Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Baseados no recente trabalho de Andrews e Bryan [2], apresentamos uma nova demonstraÃÃo do famoso teorema de Grayson [4], que descreve o comportamento assimptÃtico de curvas planas fechadas e simples evoluindo pelo fluxo da curvatura. A demonstraÃÃo representa uma simplificaÃÃo notÃvel em relaÃÃo aos mÃtodos anteriores e consiste em normalizar o fluxo de forma a preservar o comprimento (igual a 2pi). Feito isto, estabelece-se uma desigualdade isoperimÃtrica que controla inferiormente o comprimento de cordas em termos do comprimento dos arcos correspondentes e do tempo decorrido. Essa estimativa à precisa o suficiente para permitir controlar uniformemente a curvatura ao longo do tempo, o que implica, sem muitas dificuldades, que a curvatura do fluxo normalizado converge uniformemente na topologia C∞ para a funÃÃo identicamente igual a 1. / Based on the recent work by Andrews and Bryan [2] we present a new proof of the celebrated Grayson's theorem [4], which describes the asymptotic behavior of simple curves evolving by the curve shortening ow. The proof represents a remarkable simplication over the previous methods and consist of normalizing the ow in order to preserve the length (equal to 2pi). It is then established an isoperimetric inequality which provides a lower bound for the length of chords in terms of the corresponding arcs and elapsed time. This estimate is suciently strong to uniformly control the curvature in time,implying, without many difficulties, that the curvature of the normalized ow converges in the C∞ topology to the function identically equal to 1.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Sejam Mn uma variedade Riemanniana fechada orientada e x : Mn → Sn+1 С Rn+2 uma imersÃo mÃnima de Mn na esfera unitÃria Euclidiana. Sabemos, pelo Teorema de Takahashi que Δx + nx=0, com x(p)= (x1(p),..., xn+2(p))e Δx(p)= Δx (Δx1(p), ..., Δxn+2 onde Δ denota o Laplaciano em M na mÃtrica induzida por x, veja [11]. Segue que n à uma cota superior para o primeiro autovalor λ1 de Δ. Quando x à um mergulho, em 1982 foi conjecturado por Yau em [12] que primeiro autovalor do Laplaciano, denotado por λ1, à igual a n. O primeiro resultado global na direÃÃo de tal problema foi obtido por Choi e Wang em [4] onde foi provado que λ1 ≥ n/2. No artigo [2] Barros e Bessa mostraram que λ1 ≥ n/2 + С(Mn,x), onde С(Mn,x) à uma constante positiva que depende de Mn e x. O objetivo deste trabalho à apresentar algumas condiÃÃes para o primeiro autovalor do Laplaciano seja igual a n, em outras palavras, a conjectura de Yau à verdadeira sob estas condiÃÃes. / Let M be a closed oriented Riemannian manifold and x : Mn → Sn+1 С Rn+2 a minimal immersion of Mn in the Euclidean unit sphere. We know by Takahashiâs theorem Δx + nx=0, where x (p) = (x1 (p ),..., xn +2 (p)) and Δx (p) = (Δx1 (p), ... , Δxn +2 (p)) where Δ denotes the Laplacian on M the induced metric for x, see [11]. It follows that n is an upper bound for the first eigenvalue λ1 of Δ. When x is a embedded in 1982 was conjectured by Yau in [12] that the first eigenvalue of the Laplacian, denoted by λ1, is equal n. The first global result in the direction of such problem was obtained by Choi and Wang in cite Choi where it was proved that λ1 ≥ n / 2. In the article [2] Barros and Bessa showed that λ1 ≥ n / 2 + С (Mn, x), where С (Mn, x) is a positive constant which depends on Mn and x. The aim of this work is to present some conditions for the first eigenvalue of the Laplacian is equal to n, in other words, Yau's conjecture is true under these conditions.

Tese (livre-docencia) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Ciencias de Computação / Made available in DSpace on 2018-07-24T21:38:18Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Kiihl_JoseCarlosdeSouza_LD.pdf: 1812054 bytes, checksum: 36f8bce70cbc14c195fc168da2b4f7b2 (MD5) Previous issue date: 1985 / Resumo: Não informado / Abstract: Not informed / Tese (livre-docencia) - Univer / Livre-Docente em Matematica

Orientador: Francesco Mercuri / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-07-14T03:28:36Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Baldin_YurikoYamamoto_M.pdf: 1075429 bytes, checksum: 415e7b69204e93019e8d49cba92da223 (MD5) Previous issue date: 1984 / Resumo: Não informado. / Abstract: Not informed. / Mestrado / Doutor em Matemática

