Neste trabalho, apresentamos um algoritmo que decompõe o espectro de uma matriz associada a um grafo em uma união de espectros de matrizes de ordem menor, se o grafo possui certas simetrias. Este método unifica técnicas usadas por vários autores. Para a execução do algoritmo, são introduzidos os grafos com pesos generalizados (GWG), estruturas que representam matrizes simétricas com componentes reais arbitrárias. Como aplicação direta do algoritmo, obtemos o espectro das matrizes de adjacências, laplaciana, laplaciana sem sinal e laplaciana normalizada de grafos threshold, árvores de Bethe generalizadas e grafos multi-leque. Uma segunda aplicação do algoritmo consiste na análise de uma operação que adiciona arestas em partes simétricas de um grafo de modo que o espectro laplaciano do grafo se mantém controlado. Como consequência, é possível montar uma família, da ordem de n/2 elementos, formada por grafos unicíclicos com n vértices que não são coespectrais, mas que possuem a mesma energia laplaciana. O terceiro problema abordado consiste no ordenamento de árvores de acordo com sua energia laplaciana. Utilizando uma nova cota superior para a soma dos maiores autovalores laplacianos, encontramos o conjunto de f(n) árvores com n vértices com maior energia laplaciana, onde f(n) é aproximadamente p n. / Is this work, we present an algorithm that partitions the spectrum of a matrix associated to a graph into a union of spectra of smaller matrices, provided that the graph has some special symmetries. This method uni es techniques used by several authors. To execute the algorithm, we introduce generalized weighted graphs (GWG), structures that represent symmetric matrices with arbitrary real components. As an application of the algorithm, we obtain the spectrum of the adjacency, Laplacian, signless Laplacian and normalized Laplacian matrices of threshold graphs, generalized Bethe trees and multi-fan graphs. A second application of the algorithm consists of the analysis of an operation that adds edges to symmetric parts of the graph in such a way that the change in the Laplacian spectrum of the graph is controlled. As a consequence, it is possible to build a family of n-vertex noncoespectral unicyclic graphs of cardinality about n/2 , all of them with the same Laplacian energy. The third problem is to order trees with respect to their Laplacian energy. Using a new upper bound on the sum of the largest Laplacian eigenvalues, we are able to nd the family of f(n) trees with n vertices with the largest Laplacian energy, where f(n) is approximately p n.

A teoria espectral de grafos visa descobrir propriedades de um grafo G por meio da análise do espectro de uma matriz associada ao grafo. Neste trabalho, estudamos a matriz de adjacência A, a matriz laplaciana L, a matriz laplaciana normalizada L e a matriz laplaciana sem sinal Q e para essas matrizes apresentamos resultados de entrelaçamento de autovalores associados com as operações de deleção de uma aresta e de deleção de um vértice. Além disso, mostramos resultados de entrelaçamento de autovalores associados com a operação de contração de dois vértices para a matriz de adjacência A e para matriz laplaciana normalizada L. Como contribuição original construímos resultados de entrelaçamento de autovalores associados com a operação de subdivisão de uma aresta para as matrizes A, L, L e Q, e associados com a operação de contração de vértices para L e Q. / The spectral graph theory aims to discover properties of a graph G through the analysis of the spectrum of a matrix associated with the graph. In this work, we study the adjacency matrix A, the standard Laplacian matrix L, the normalized Laplacian matrix L and the signless Laplacian matrix Q and for these matrices we present eigenvalues interlacing results associated with the operations of deleting an edge and deleting a vertex. Moreover, we show eigenvalues interlacing results associated with the vertex contraction operation for the adjacency matrix A and the normalized laplacian matrix L. As original contribution, we prove some results about eigenvalues interlacing associated with the operation of subdivision of an edge for the matrices A, L, L and Q, and associated with the vertex contraction operation for L and Q.

