Ανασκόπηση του κανόνα ολοκλήρωσης του gauss. Αναπαραστάσεις και εκτιμήσεις του υπολοίπου του. Τέλος περί της σύγκλισης του κανόνα ολοκλήρωσης. / A survey on gaussian quqdrature rules. Representation and estimates of its remainder. And about its convergence.

Made available in DSpace on 2014-06-12T17:35:03Z (GMT). No. of bitstreams: 2 arquivo3630_1.pdf: 2374215 bytes, checksum: 64f9cdc75ffa8167dff3140c0b1e48a2 (MD5) license.txt: 1748 bytes, checksum: 8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33 (MD5) Previous issue date: 2009 / Petróleo Brasileiro S/A / Processos semi-Markovianos (SMP) contínuos no tempo são importantes ferramentas estocásticas para modelagem de métricas de confiabilidade ao longo do tempo para sistemas para os quais o comportamento futuro depende dos estados presente e seguinte assim como do tempo de residência. O método clássico para resolver as probabilidades intervalares de transição de SMP consiste em aplicar diretamente um método geral de quadratura às equações integrais. Entretanto, esta técnica possui um esforço computacional considerável, isto é, N2 equações integrais conjugadas devem ser resolvidas, onde N é o número de estados. Portanto, esta tese propõe tratamentos matemáticos e numéricos mais eficientes para SMP. O primeiro método, o qual é denominado 2N-, é baseado em densidades de frequência de transição e métodos gerais de quadratura. Basicamente, o método 2N consiste em resolver N equações integrais conjugadas e N integrais diretas. Outro método proposto, chamado Lap-, é baseado na aplicação de transformadas de Laplace as quais são invertidas por um método de quadratura Gaussiana, chamado Gauss Legendre, para obter as probabilidades de estado no domínio do tempo. Formulação matemática destes métodos assim como descrições de seus tratamentos numéricos, incluindo questões de exatidão e tempo para convergência, são desenvolvidas e fornecidas com detalhes. A efetividade dos novos desenvolvimentos 2N- e Lap- serão comparados contra os resultados fornecidos pelo método clássico por meio de exemplos no contexto de engenharia de confiabilidade. A partir destes exemplos, é mostrado que os métodos 2N- e Lap- são significantemente menos custosos e têm acurácia comparável ao método clássico

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<p>Numerical methods such as Monte Carlo method (MCM), finite difference method (FDM) and finite element method (FEM) have been successfully implemented to solve financial partial differential equations (PDEs). Sophisticated computational algorithms are strongly desired to further improve accuracy and efficiency.</p><p>The relatively new spectral element method (SEM) combines the exponential convergence of spectral method and the geometric flexibility of FEM. This dissertation carefully investigates SEM on the pricing of European options and their Greeks (Delta, Gamma and Theta). The essential techniques, Gauss quadrature rules, are thoroughly discussed and developed. The spectral element method and its error analysis are briefly introduced first and expanded in details afterwards.</p><p>Multi-element spectral element method (ME-SEM) for the Black-Scholes PDE is derived on European put options with and without dividend and on a condor option with a more complicated payoff. Under the same Crank-Nicolson approach for the time integration, the SEM shows significant accuracy increase and time cost reduction over the FDM. A novel discontinuous payoff spectral element method (DP-SEM) is invented and numerically validated on a European binary put option. The SEM is also applied to the constant elasticity of variance (CEV) model and verified with the MCM and the valuation formula. The Stochastic Alpha Beta Rho (SABR) model is solved with multi-dimensional spectral element method (MD-SEM) on a European put option. Error convergence for option prices and Greeks with respect to the number of grid points and the time step is analyzed and illustrated.</p> / Dissertation

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