We define morphism (E, M)-structures in an abstract category, develop their basic properties and present some examples. We also consider the existence of such factorization structures, and find conditions under which they can be extended to factorization structures for certain classes of sources. There is a Galois correspondence between the collection of all subclasses of X-morphisms and the collection of all subclasses of X-objects. A-epimorphisms diagonalize over A-regular morphisms. Given an (E, M)-factorization structure on a finitely complete category, E-separated objects are those for which diagonal morphisms lie in M. Other characterizations of E-separated objects are given. We give a bijective correspondence between the class of all (E, M)factorization structures with M contained in the class of all X-embeddings and the class of all strong limit operators. We study M-preserving morphisms, M-perfect morphisms and M-compact objects in a morphism (E, M)-hereditary construct, and prove some of their properties which are analogous to the topological ones. / Mathematical Sciences / M. Sc. (Mathematics)

This paper will be devoted to an exposition of some of the relationships existing between a field and certain of its extension fields. In particular, it will be shown that many fields may be characterized rather simply in terms of their subfields which, in turn, may be directly correlated with the subgroups of a finite group of automorphisms of the given field.

by Tang Ko Cheung, Simon. / Thesis date on t.p. originally printed as 1997, of which 7 has been overwritten as 8 to become 1998. / Thesis (M.Phil.)--Chinese University of Hong Kong, 1998. / Includes bibliographical references (leaves 95-97). / Chapter 1 --- Introduction --- p.5 / Chapter 1.1 --- Motivation --- p.5 / Chapter 1.1.1 --- Calculation of the Galois group --- p.5 / Chapter 1.1.2 --- Factorization of polynomials in a finite number of steps IS feasible --- p.6 / Chapter 1.2 --- Table & Diagram of Transitive Groups up to Degree 7 --- p.8 / Chapter 1.3 --- Background and Notation --- p.13 / Chapter 1.4 --- Content and Contribution of THIS thesis --- p.17 / Chapter 2 --- Stauduhar's Method --- p.20 / Chapter 2.1 --- Overview & Restrictions --- p.20 / Chapter 2.2 --- Representation of the Galois Group --- p.21 / Chapter 2.3 --- Groups and Functions --- p.22 / Chapter 2.4 --- Relative Resolvents --- p.24 / Chapter 2.4.1 --- Computing Resolvents Numerically --- p.24 / Chapter 2.4.2 --- Integer Roots of Resolvent Polynomials --- p.25 / Chapter 2.5 --- The Determination of Galois Groups --- p.26 / Chapter 2.5.1 --- Searching Procedures --- p.26 / Chapter 2.5.2 --- "Data: T(x1,x2 ,... ,xn), Coset Rcpresentatives & Searching Diagram" --- p.27 / Chapter 2.5.3 --- Examples --- p.32 / Chapter 2.6 --- Quadratic Factors of Resolvents --- p.35 / Chapter 2.7 --- Comment --- p.35 / Chapter 3 --- Factoring Polynomials Quickly --- p.37 / Chapter 3.1 --- History --- p.37 / Chapter 3.1.1 --- From Feasibility to Fast Algorithms --- p.37 / Chapter 3.1.2 --- Implementations on Computer Algebra Systems --- p.42 / Chapter 3.2 --- Squarefree factorization --- p.44 / Chapter 3.3 --- Factorization over finite fields --- p.47 / Chapter 3.4 --- Factorization over the integers --- p.50 / Chapter 3.5 --- Factorization over algebraic extension fields --- p.55 / Chapter 3.5.1 --- Reduction of the problem to the ground field --- p.55 / Chapter 3.5.2 --- Computation of primitive elements for multiple field extensions --- p.58 / Chapter 4 --- Soicher-McKay's Method --- p.60 / Chapter 4.1 --- "Overview, Restrictions and Background" --- p.60 / Chapter 4.2 --- Determining cycle types in GalQ(f) --- p.62 / Chapter 4.3 --- Absolute Resolvents --- p.64 / Chapter 4.3.1 --- Construction of resolvent --- p.64 / Chapter 4.3.2 --- Complete Factorization of Resolvent --- p.65 / Chapter 4.4 --- Linear Resolvent Polynomials --- p.67 / Chapter 4.4.1 --- r-sets and r-sequences --- p.67 / Chapter 4.4.2 --- Data: Orbit-length Partitions --- p.68 / Chapter 4.4.3 --- Constructing Linear Resolvents Symbolically --- p.70 / Chapter 4.4.4 --- Examples --- p.72 / Chapter 4.5 --- Further techniques --- p.72 / Chapter 4.5.1 --- Quadratic Resolvents --- p.73 / Chapter 4.5.2 --- Factorization over Q(diac(f)) --- p.73 / Chapter 4.6 --- Application to the Inverse Galois Problem --- p.74 / Chapter 4.7 --- Comment --- p.77 / Chapter A --- Demonstration of the MAPLE program --- p.78 / Chapter B --- Avenues for Further Exploration --- p.84 / Chapter B.1 --- Computational Galois Theory --- p.84 / Chapter B.2 --- Notes on SAC´ؤSymbolic and Algebraic Computation --- p.88 / Bibliography --- p.97