Orientador : Lafayette de Moraes / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Educação / Made available in DSpace on 2018-07-14T03:53:40Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Pavanello_ReginaMaria_M.pdf: 10248438 bytes, checksum: 9ddf55ea73753c976e6661e5348b371c (MD5) Previous issue date: 1989 / Resumo: A análise histórica do que aconteceu, no Brasil e no mundo, com o ensino em geral torna evidente que a luta pelo conhecimento pode ser vista corno urna luta pelo poder. As decisões relativas ao ensino não podem, pois, serem vistas corno desvinculadas do contexto histórico, polÍtico e social. o ensino de certas disciplinas, importantes para a formação dos indivíduos, foi negligenciado, e não por acaso. Este trabalho mostra corno este fato se deu com re lação ao ensino da geometria / Abstract: Not informed. / Mestrado / Metodologia do Ensino / Mestre em Educação

Orientador : Antonio Conde / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-07-14T15:41:24Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Costa_SueliIreneRodrigues_D.pdf: 1632404 bytes, checksum: 748ac6044c182879689d7c44dd84c439 (MD5) Previous issue date: 1982 / Resumo: Não informado / Abstract: Not informed / Doutorado / Doutor em Matemática

SAMPAIO, José Edson. A aplicação de Gauss de superfícies no espaço de Heisenberg. 2012. 61 f. Dissertação (Mestrado em Matemática)- Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2012. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2012-11-27T14:07:20Z No. of bitstreams: 1 2012_dis_jesampaio.pdf: 431441 bytes, checksum: ff722ca4b06bbf9572d54890b7ca80c1 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2012-11-27T14:08:40Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2012_dis_jesampaio.pdf: 431441 bytes, checksum: ff722ca4b06bbf9572d54890b7ca80c1 (MD5) / Made available in DSpace on 2012-11-27T14:08:40Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2012_dis_jesampaio.pdf: 431441 bytes, checksum: ff722ca4b06bbf9572d54890b7ca80c1 (MD5) Previous issue date: 2012 / In this report, we study minimal surfaces of the tridimensional Heisenberg group, as well as their Gauss maps. We begin with a short presentation of the geometry of the Heisenberg group. Then, we show that, in this space: the only surfaces with constant Gauss map are the vertical planes; there are no totally umbilical surfaces nor compact minimal surfaces; every minimal surface is, necessarily, stable. We also show that the only vertical minimal surfaces are vertical planes. Finally, we present a classification of the surfaces with Gauss map of constant rank, equal to zero or one. / Nesta dissertaçãao, estudamos as superfícies mínimas do grupo de Heisenberg tridimensional, bem como a aplicação de Gauss destas superfícies. Inicialmente é feito uma breve exposição sobre a geometria do grupo de Heisenberg. Então, mostramos que, em tal espaço: as únicas superfícies com aplicação de Gauss constante são os planos verticais; não existem superfícies totalmente umbílicas nem superfícies mínimas compactas; toda superfície mínima é, necessariamente, estável. Mostramos, ainda, que as únicas superfícies mínimas verticais são os planos verticais. Por fim, apresentamos uma classificação das superfícies com aplicação de Gauss de posto constante, igual a zero ou um.

FERNANDES, Francisco Yuri Alves. Métricas m-quasi-Einstein generalizadas em variedades compactas. 2012. 48 f. Dissertação (Mestrado em Matemática)- Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2012. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2012-11-27T15:45:22Z No. of bitstreams: 1 2012_dis_fyafernandes.pdf: 310247 bytes, checksum: d8bdd3b9d1ade3308fe549286599ec47 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2012-11-27T15:46:26Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2012_dis_fyafernandes.pdf: 310247 bytes, checksum: d8bdd3b9d1ade3308fe549286599ec47 (MD5) / Made available in DSpace on 2012-11-27T15:46:26Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2012_dis_fyafernandes.pdf: 310247 bytes, checksum: d8bdd3b9d1ade3308fe549286599ec47 (MD5) Previous issue date: 2012 / The main objective of this paper is to present a generalization of generalized quasi-Einstein metrics to any smooth vector fields. Moreover, we will present some integral formulae for quasi-Einstein metrics defined in a compact manifolds. / O principal objetivo deste trabalho é apresentar uma generalização das métricas quasi-Einstein generalizadas para campos de vetores suaves quaisquer. Além disso, serão apresentadas algumas fórmulas integrais para métricas quasi-Einstein gradiente generalizadas definidas em uma variedade compacta.

