Graph signal processing analyzes signals supported on the nodes of a network with respect to a shift operator matrix that conforms to the graph structure. For shift-invariant graph filters, which are polynomial functions of the shift matrix, the filter response is defined by the value of the filter polynomial at the shift matrix eigenvalues. Thus, information regarding the spectral decomposition of the shift matrix plays an important role in filter design. However, under stochastic conditions leading to uncertain network structure, the eigenvalues of the shift matrix become random, complicating the filter design task. In such case, empirical distribution functions built from the random matrix eigenvalues may exhibit deterministic limiting behavior that can be exploited for problems on large-scale random networks. Acceleration filters for distributed average consensus dynamics on random networks provide the application covered in this thesis work. The thesis discusses methods from random matrix theory appropriate for analyzing adjacency matrix spectral asymptotics for both directed and undirected random networks, introducing relevant theorems. Network distribution properties that allow computational simplification of these methods are developed, and the methods are applied to important classes of random network distributions. Subsequently, the thesis presents the main contributions, which consist of optimization problems for consensus acceleration filters based on the obtained asymptotic spectral density information. The presented methods cover several cases for the random network distribution, including both undirected and directed networks as well as both constant and switching random networks. These methods also cover two related optimization objectives, asymptotic convergence rate and graph total variation.

Dans ce mémoire de maîtrise, nous étudions l'asymptotique spectrale pour les problèmes d'oscillation de deux fluides incompressibles idéaux remplissant un volume arbitraire avec une surface supérieure ouverte ou fermée. Dans le premier chapitre, nous introduisons les notions de base de la géométrie spectrale, illustrons le problème de Steklov pour un fluide dans un volume arbitraire ainsi que les principaux résultats qui seront nécessaires pour comprendre et démontrer les énoncés du manuscrit. Nous dérivons également les principales relations et équations des petites oscillations d'un fluide incompressible idéal. La deuxième partie présente les principaux résultats sur les petites oscillations de deux liquides à surface supérieure fermée, obtenus par Solomyak, Kopachevsky et leurs collaborateurs, qui justifient et vérifient la cohérence des résultats pour le problème considéré. Finalement, nous traitons le problème avec une surface ouverte. Une question similaire a été abordée par Kuznetsov. Un canal rectangulaire rempli de deux liquides est un exemple révélateur vérifiant tous les principaux résultats de la recherche. Entre autres, nous avons trouvé un cas particulier intéressant dans lequel la famille de solutions correspondant au paramètre spectral disparaît. En conclusion, nous trouvons sur les conditions d'existence et l'unicité des solutions. / In this M.Sc. thesis, we investigate the spectral asymptotics for a problem describing oscillations of two ideal incompressible fluids filling an arbitrary volume with either open or closed upper surface. In the first chapter, we introduce the basic notions of spectral geometry and illustrate the Steklov problem for fluid in an arbitrary volume, as well as the main results needed to understand and prove the statements in the manuscript. We also derive the equations of small oscillations of an ideal incompressible fluid. The second part presents the main results on small oscillations of two liquids with a closed upper surface, obtained by Solomyak, Kopachevsky, and their collaborators that justify and verify the consistency of the findings for the problem under consideration. In the third chapter, we treat the problem with an open surface. A similar question was previously addressed by Kuznetsov. A rectangular channel filled with two liquids is a telling example that confirms all the main research results. Interestingly enough, we found a particular case in which the family of solutions corresponding to the spectral parameter disappears. In conclusion, we describe the condition of existence and the uniqueness of such solutions.

On étudie les résonances semi-excitées pour un Opérateur h-Pseudo-différentiel (h-PDO)H(x, hDx) sur L2(M) induites par une orbite périodique de type hyperbolique à l’énergie E = 0. Par exemple M = Rn et H(x, hDx; h) est l’opérateur de Schrödinger avec effet Stark, ouH(x, hDx; h) est le flot géodesique sur une variété axi-symétrique M, généralisant l’exemplede Poincaré de systèmes Lagrangiens à 2 degrés de liberté. On étend le formalisme de Gérard and Sjöstrand, au sens où on autorise des valeurs propres hyperboliques et elliptiques del’application de Poincaré, et où l’on considère des résonances dont la partie imaginaire est del’ordre de hs, pour 0 < s < 1.On établit une règle de quantification de type Bohr-Sommerfeld au premier ordre en fonction des nombres quantiques longitudinaux (réels) et transverses (complexes), incluantl’intégrale d’action le long de l’orbite, la 1-forme sous-principale, et l’indice de Conley-Zehnder. / In this Thesis we consider semi-excited resonances for a h-Pseudo-Differential Operator (h-PDO for short) H(x, hDx; h) on L2(M) induced by a periodic orbit of hyperbolic type at energy E = 0, as arises when M = Rn and H(x, hDx; h) is Schrödinger operator withAC Stark effect, or H(x, hDx; h) is the geodesic flow on an axially symmetric manifold M,extending Poincaré example of Lagrangian systems with 2 degree of freedom. We generalizethe framework of Gérard and Sjöstrand, in the sense that we allow for hyperbolic and ellipticeigenvalues of Poincaré map, and look for (excited) resonances with imaginary part of magnitude hs, with 0 < s < 1,It is known that these resonances are given by the zeroes of a determinant associatedwith Poincaré map. We make here this result more precise, in providing a first order asymptoticsof Bohr-Sommerfeld quantization rule in terms of the (real) longitudinal and (complex)transverse quantum numbers, including the action integral, the sub-principal 1-form and Gelfand-Lidskii index.