This thesis focuses on a class of Galois field used to achieve fast finite field arithmetic which we call Optimal Extension Fields (OEFs), first introduced in cite{baileypaar98}. We extend this work by presenting an adaptation of Itoh and Tsujii's algorithm for finite field inversion applied to OEFs. In particular, we use the facts that the action of the Frobenius map in $GF(p^m)$ can be computed with only $m-1$ subfield multiplications and that inverses in $GF(p)$ may be computed cheaply using known techniques. As a result, we show that one extension field inversion can be computed with a logarithmic number of extension field multiplications. In addition, we provide new variants of the Karatsuba-Ofman algorithm for extension field multiplication which give a performance increase. Further, we provide an OEF construction algorithm together with tables of Type I and Type II OEFs along with statistics on the number of pseudo-Mersenne primes and OEFs. We apply this new work to provide implementation results for elliptic curve cryptosystems on both DEC Alpha workstations and Pentium-class PCs. These results show that OEFs when used with our new inversion and multiplication algorithms provide a substantial performance increase over other reported methods.

The concept of Hopf-Galois extensions was introduced by S. Chase and M. Sweedler in 1969 and provides a generalisation of classical Galois theory. Later, Hopf-Galois theory for separable extensions of fields was studied by C. Greither and B. Pareigis. They showed how to recast the problem of classifying all Hopf-Galois structures on a finite separable extension of fields as a problem in group theory. Many major advances relating to the classification of Hopf-Galois structures were made by N. Byott, S. Carnahan, L. Childs, and T. Kohl. On the other hand, and seemingly unrelated to Hopf-Galois theory, in 1992 V. Drinfeld formulated a number of problems in quantum group theory. In particular, he suggested considering set-theoretic solutions of the Yang-Baxter equation. Later, W. Rump introduced braces as a tool to study non-degenerate involutive set-theoretic solutions, and through the efforts of D. Bachiller, F. Ced'o, E. Jespers, and J. Okni'nski the classification of these solutions was reduced to that of braces. Recently, skew braces were introduced by L. Guarnieri and L. Vendramin in order to study the non-degenerate (not necessarily involutive) set-theoretic solutions. Additionally, a fruitful discovery, initially noticed by D. Bachiller, revealed a connection between Hopf-Galois theory and skew braces, which linked the classification of Hopf-Galois structures to that of skew braces. Currently, the classification of Hopf-Galois structures and skew braces of a given order remains among important topics of research. In this thesis, as our main results, we determine all Hopf-Galois structures on Galois extensions of fields of degree p^3, and at the same time we provide a complete classification of all skew braces of order p^3, for a prime number p. These findings hence offer applications to Galois module theory in number theory on the one hand, and to the study of the solutions of the quantum Yang-Baxter equation in mathematical physics on the other hand.

No description available.

No description available.

