extrémaux sont caractérisés par le fait que la fonction propre, associée à la première valeur propre sur le domaine avec condition de Dirichlet au bord, a une donnée de Neumann constante au bord. Ce résultat a été démontré par A. El Soufi et S. Ilias en 2007. Les domaines extrémaux sont donc des domaines sur lesquels peut être résolu un problème elliptique surdéterminé. L'objectif principal de cette thèse est la construction de domaines extrémaux pour la première valeur propre de l'opérateur de Laplace-Beltrami avec condition de Dirichlet au bord. Nous donnons des résultats d'existence de domaines extrémaux dans le cas de petits volumes ou bien dans le cas de volumes proches du volume de la variété. Nos résultats permettent ainsi de donner de nouveaux exemples non triviaux de domaines extrémaux. Le premier résultat que nous avons obtenu affirme que si une variété admet un point critique non dégénéré de la courbure scalaire, alors pour tout volume petit il existe un domaine extrémal qui peut être construit en perturbant une boule géodésique centrée en ce point critique non dégénéré de la courbure scalaire. La méthode que nous utilisons pour construire ces domaines extrémaux revient à étudier l'opérateur (non linéaire) qui à un domaine associe la donnée de Neumann de la première fonction propre de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur le domaine. Il s'agit d'un opérateur (hautement non linéaire), nonlocal, elliptique d'ordre 1. Dans $\mathbb R^n \times \mathbb{R}/\, \mathbb{Z}$, le domaine cylindrique $B_r \times \mathbb{R}/\, \mathbb{Z}$, où $B_r$ est la boule de rayon $r >0$ dans $\mathbb{R}^{n}$, est un domaine extrémal. En étudiant le linéarisé de l'opérateur elliptique du premier ordre défini par le problème précédent et en utilisant un résultat de bifurcation, nous avons démontré l'existence de domaines extrémaux nontriviaux dans $\mathbb R^{n}\times \mathbb{R}/\, \mathbb{Z}$. Ces nouveaux domaines extrémaux sont proches de domaines cylindriques $B_r \times \mathbb{R}/ \mathbb{Z}$. S'ils sont invariants par rotation autour de l'axe vertical, ces domaines ne sont plus invariants par translations verticales. Ce deuxième résultat donne un contre-exemple à une conjecture de Berestycki, Caffarelli et Nirenberg énoncée en 1997. Pour de grands volumes la construction de domaines extrémaux est techniquement plus difficile et fait apparaître des phénomènes nouveaux. Dans ce cadre, nous avons dû distinguer deux cas selon que la première fonction propre $\phi_0$ de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur la variété est constante ou non. Les résultats que nous avons obtenus sont les suivants : $\phi_0$ a des points critiques non dégénérés (donc en particulier n'est pas constante), alors pour tout volume assez proche du volume de la variété, il existe un domaine extrémal obtenu en perturbant le complément d'une boule géodésique centrée en un des points critiques non dégénérés de $\phi_0$. Si $\phi_0$ est constante et la variété admet des points critiques non dégénérés de la courbure scalaire, alors pour tout volume assez proche du volume de la variété il existe un domaine extrémal obtenu en perturbant le complément d'une boule géodésique centrée en un des points critiques non dégénérés de la courbure scalaire.