Este trabalho contém um estudo sobre equações de ondas fracamente dissipativas definidas em domínios de fronteira móvel ∂2u/∂t2/ + η∂u/∂t - Δu + g(u) = f(x,t), (x,t) ∈ ^Dτ, onde ^Dτ = ∪t∈(τ,+ ∞) Ot X . Dizemos que domínio Dτ possui fronteira móvel se admitirmos que a fronteira Γt de de Ot varia em relação a t. Nossa contribuição é dividida em três etapas. 1 - Provamos que o problema munido da condição de fronteira de Dirichlet é bem posto no sentido de Hadamard (existência global, unicidade e dependência contínua dos dados) para soluções fortes e fracas. Nessa etapa utilizamos um método clássico que transforma o domínio dependente de t em um domínio fixo. Como consequência observamos que o sistema é essencialmente não autônomo. 2 - Buscamos uma teoria de sistemas dinâmicos não autônomos para estudar o operador solução do problema como um processo U(t; τ) : Xτ → Xτ, t≥ τ, definido em espaços de fase Xt = H01(Ot) × L2(Ot) que são dependentes do tempo t. 3 - No contexto da dinâmica de longo prazo encontramos hipóteses para garantir que o sistema dinâmico associado ao problema de ondas em domínios de fronteira móvel possui um atrator pullback. Basicamente admitimos que o domínio é crescente e \"time-like\". Salientamos que o nosso trabalho é o primeiro que estuda tais equações de ondas sob o ponto de vista de sistemas dinâmicos não-autônomos. Para equações parabólicas, resultados no mesmo contexto foram obtidos anteriormente por Kloeden, Marín-Rubio e Real [JDE 244 (2008) 2062-2090] e Kloeden, Real e Sun [JDE 246 (2009) 4702-4730]. Entretanto o nosso problema á hiperbólico e nã possui a regularidade das equações parabólicas. / In this work we study a weakly dissipative wave equation defined in domains with moving boundary ∂2u/∂t2/ + η∂u/∂t - Δu + g(u) = f(x,t), (x,t) ∈ Dτ, where D&tau> = ∪t∈(τ,+ ∞) Ot X . We says that a domain D&tau has moving boundary if the boundary &Gama;t of Ot varies with respect to t. Our contribution is threefold. 1 - We prove that the wave equation equipped with Dirichlet boundary condition is well-posed in the sense of Hadamard (global existence, uniqueness and continuous dependence with respect to data) for weak and strong solutions. This is done by using a classical argument that transforms the time dependent domain in a fixed domain. As a consequence we see that the problem is essentially non-autonomous. 2 -We find a theory of non-autonomous dynamical systems in order to study the solution operator as a process U(t; τ) : Xτ → Xsub>t, t≥τ, defined in time dependent phase spaces Xt = H01 (Ot) × L2.(Ot. 3 - In the context of long-time behavior of solutions we find suitable conditions to guarantee the existence of a pullback attractor. Roughly speaking, we assume the domain Q is expanding and time-like. We emphasize that our work is the first one that consider wave equations in noncylindrical domains as non-autonomous dynamical systems. With respect to parabolic equations, similar results were early obtained by Kloeden, Marín-Rubio and Real [JDE 244 (2008) 2062-2090] and Kloeden, Real and Sun [JDE 246 (2009) 4702-4730]. However our problem is hyperbolic and does not enjoy regularity properties as the parabolic ones.