Η παρούσα διπλωματική προτείνει μια hardware υλοποίηση για κρυπτογράφηση μηνυμάτων βασισμένη στο πρότυπο ασφαλείας Galois/Counter Mode (GCM). O αλγόριθμος κρυπτογράφησης Galois/Counter Mode (GCM) εκδόθηκε από τον οργανισμό National Institute of Standards and Technology (NIST) τον Νοέμβριο του 2007. Σε συνεργασία με τον μηχανισμό πιστοποίησης μηνυμάτων, υλοποιείται το συνολικό πρότυπο GCM για online λειτουργία. Στο Κεφάλαιο 1, αρχικά γίνεται μια σύντομη ιστορική αναδρομή στον τομέα της κρυπτογραφίας. Στην συνέχεια παρουσιάζονται οι λόγοι που οδήγησαν στην δημιουργία αυτού του προτύπου ασφαλείας. Ακολουθεί μια σύντομη εισαγωγή στον GCM και στους τρόπους με τους οποίος αυτός δουλεύει. Στο τέλος του κεφαλαίου αναφέρονται οι πρακτικές εφαρμογές που έχει η χρήση του G. Στο Κεφάλαιο 2, αρχικά αναφέρονται οι συμβολισμοί και οι βασικές έννοιες που χρησιμοποιούνται στην διπλωματική. Στην συνέχεια, δίνονται συνοπτικές πληροφορίες για το μαθηματικό υπόβαθρο που είναι απαραίτητο για την κατανόηση των εσωτερικών μηχανισμών του GCM. Ακολουθεί η ανάλυση των μαθηματικών συνιστωσών του GCM. Επίσης, παρουσιάζεται το υπόβαθρο των τρόπων λειτουργίας (mode of operation) που υιοθετούνται στον GCM. Τέλος, δίνονται συνοπτικά βασικές πληροφορίες της FPGA πλατφόρμας, Στο Κεφάλαιο 3, γίνεται μια ολοκληρωμένη ανάλυση και μελέτη του Advanced Encryption Standard (AES) και πιο συγκεκριμένα της forward cipher function με υποστηριζόμενο κλειδί 128 bit, καθώς αυτή η διεργασία αποτελεί τον βασικό συμμετρικού κλειδιού block cipher που χρησιμοποιείται στον GCM. Στο Κεφάλαιο 4, πραγματοποιείται η ανάλυση του προτύπου GCM βασισμένη στο τέταρτο recommendation του NIST. Παρουσιάζονται όλοι οι επιμέρους αλγόριθμοι που χρησιμοποιούνται καθώς και ο τρόπος με τον οποίον αυτοί αλληλεπιδρούν και συνεργάζονται για την δημιουργία του GCM αλγορίθμου. Στο τέλος του κεφαλαίου, αναφέρονται οι απαιτήσεις για key και IV που πρέπει να ικανοποιούνται για να θεωρείται ο αλγόριθμος κρυπτογραφικά ισχυρός. Στο Κεφάλαιο 5, αρχικά γίνεται μια top down ανάλυση του GCM. Την ανάλυση αυτή συμπληρώνει η δεύτερη ενότητα στην οποία παρουσιάζεται και αναλύεται η προτεινόμενη αρχιτεκτονική για την hardware υλοποίηση. Στην συνέχεια, δίνεται ο σχεδιασμός των βασικών δομικών στοιχείων του GCM. Στην τελευταία ενότητα παρουσιάζεται η συνολική αρχιτεκτονική του GCM με σκοπό την υλοποίηση για high speed απαιτήσεις. Στο Κεφάλαιο 6, δίνεται μια συνοπτική περιγραφή στα γενικότερα θέματα μια γλώσσας περιγραφής υλικού, και των εργαλείων εξομοίωσης και σύνθεσης. Στο Κεφάλαιο 7, δίνονται τα αποτέλεσμα που προέκυψαν από την εξομοίωση του VHDL κώδικα. Ακολουθούν τα αποτελέσματα της σύνθεσης από δύο διαφορετικές FPGA τεχνολογίες. Στη συνέχεια γίνεται εισαγωγή στον τρόπο με τον οποίο ο μηχανισμός πιστοποίησης και κρυπτογράφησης μηνυμάτων συνεργάζονται για την υλοποίηση του GCM και δίνεται ο τρόπος λειτουργίας του GCM μηχανισμού που υλοποιήθηκε. Ακολουθούν τα αποτελέσματα της εξομοίωσης και σύνθεσης σε δύο διαφορετικές τεχνολογίες καθώς και μια σύγκριση μεταξύ των δύο τεχνολογιών που χρησιμοποιήθηκαν για την σύνθεση. Στο Παράρτημα Α παρουσιάζεται ο τρόπος χρήσης του Xilinx ISE που χρησιμοποιήθηκε για την σύνθεση του VHDL κώδικα για την τεχνολογία Virtex-V. / This thesis proposes a hardware implementation in high speed data rates for encrypting messages based on security standard Galois / Counter Mode (GCM). The encryption algorithm Galois / Counter Mode (GCM) was adopted by the National Institute of Standards and Technology (NIST) in November 2007. In cooperation with the authentication message mechanism, the standard for online GCM mode is fully implemented. The Galois/Counter Mode of Operation (GCM) simultaneously authenticates and encrypts data at speeds that were not previously possible for both software and hardware implementations. In GCM, data integrity is achieved by chaining Galois field multiplication operations while a symmetric key block cipher such as the Advanced Encryption Standard (AES), is used to meet goals of confidentiality.

No description available.

No description available.