A teoria espectral de grafos visa descobrir propriedades de um grafo G por meio da análise do espectro de uma matriz associada ao grafo. Neste trabalho, estudamos a matriz de adjacência A, a matriz laplaciana L, a matriz laplaciana normalizada L e a matriz laplaciana sem sinal Q e para essas matrizes apresentamos resultados de entrelaçamento de autovalores associados com as operações de deleção de uma aresta e de deleção de um vértice. Além disso, mostramos resultados de entrelaçamento de autovalores associados com a operação de contração de dois vértices para a matriz de adjacência A e para matriz laplaciana normalizada L. Como contribuição original construímos resultados de entrelaçamento de autovalores associados com a operação de subdivisão de uma aresta para as matrizes A, L, L e Q, e associados com a operação de contração de vértices para L e Q. / The spectral graph theory aims to discover properties of a graph G through the analysis of the spectrum of a matrix associated with the graph. In this work, we study the adjacency matrix A, the standard Laplacian matrix L, the normalized Laplacian matrix L and the signless Laplacian matrix Q and for these matrices we present eigenvalues interlacing results associated with the operations of deleting an edge and deleting a vertex. Moreover, we show eigenvalues interlacing results associated with the vertex contraction operation for the adjacency matrix A and the normalized laplacian matrix L. As original contribution, we prove some results about eigenvalues interlacing associated with the operation of subdivision of an edge for the matrices A, L, L and Q, and associated with the vertex contraction operation for L and Q.

Neste trabalho, apresentamos um algoritmo que decompõe o espectro de uma matriz associada a um grafo em uma união de espectros de matrizes de ordem menor, se o grafo possui certas simetrias. Este método unifica técnicas usadas por vários autores. Para a execução do algoritmo, são introduzidos os grafos com pesos generalizados (GWG), estruturas que representam matrizes simétricas com componentes reais arbitrárias. Como aplicação direta do algoritmo, obtemos o espectro das matrizes de adjacências, laplaciana, laplaciana sem sinal e laplaciana normalizada de grafos threshold, árvores de Bethe generalizadas e grafos multi-leque. Uma segunda aplicação do algoritmo consiste na análise de uma operação que adiciona arestas em partes simétricas de um grafo de modo que o espectro laplaciano do grafo se mantém controlado. Como consequência, é possível montar uma família, da ordem de n/2 elementos, formada por grafos unicíclicos com n vértices que não são coespectrais, mas que possuem a mesma energia laplaciana. O terceiro problema abordado consiste no ordenamento de árvores de acordo com sua energia laplaciana. Utilizando uma nova cota superior para a soma dos maiores autovalores laplacianos, encontramos o conjunto de f(n) árvores com n vértices com maior energia laplaciana, onde f(n) é aproximadamente p n. / Is this work, we present an algorithm that partitions the spectrum of a matrix associated to a graph into a union of spectra of smaller matrices, provided that the graph has some special symmetries. This method uni es techniques used by several authors. To execute the algorithm, we introduce generalized weighted graphs (GWG), structures that represent symmetric matrices with arbitrary real components. As an application of the algorithm, we obtain the spectrum of the adjacency, Laplacian, signless Laplacian and normalized Laplacian matrices of threshold graphs, generalized Bethe trees and multi-fan graphs. A second application of the algorithm consists of the analysis of an operation that adds edges to symmetric parts of the graph in such a way that the change in the Laplacian spectrum of the graph is controlled. As a consequence, it is possible to build a family of n-vertex noncoespectral unicyclic graphs of cardinality about n/2 , all of them with the same Laplacian energy. The third problem is to order trees with respect to their Laplacian energy. Using a new upper bound on the sum of the largest Laplacian eigenvalues, we are able to nd the family of f(n) trees with n vertices with the largest Laplacian energy, where f(n) is approximately p n.

O objetivo deste trabalho é introduzir a noção de grafos familiarizando os alunos com um conceito pouco estudado no ensino fundamental e médio. Para isso, foram estudados algumas situações práticas e a resolução por meio de grafos. A apresentação da teoria de grafos é feita utilizando alguns dos problemas clássicos (Pontes de Königsberg e o Problema do caixeiro-viajante) que originaram a teoria tal como é conhecida nos dias de hoje. / The aim of this work is to introduce the notion of graphs familiarizing students with a little concept studied in elementary and middle schools. For this, some practical situations were studied and the resolution through graphs. The presentation of the theory of graphs is done using some of the classic problems (The Königsberg bridge problem and The travelling salesman problem) that originated the theory as it is known today.