VIANA, Emanuel Mendonça. Hipersuperfícies cujas geodésicas tangentes não cobrem o espaço ambiente. 2012. 51 f. Dissertação (Mestrado em Matemática)- Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2012. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2012-11-27T16:30:47Z No. of bitstreams: 1 2012_dis_emviana.pdf: 510115 bytes, checksum: 2596d72d4ce8490b044991c89f854ffb (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2012-11-28T15:39:57Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2012_dis_emviana.pdf: 510115 bytes, checksum: 2596d72d4ce8490b044991c89f854ffb (MD5) / Made available in DSpace on 2012-11-28T15:39:57Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2012_dis_emviana.pdf: 510115 bytes, checksum: 2596d72d4ce8490b044991c89f854ffb (MD5) Previous issue date: 2012 / Let I : ∑n → Mn+1 be an immersion of an n-dimensional connected manifold ∑ in an (n + 1)-dimensional connected completed Riemannian manifold M without conjugate points. Assume that the union of geodesics tangent to I does not cover M. Under these hypotheses we have two results: 1. M is simply connected provided that the universal covering of ∑ is compact. 2. If I is a proper embedding and M is simply connected, then I(∑) is a normal graph over an open subset os a geodesic sphere. Furthermore, there exists an open star-shaped set A M such that A is a manifold with the boundary I(∑). / Seja I : ∑n → Mn+1 uma imersão de uma variedade conexa n-dimensional ∑ em uma variedade Riemanniana completa conexa (n + 1)-dimensional M sem pontos conjugados. Suponha que a união das geodésicas tangentes a I não cobrem M. Sobre essa hipótese temos dois resultados: 1. Se a cobertura universal de ∑ é compacta, então M é simplesmente conexa. 2. Se I é um mergulho próprio e M é simplesmente conexa, então I(∑) é um gráfico normal sobre um subconjunto aberto de uma esfera geodésica. Além disso, existe um conjunto estrelado aberto A está contido em M tal que A é uma variedade com fronteira I(∑).

GOMES, José Nazareno Vieira. Rigidez de superfícies de contato e caracterização de variedades riemannianas munidas de um campo conforme ou de alguma métrica especial. 2012. 91 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2012. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2012-11-28T16:00:28Z No. of bitstreams: 1 2012_tese_jnvgomes.pdf: 659561 bytes, checksum: c4a8b43df34416baf47c3ef2fbc6780c (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2012-11-28T16:01:17Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2012_tese_jnvgomes.pdf: 659561 bytes, checksum: c4a8b43df34416baf47c3ef2fbc6780c (MD5) / Made available in DSpace on 2012-11-28T16:01:17Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2012_tese_jnvgomes.pdf: 659561 bytes, checksum: c4a8b43df34416baf47c3ef2fbc6780c (MD5) Previous issue date: 2012 / This thesis is composed of four distinct parts. In the first part, we shall give a new characterization of the Euclidean sphere as the only compact Riemannian manifold with constant scalar curvature carrying a conformal vector eld non-trivial which is also Ricci conformal. In the second part, we shall prove some properties of almost Ricci solitons, which allow us to establish conditions for rigidity of these objects, as well as characterize the structures of gradient almost Ricci soliton in Euclidean sphere. Isometric immersions also will be considered, we shall classify almost Ricci solitons immersed in space forms, through algebraic condition on soliton function. Furthermore, we characterize under a condition of the umbilicity operator, n-dimensional hypersurfaces in a space form with constant mean curvature, admitting two distinct principal curvatures with multiplicities p and n - p. In the third part, we prove a result of rigidity and some integral formulae for a compact generalized m-quasi-Einstein metric. In the last part, we present a relation between the Gaussian curvature and the contact angle of surfaces immersed in Euclidean three-dimensional sphere, which allows us to conclude that such a surface is at provided its contact angle is constant. Moreover, we deduce that Clifford tori are the unique compact surfaces with constant mean curvature having such property. / Esta tese está composta de quatro partes distintas. Na primeira parte, vamos dar uma nova caracterização da esfera euclidiana como a única variedade Riemanniana compacta com curvatura escalar constante e admitindo um campo de vetores conforme não trivial que é também Ricci conforme. Na segunda parte, provaremos algumas propriedades dos quase sólitons de Ricci, as quais permitem estabelecer condições de rigidez desses objetos, bem como caracterizar as estruturas de quase sólitons de Ricci gradiente na esfera euclidiana. Imersões isométricas também serão consideradas; classificaremos os quase sólitons de Ricci imersos em formas espaciais, através de uma condição algébrica sobre a função sóliton. Além disso, vamos caracterizar, através de uma condição sobre o operador de umbilicidade, as hipersuperfícies n-dimensionais de uma forma espacial, com curvatura média constante, tendo duas curvaturas principais distintas e com multiplicidades p e n - p. Na terceira parte, provaremos um resultado de rigidez e algumas fórmulas integrais para uma métrica m-quasi-Einstein generalizada compacta. Na última parte, vamos apresentar uma relação entre a curvatura gaussiana e o ângulo de contato de superfícies imersas na esfera euclidiana tridimensional,a qual permite concluir que a superfície é plana, se o ângulo de contato for constante. Além disso, deduziremos que o toro de Clifford é a única superfície compacta com curvatura média constante tendo tal propriedade.