Este trabalho contém um estudo sobre equações de ondas fracamente dissipativas definidas em domínios de fronteira móvel ∂2u/∂t2/ + η∂u/∂t - Δu + g(u) = f(x,t), (x,t) ∈ ^Dτ, onde ^Dτ = ∪t∈(τ,+ ∞) Ot X . Dizemos que domínio Dτ possui fronteira móvel se admitirmos que a fronteira Γt de de Ot varia em relação a t. Nossa contribuição é dividida em três etapas. 1 - Provamos que o problema munido da condição de fronteira de Dirichlet é bem posto no sentido de Hadamard (existência global, unicidade e dependência contínua dos dados) para soluções fortes e fracas. Nessa etapa utilizamos um método clássico que transforma o domínio dependente de t em um domínio fixo. Como consequência observamos que o sistema é essencialmente não autônomo. 2 - Buscamos uma teoria de sistemas dinâmicos não autônomos para estudar o operador solução do problema como um processo U(t; τ) : Xτ → Xτ, t≥ τ, definido em espaços de fase Xt = H01(Ot) × L2(Ot) que são dependentes do tempo t. 3 - No contexto da dinâmica de longo prazo encontramos hipóteses para garantir que o sistema dinâmico associado ao problema de ondas em domínios de fronteira móvel possui um atrator pullback. Basicamente admitimos que o domínio é crescente e \"time-like\". Salientamos que o nosso trabalho é o primeiro que estuda tais equações de ondas sob o ponto de vista de sistemas dinâmicos não-autônomos. Para equações parabólicas, resultados no mesmo contexto foram obtidos anteriormente por Kloeden, Marín-Rubio e Real [JDE 244 (2008) 2062-2090] e Kloeden, Real e Sun [JDE 246 (2009) 4702-4730]. Entretanto o nosso problema á hiperbólico e nã possui a regularidade das equações parabólicas. / In this work we study a weakly dissipative wave equation defined in domains with moving boundary ∂2u/∂t2/ + η∂u/∂t - Δu + g(u) = f(x,t), (x,t) ∈ Dτ, where D&tau> = ∪t∈(τ,+ ∞) Ot X . We says that a domain D&tau has moving boundary if the boundary &Gama;t of Ot varies with respect to t. Our contribution is threefold. 1 - We prove that the wave equation equipped with Dirichlet boundary condition is well-posed in the sense of Hadamard (global existence, uniqueness and continuous dependence with respect to data) for weak and strong solutions. This is done by using a classical argument that transforms the time dependent domain in a fixed domain. As a consequence we see that the problem is essentially non-autonomous. 2 -We find a theory of non-autonomous dynamical systems in order to study the solution operator as a process U(t; τ) : Xτ → Xsub>t, t≥τ, defined in time dependent phase spaces Xt = H01 (Ot) × L2.(Ot. 3 - In the context of long-time behavior of solutions we find suitable conditions to guarantee the existence of a pullback attractor. Roughly speaking, we assume the domain Q is expanding and time-like. We emphasize that our work is the first one that consider wave equations in noncylindrical domains as non-autonomous dynamical systems. With respect to parabolic equations, similar results were early obtained by Kloeden, Marín-Rubio and Real [JDE 244 (2008) 2062-2090] and Kloeden, Real and Sun [JDE 246 (2009) 4702-4730]. However our problem is hyperbolic and does not enjoy regularity properties as the parabolic ones.

O seguinte trabalho procura estudar problemas de fronteira móvel, conhecidos por problemas de Stefan, bem como aproximar suas soluções. Aplicações de problemas de Stefan encontram-se, por exemplo, na física termal de mudança de estados, presente em diversos fenômenos físicos e químicos naturais e na indústria. Devido a não-linearidade, a maior parte destes problemas não possuem solução analítica conhecida e uma técnica comum para se aproximar soluções é o método de balanceamento integral, inicialmente estudado por Goodman (1958). Este método e suas variações propõem perfis de aproximação no domínio da solução e resolvem uma versão integral da equação diferencial. O problema se resume a resolver uma equação diferencial ordinária no tempo envolvendo a profundidade de penetração do calor e o perfil de aproximação proposto. O trabalho estuda tais métodos para problemas termais clássicos em primeiro lugar, de modo que a extensão para problemas de Stefan seja natural. Refinamentos são apresentados, bem como uma técnica de subdivisão do espaço que resulta num esquema numérico. A técnica de imobilização e fronteira é desenvolvida e aplicada em diversos momentos, a fim de simplificar a utilização dos métodos integrais. / The current work aims to study moving boundary problems, known as Stefan problems, and approximate their solutions. Applications of Stefan problems are found in situations where there is change of physical state, present in several natural and industrial physical and chemical phenomena. Due to their inherent nonlinearity, most of these problems have no known analytic solution and a common technique to approximate solutions is the heat balance integral method, originally studied by Goodman (1958). This method and its variations propose an approximating profile and solve an integral version of the differential equation. The problem is reduced to solving an ordinary differential equation in time involving the depth of heat penetration and the proposed profile. This work studies such classic methods to thermal problems first, in a way that the extension to Stefan problems is natural. Refinements are presented, as well as a technique of subdividing the space domain which results in a numerical scheme. The technique of boundary immobilization is developed and applied at different times in order to simplify the use of these methods.