ARAÚJO, R. T. Convexidades de caminhos e convexidades geométricas. 2014. 52 f. Dissertação (Mestrado em Ciência da Computação) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2014. / Submitted by Daniel Eduardo Alencar da Silva (dealencar.silva@gmail.com) on 2015-01-23T18:18:58Z No. of bitstreams: 1 2014_dis_rtaraújo.pdf: 997190 bytes, checksum: 1adad553da251fa0f87bb80fbe452db4 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2015-09-23T16:28:22Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_dis_rtaraújo.pdf: 997190 bytes, checksum: 1adad553da251fa0f87bb80fbe452db4 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-09-23T16:28:22Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_dis_rtaraújo.pdf: 997190 bytes, checksum: 1adad553da251fa0f87bb80fbe452db4 (MD5) Previous issue date: 2014 / In this dissertation we present complexity results related to the hull number and the convexity number for P3 convexity. We show that the hull number and the convexity number are NP-hard even for bipartite graphs. Inspired by our research in convexity based on paths, we introduce a new convexity, where we defined as convexity of induced paths of order three or P∗ 3 . We show a relation between the geodetic convexity and the P∗ 3 convexity when the graph is a join of a Km with a non-complete graph. We did research in geometric convexity and from that we characterized graph classes under some convexities such as the star florest in P3 convexity, chordal cographs in P∗ 3 convexity, and the florests in TP convexity. We also demonstrated convexities that are geometric only in specific graph classes such as cographs in P4+-free convexity, F free graphs in F-free convexity and others. Finally, we demonstrated some results of geodesic convexity and P∗ 3 in graphs with few P4’s.

Made available in DSpace on 2016-08-29T15:33:17Z (GMT). No. of bitstreams: 1 tese_5124_.pdf: 897407 bytes, checksum: 1226caa82994051427d1a23316335ede (MD5) Previous issue date: 2012-01-27 / Este trabalho trata da aplicação da autocentralidade na resolução do Problema de Isomorfismo de Grafos. Esta propriedade, retirada da teoria espectral de grafos, foi utilizada por Philippe Santos em [SANTOS 2010] para a proposta de um algoritmo espectral para resolução deste problema. Uma adaptação do método das potências é proposta para o cálculo das autocentralidades produzindo uma versão competitiva do algoritmo espectral proposto em [SANTOS 2010]. Baseado nesta adaptação, é feito um estudo da eficiência da autocentralidade na resolução do Problema de Isomorfismo. Além disso, é Algoritmo de Rotulação Iterativa Baseado em Medidas de Centralidades, que pode ser aplicado a qualquer tipo de grafo, inclusive grafos regulares. Uma bateria de testes computacionais foi realizada para comparar os dois algoritmos propostos com alguns bemconhecidos na literatura, como o Nauty.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Ciência da Computação, 2015. / Submitted by Raquel Viana (raquelviana@bce.unb.br) on 2015-11-03T18:43:12Z No. of bitstreams: 1 2015_GustavoCordeiroGalvãoVanErven.pdf: 2937303 bytes, checksum: afdc1b126b59eacc4b9a3b62bc412d1b (MD5) / Approved for entry into archive by Marília Freitas(marilia@bce.unb.br) on 2015-12-20T16:23:49Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2015_GustavoCordeiroGalvãoVanErven.pdf: 2937303 bytes, checksum: afdc1b126b59eacc4b9a3b62bc412d1b (MD5) / Made available in DSpace on 2015-12-20T16:23:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2015_GustavoCordeiroGalvãoVanErven.pdf: 2937303 bytes, checksum: afdc1b126b59eacc4b9a3b62bc412d1b (MD5) / Os bancos de dados em grafo vêm se tornando populares juntamente com as demais iniciativas NoSQL. Porém, os bancos de dados em grafos não possuem uma notação padrão. Sendo assim, o presente trabalho agrupa diversas notações e propostas de modelagem em grafos, construindo um novo modelo, chamado de Modelo de Dados para Bancos NoSQL Baseados em Grafos (MDG-NoSQL), com recursos para agrupar em uma notação as características dos bancos de dados em grafos. Esse modelo foi validado utilizando a implementação de um banco de dados de vínculos societários de empresas, combinados com os relacionamentos dessas pessoas jurídicas com os processos de compras, também chamadas de licitações, junto ao Governo Federal (Banco de Vínculos Simpli_cado para Licitações e Sociedades). Esse estudo de caso foi direcionado para auxiliar na detecção de fraudes em processos licitatórios que, além de ser diretamente aplicável a vários órgãos de controle, perícia e inteligência em âmbito nacional, permite extrair fundamentos extens íveis a outros problemas com modelagens de vínculos. / Currently, Graph Databases are becoming popular along with other NoSQL initiatives. Thus, researchers and companies have been developing data models to manipulate information as graphs However, there is no standard notation involves several features and structures of the graph databases. This model introduces several notations and concepts for building a new graph data model, called Data Model for NoSQL Graph Databases (GDM-NoSQL). The GDM-NoSQL was veri_ed through a database for investigate relationships between companies and people as well as information about the procurements that these companies participated in with the Federal Government. This database was designed to facilitate the process of searching for frauds and to be used on multiple contexts, i.e. several di_erent national agencies. Finally, the designed model was implemented in both a relational and a graph database in order to validate the hypothesis that writing relationships is simpler and more e_cient in graph models than relational databases.

