Entenderemos por anillos "blowup" cierto tipo de anillos graduados asociados a filtraciones de un anillo conmutativo A. Los anillos blowup aparecen a menudo en Algebra Conmutativa y Geometría Algebraica. Expondremos a continuación algunas de las aplicaciones de estos anillos en diversos problemas y que han motivado el estudio de sus propiedades. En el estudio de singularidades aparecen también anillos "blowup" asociados a filtraciones no ádicas. Otra de las aplicaciones de los anillos blowup es la construcción de contraejemplos al Problema 14 de Hilbert. Además, buenas propiedades aritméticas de los anillos "blowup" asociados a un ideal nos aseguran un buen comportamiento de sus funciones de Hilbert y viceversa.Lo anterior supone una pequeña ilustración de las múltiples ocasiones en que aparecen los anillos "blowup" y de porqué es interesante el estudio de sus propiedades aritméticas.En esta memoria estudiaremos principalmente la profundidad, y en particular la propiedad Cohen-Macaulay de los anillos y módulos "blowup" noetherianos asociados a filtraciones generales de un anillo local (A, m) de dimensión d. Diversos autores se han dedicado al estudio de tal propiedad en el caso de filtraciones ádicas en los últimos años el número de trabajos en esta dirección ha sido muy alto. Podemos destacar esencialmente dos tipos de resultados. Por una parte, los que relacionan la propiedad Cohen-Macaulay de A, GA{I) y RA{I) y, por otra, resultados positivos acerca de la propiedad Cohen-Macaulay de los mismos. Un tercer tipo de resultados sería el estudio de la propiedad Cohen-Macaulay de Fm(/), pero los resultados conocidos en este sentido son escasos.

Las variedades de Prym forman una clase de variedades abelianas principalmente polarizadas más general que las jacobianas. Se definen asociando a un morfismo no ramificado de grado 2 entre curvas algebraicas irreducibles y lisas la componente neutra del núcleo de la aplicación norma inducida entre las respectivas jacobianas. Llamamos aplicación de Prym a la asignación correspondiente. Análogamente al caso de las jacobianas el problema de Torelli cuestiona si la variedad de Prym determina el recubrimiento, es decir si la aplicación de Prym es inyectiva. Es conocido que para un recubrimiento general en el que la curva imagen tiene género mayor o igual a 7 la respuesta es afirmativa. Por otro lado, una construcción debida a Donagi y llamada construcción tetragonal proporciona ejemplos de elementos diferentes con la misma variedad de Prym asociada y género arbitrario. Es decir, la aplicación de Prym no es inyectiva en ningún caso. La conjetura tetragonal afirma que éstos son los únicos ejemplos de no inyectividad.En esta tesis se estudia la fibra de la aplicación de Prym para un recubrimiento doble no ramificado convexo de una curva bielíptica general (Una curva bielíptica es aquella que admite un morfismo de grado 2 sobre una curva elíptica). Se demuestra que en este contexto existe una construcción diferente de la tetragonal que también proporciona ejemplos de no inyectividad. A continuación se prueba que ambas construcciones (la tetragonal y la obtenida) explican en su totalidad la fibra que se desea estudiar. En particular, se obtiene un contraejemplo a la conjetura tetragonal y se prueba que es el único contraejemplo en el contexto bielíptico general