Au cours de cette thèse, nous avons étudié deux problèmes spécifiques de chaos quantique. D'abord, nous avons confirmé le modèle de percolation critique pour décrire statistiquement les lignes nodales des fonctions d'onde de systèmes classiquement chaotiques. Dans ce but, les lignes ont été décrites à l'aide d'un processus de Schramm-Loewner et notre étude numérique concorde avec le récent théorème liant ce processus et la percolation au seuil critique. Dans une seconde partie nous avons généralisé les résultats connus en chaos quantique sur les billards fermés aux cavités diélectriques ouvertes. Nous avons donné des formules générales pour une légère pertubation d'une cavité circulaire et proposé une généralisation de formule de trace pour ces systèmes. En particulier nous donnons les premiers termes de la série de Weyl pour compter le nombre de résonances d'une cavité diélectrique. Ces résultats sont en accord avec les mesures expérimentales et nos calculs numériques. Ces deux études montrent le caractère fondamental et transversal des techniques du chaos quantique pour les problèmes actuels.

Etude des propriétés de symétrie des solutions de quelques problèmes aux limites de type elliptique. / Doctorat en sciences, Spécialisation mathématiques / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Dans ce travail, nous nous intéressons à l’analyse spectrale des systèmes d’opérateurs pseudodifférentiels semi-classiques. Dans la première partie, nous étudions la généralisation du théorème d’Egorov en temps longs dans le cas où l’Hamiltonien quantique qui génère l’évolution en temps et l’observable quantique initiale sont deux opérateurs pseudodifférentiels semiclassiques associés à des symboles à valeurs matricielles. Sous une condition d’hyperbolicité sur le symbole principal de l’Hamiltonien qui assure l’existence des projecteurs semi-classiques, et pour une classe d’observables "semi-classiquement" diagonales par blocs par rapport à ces projecteurs, nous démontrons un théorème de type Egorov valable pour un temps long d’ordre log(h-1) connu comme le temps d’Ehrenfest. Ici h 0 est le paramètre semi-classique. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à la théorie spectrale et la théorie de la diffusion pour des systèmes d’opérateurs pseudodifférentiels auto-adjoints. Nous développons une approche stationnaire pour l’étude de la fonction de décalage spectral associée à une paire d’opérateurs de Schrödinger semi-classiques à potentiels matriciels. Une asymptotique de type Weyl avec reste optimal sur la fonction de décalage spectral est établie, et sous l’hypothèse d’existence d’une fonction fuite scalaire, un développement asymptotique complet en puissancesde h au sens fort sur sa dérivée est obtenu. Ce dernier résultat est une généralisation au cas matriciel d’un résultat de Robert et Tamura établi dans le cas scalaire près des énergies non-captives. Notre méthode indépendante du temps nous permet de traiter certains potentiels avec des croisements des valeurs propres. / In this work, we are interested in the spectral analysis of systems of semiclassical pseudodifferentialoperators. In the first part, we study the extension of the long time semiclassical Egorovtheorem in the case where the quantum Hamiltonian which generates the time evolution andthe initial quantum observable are two semiclassical pseudodifferential operators with matrixvaluedsymbols. Under an hyperbolicity condition on the principal symbol of the Hamiltonianwhich ensures the existence of the semiclassical projections, and for a class of observable thatare "semi-classically" block-diagonal with respect to these projections, we prove an Egorov theoremvalid in a large time interval of order log(h-1) known as the Ehrenfest time. Here h & 0is the semiclassical parameter.In the second part, we are interested in the spectral and scattering theories for self-adjointsystems of pseudodifferential operators. We develop a stationary approach for the study of thespectral shift function (SSF) associated to a pair of self-adjoint semiclassical Schrödinger operatorswith matrix-valued potentials. We prove a Weyl-type asymptotics with sharp remainderestimate on the SSF, and under the existence of a scalar escape function, a pointwise completeasymptotic expansion on its derivative. This last result is a generalisation in the matrix-valuedcase of a result of Robert and Tamura established in the scalar case near non-trapping energies.Our time-independent method allows us to treat certain potentials with energy-level crossings