O seguinte trabalho procura estudar problemas de fronteira móvel, conhecidos por problemas de Stefan, bem como aproximar suas soluções. Aplicações de problemas de Stefan encontram-se, por exemplo, na física termal de mudança de estados, presente em diversos fenômenos físicos e químicos naturais e na indústria. Devido a não-linearidade, a maior parte destes problemas não possuem solução analítica conhecida e uma técnica comum para se aproximar soluções é o método de balanceamento integral, inicialmente estudado por Goodman (1958). Este método e suas variações propõem perfis de aproximação no domínio da solução e resolvem uma versão integral da equação diferencial. O problema se resume a resolver uma equação diferencial ordinária no tempo envolvendo a profundidade de penetração do calor e o perfil de aproximação proposto. O trabalho estuda tais métodos para problemas termais clássicos em primeiro lugar, de modo que a extensão para problemas de Stefan seja natural. Refinamentos são apresentados, bem como uma técnica de subdivisão do espaço que resulta num esquema numérico. A técnica de imobilização e fronteira é desenvolvida e aplicada em diversos momentos, a fim de simplificar a utilização dos métodos integrais. / The current work aims to study moving boundary problems, known as Stefan problems, and approximate their solutions. Applications of Stefan problems are found in situations where there is change of physical state, present in several natural and industrial physical and chemical phenomena. Due to their inherent nonlinearity, most of these problems have no known analytic solution and a common technique to approximate solutions is the heat balance integral method, originally studied by Goodman (1958). This method and its variations propose an approximating profile and solve an integral version of the differential equation. The problem is reduced to solving an ordinary differential equation in time involving the depth of heat penetration and the proposed profile. This work studies such classic methods to thermal problems first, in a way that the extension to Stefan problems is natural. Refinements are presented, as well as a technique of subdividing the space domain which results in a numerical scheme. The technique of boundary immobilization is developed and applied at different times in order to simplify the use of these methods.

O problema da condução de calor, envolvendo mudança de fase, foi resolvido para o caso de uma cavidade limitada por duas superfícies cilíndricas indefinidamente longas. As condições de contorno impostas consistem em manter a temperatura da superfície interna fixa e abaixo da temperatura de fusão do material que preenche a cavidade, enquanto que a temperatura da superfície externa é mantida fixa e acima da temperatura de fusão. Como condição inicial se fixou a temperatura de todo o material que preenche a cavidade no valor da temperatura da superfície externa. A solução obtida consiste em duas soluções da equação de condução de calor, uma escrita para o material solidificado e outra escrita para o material em estado líquido. As duas soluções são formalmente escritas em termos da posição da frente de mudança de fase, que é representada por uma superfície cilíndrica com raio em expansão dentro da cavidade. A posição dessa superfície é, a princípio, desconhecida e é calculada impondo o balanço de energia através da frente da mudança de fase. O balanço de energia é expresso por uma equação diferencial de primeira ordem, cuja solução numérica fornece a posição da frente como função do tempo. A substituição da posição da frente de mudança de fase em um instante particular, nas soluções da equação de condução de calor, fornece a temperatura nas duas fases naquele instante. A solução obtida é ilustrada através de exemplos numéricos. / The heat conduction problem, in the presence of a change of state, was solved for the case of an indefinitely long cylindrical layer cavity. As boundary conditions it is imposed that the internal surface of the cavity is maintained below the fusion temperature of the infilling substance and the external surface is kept above it. The solution, obtained in non-dimensional variables, consists in two closed form heat conduction equation solutions for the solidified and liquid regions, which formally depend of the, at first, unknown position of the phase change front. The energy balance through the phase change front furnishes the equation for time dependence of the front position, which is numerically solved. Substitution of the front position for a particular instant in the heat conduction equation solutions gives the temperature distribution inside the cavity at that moment. The solution is illustrated with numerical examples.

O problema da condução de calor, envolvendo mudança de fase, foi resolvido para o caso de uma cavidade limitada por duas superfícies cilíndricas indefinidamente longas. As condições de contorno impostas consistem em manter a temperatura da superfície interna fixa e abaixo da temperatura de fusão do material que preenche a cavidade, enquanto que a temperatura da superfície externa é mantida fixa e acima da temperatura de fusão. Como condição inicial se fixou a temperatura de todo o material que preenche a cavidade no valor da temperatura da superfície externa. A solução obtida consiste em duas soluções da equação de condução de calor, uma escrita para o material solidificado e outra escrita para o material em estado líquido. As duas soluções são formalmente escritas em termos da posição da frente de mudança de fase, que é representada por uma superfície cilíndrica com raio em expansão dentro da cavidade. A posição dessa superfície é, a princípio, desconhecida e é calculada impondo o balanço de energia através da frente da mudança de fase. O balanço de energia é expresso por uma equação diferencial de primeira ordem, cuja solução numérica fornece a posição da frente como função do tempo. A substituição da posição da frente de mudança de fase em um instante particular, nas soluções da equação de condução de calor, fornece a temperatura nas duas fases naquele instante. A solução obtida é ilustrada através de exemplos numéricos. / The heat conduction problem, in the presence of a change of state, was solved for the case of an indefinitely long cylindrical layer cavity. As boundary conditions it is imposed that the internal surface of the cavity is maintained below the fusion temperature of the infilling substance and the external surface is kept above it. The solution, obtained in non-dimensional variables, consists in two closed form heat conduction equation solutions for the solidified and liquid regions, which formally depend of the, at first, unknown position of the phase change front. The energy balance through the phase change front furnishes the equation for time dependence of the front position, which is numerically solved. Substitution of the front position for a particular instant in the heat conduction equation solutions gives the temperature distribution inside the cavity at that moment. The solution is illustrated with numerical examples.