A discrete analogue of the Witten Laplacian on the n-dimensional integer lattice is considered. After rescaling of the operator and the lattice size we analyze the tunnel effect between different wells, providing sharp asymptotics of the low-lying spectrum. Our proof, inspired by work of B. Helffer, M. Klein and F. Nier in continuous setting, is based on the construction of a discrete Witten complex and a semiclassical analysis of the corresponding discrete Witten Laplacian on 1-forms. The result can be reformulated in terms of metastable Markov processes on the lattice. / In dieser Arbeit wird auf dem n-dimensionalen Gitter der ganzen Zahlen ein Analogon des Witten-Laplace-Operatoren eingeführt. Nach geeigneter Skalierung des Gitters und des Operatoren analysieren wir den Tunneleffekt zwischen verschiedenen Potentialtöpfen und erhalten vollständige Aymptotiken für das tiefliegende Spektrum. Der Beweis (nach Methoden, die von B. Helffer, M. Klein und F. Nier im Falle des kontinuierlichen Witten-Laplace-Operatoren entwickelt wurden) basiert auf der Konstruktion eines diskreten Witten-Komplexes und der Analyse des zugehörigen Witten-Laplace-Operatoren auf 1-Formen. Das Resultat kann im Kontext von metastabilen Markov Prozessen auf dem Gitter reformuliert werden und ermöglicht scharfe Aussagen über metastabile Austrittszeiten.

In this dissertation we study non-negative self-adjoint Laplace type operators acting on smooth sections of a vector bundle. First, we assume base manifolds are compact, boundaryless, and Riemannian. We start from the Fourier integral operator representation of half-wave operators, continue with spectral zeta functions, heat and resolvent trace asymptotic expansions, and end with the quantitative Wodzicki residue method. In particular, all of the asymptotic coefficients of the microlocalized spectral counting function can be explicitly given and clearly interpreted. With the auxiliary pseudo-differential operators ranging all smooth endomorphisms of the given bundle, we obtain certain asymptotic estimates about the integral kernel of heat operators. As applications, we study spectral asymptotics of Dirac type operators such as characterizing those for which the second coefficient vanishes. Next, we assume vector bundles are trivial and base manifolds are Euclidean domains, and study non-negative self-adjoint extensions of the Laplace operator which acts component-wise on compactly supported smooth functions. Using finite propagation speed estimates for wave equations and explicit Fourier Tauberian theorems obtained by Yuri Safarov, we establish the principle of not feeling the boundary estimates for the heat kernel of these operators. In particular, the implied constants are independent of self-adjoint extensions. As a by-product, we affirmatively answer a question about upper estimate for the Neumann heat kernel. Finally, we study some specific values of the spectral zeta function of two-dimensional Dirichlet Laplacians such as spectral determinant and Casimir energy. For numerical purposes we substantially improve the short-time Dirichlet heat trace asymptotics for polygons. This could be used to measure the spectral determinant and Casimir energy of polygons whenever the first several hundred or one thousand Dirichlet eigenvalues are known with high precision by other means.

Dans cette thèse nous considérons l’équation des ondes amorties vectorielle sur une variété riemannienne compacte, lisse et sans bord. L’amortisseur est ici une fonction lisse allant de la variété dans l’espace des matrices hermitiennes de taille n. Les solutions de cette équation sont donc à valeurs vectorielles. Nous commençons dans un premier temps par calculer le meilleur taux de décroissance exponentiel de l’énergie en fonction du terme d’amortissement. Ceci nous permet d’obtenir une condition nécessaire et suffisante la stabilisation forte de l’équation des ondes amorties vectorielle. Nous mettons aussi en évidence l’apparition d’un phénomène de sur-amortissement haute fréquence qui n’existait pas dans le cas scalaire. Dans un second temps nous nous intéressons à la répartition asymptotique des fréquences propres de l’équation des ondes amorties vectorielle. Nous démontrons que, à un sous ensemble de densité nulle près, l’ensemble des fréquences propres est contenu dans une bande parallèle à l’axe imaginaire. La largeur de cette bande est déterminée par les exposants de Lyapunov d’un système dynamique défini à partir du coefficient d’amortissement. / In this thesis we are considering the vectorial damped wave equation on a compact and smooth Riemannian manifold without boundary. The damping term is a smooth function from the manifold to the space of Hermitian matrices of size n. The solutions of this équation are thus vectorial. We start by computing the best exponential energy decay rate of the solutions in terms of the damping term. This allows us to deduce a sufficient and necessary condition for strong stabilization of the vectorial damped wave equation. We also show the appearance of a new phenomenon of high-frequency overdamping that did not exists in the scalar case. In the second half of the thesis we look at the asymptotic distribution of eigenfrequencies of the vectorial damped wave equation. Were show that, up to a null density subset, all the eigenfrequencies are in a strip parallel to the imaginary axis. The width of this strip is determined by the Lyapunov exponents of a dynamical system defined from the damping term.

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Ce mémoire contient deux articles que j’ai rédigés au cours de ma maîtrise. Le premier chapitre sert d’introduction à ces articles. Plusieurs concepts de géométrie spectrale y sont présentés dans le contexte du problème de Steklov, en plus des résultats principaux des chapitres subséquents. Le second chapitre porte sur le problème de Steklov paramétrique sur des surfaces lisses. Un développement asymptotique complet des valeurs propres du problème est obtenu à l’aide de méthodes pseudodifférentielles. Celui-ci généralise l’asymptotique spectrale déjà connue du problème de Steklov classique. Nous en déduisons de nouveaux invariants géométriques déterminés par le spectre. Le troisième chapitre porte sur le problème de ballottement sur des prismes à base triangulaire. Le but est de comprendre comment les angles du prisme affectent le deuxième terme du développement asymptotique de la fonction de compte des valeurs propres. En construisant des quasimodes, nous obtenons une expression de ce terme que nous conjecturons comme étant la bonne pour les vraies valeurs propres. Cette conjecture est alors supportée par des expériences numériques. / This thesis contains two articles that I wrote during my M.Sc. studies. The first chapter serves as an introduction to both articles. Some concepts of spectral geometry in the context of the Steklov problem are presented, as well as the main results of the subsequent chapters. The second chapter concerns the parametric Steklov problem on smooth surfaces. We obtain a complete asymptotic expansion of the eigenvalues of the problem by using pseudodifferential techniques. This generalizes the already known spectral asymptotics of the classical Steklov problem. We deduce new geometric invariants determined by the spectrum. The third chapter concerns the sloshing problem on triangular prisms. The goal is to understand how the angles in the prism affect the second term in the asymptotic expansion of the eigenvalue counting function. By constructing quasimodes, we obtain an expression for this term that we conjecture as being correct for the true eigenvalues. This conjecture is then supported by numerical experiments.

Dans ce travail, nous nous intéressons à l’analyse spectrale des systèmes d’opérateurs pseudodifférentiels semi-classiques. Dans la première partie, nous étudions la généralisation du théorème d’Egorov en temps longs dans le cas où l’Hamiltonien quantique qui génère l’évolution en temps et l’observable quantique initiale sont deux opérateurs pseudodifférentiels semiclassiques associés à des symboles à valeurs matricielles. Sous une condition d’hyperbolicité sur le symbole principal de l’Hamiltonien qui assure l’existence des projecteurs semi-classiques, et pour une classe d’observables "semi-classiquement" diagonales par blocs par rapport à ces projecteurs, nous démontrons un théorème de type Egorov valable pour un temps long d’ordre log(h-1) connu comme le temps d’Ehrenfest. Ici h 0 est le paramètre semi-classique. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à la théorie spectrale et la théorie de la diffusion pour des systèmes d’opérateurs pseudodifférentiels auto-adjoints. Nous développons une approche stationnaire pour l’étude de la fonction de décalage spectral associée à une paire d’opérateurs de Schrödinger semi-classiques à potentiels matriciels. Une asymptotique de type Weyl avec reste optimal sur la fonction de décalage spectral est établie, et sous l’hypothèse d’existence d’une fonction fuite scalaire, un développement asymptotique complet en puissancesde h au sens fort sur sa dérivée est obtenu. Ce dernier résultat est une généralisation au cas matriciel d’un résultat de Robert et Tamura établi dans le cas scalaire près des énergies non-captives. Notre méthode indépendante du temps nous permet de traiter certains potentiels avec des croisements des valeurs propres. / In this work, we are interested in the spectral analysis of systems of semiclassical pseudodifferentialoperators. In the first part, we study the extension of the long time semiclassical Egorovtheorem in the case where the quantum Hamiltonian which generates the time evolution andthe initial quantum observable are two semiclassical pseudodifferential operators with matrixvaluedsymbols. Under an hyperbolicity condition on the principal symbol of the Hamiltonianwhich ensures the existence of the semiclassical projections, and for a class of observable thatare "semi-classically" block-diagonal with respect to these projections, we prove an Egorov theoremvalid in a large time interval of order log(h-1) known as the Ehrenfest time. Here h & 0is the semiclassical parameter.In the second part, we are interested in the spectral and scattering theories for self-adjointsystems of pseudodifferential operators. We develop a stationary approach for the study of thespectral shift function (SSF) associated to a pair of self-adjoint semiclassical Schrödinger operatorswith matrix-valued potentials. We prove a Weyl-type asymptotics with sharp remainderestimate on the SSF, and under the existence of a scalar escape function, a pointwise completeasymptotic expansion on its derivative. This last result is a generalisation in the matrix-valuedcase of a result of Robert and Tamura established in the scalar case near non-trapping energies.Our time-independent method allows us to treat certain potentials with energy-level crossings