El presente trabajo presenta una aplicación de la teoría de grafos en la optimización del sistema de transporte y la reducción de costos en la operación logística de acopio de jalapeños en una empresa agroindustrial. AIMSA opera en la sierra y selva central del Perú, en el 2013 y 2014 ha logrado un crecimiento de 20% de crecimiento en ventas de los cuales el jalapeño representa el 50%. Uno de los problemas que se ha identificado es que el acopio de los jalapeños para trasladarse hasta la planta de procesamiento afronta tres problemas principales: el primero que las llegadas no son en horarios regulares, existiendo retrasos de hasta dos días en el cumplimiento del programa semanal, el segundo es que se usaba unidades de transporte sin medir la capacidad contrastado con la cantidad de jalapeño cosechado por el operador productivo (agricultor) y tercero que el recorrido por cada operador productivo no estaba establecido. Partiendo del programa semanal de cosecha se ha agrupado en “clusters” esto nos ha permitido asignar la unidad de transporte con capacidades de acuerdo a los Kg, de cosechas, el procedimiento se ajusta “agrupar primero y rutear después”, luego hicimos el ruteo con la ayuda de Grafos v 1.2.3 teniendo como restricciones la capacidad del vehículo y la oferta de materia prima de cada operador productivo, cabe resaltar que esto cambia de semana en semana de acuerdo a los “clusters” formados, finalmente se realizó el programa de la flota de vehículos. Los resultados obtenidos fueron: 144 rutas con un recorrido total de 5,838 Km. se han acopiado 1,365,379 Kg de Jalapeño utilizando una capacidad de flota de 1,480,595 Kg, con un costo unitario de transporte de S/. 0.159 cada Kg. Finalmente, para validar el método de dos fases realizamos la programación lineal entera y lo corrimos en AMPL encontrando oportunidades aun por mejorar tanto en recorrido y en costos. / Tesis

A Teoria Espectral de Grafos tem como objetivo descobrir propriedades de um grafo G através da análise do espectro de uma matriz associada ao grafo. Nesta dissertação estudamos a matriz de adjacência A(G), a matriz laplaciana L(G) e a matriz laplaciana sem sinal Q(G). Para cada uma dessas matrizes estudamos o comportamento dos autovalores no que diz respeito `a integralidade. Mais especificamente, estudamos os grafos integrais, os grafos Q-integrais e os grafos L-integrais, que são os grafos que têm espectro inteiro em relação `as matrizes A(G), Q(G) e L(G), respectivamente. Estudamos a variação espectral inteira via adição de aresta para a matriz laplaciana. Vimos que se os autovalores da matriz laplaciana variam de maneira inteira, então um dos autovalores aumenta em duas unidades ou dois dos autovalores aumentam em uma unidade cada um. Esses dois tipos de variações são conhecidas como variação espectral inteira em um lugar e dois lugares [26, 33], respectivamente. Essas duas variações foram cruciais para estabelecermos uma estratégia para construção de grafos L-integrais por adição de arestas. Além disso, estudamos os grafos construtivelmente laplaciano integrais [28], que são um subconjunto dos grafos L-integrais. Caracterizamos este subconjunto através dos subgrafos induzidos e mostramos uma técnica alternativa para calcular o seu espectro. Estudamos também algumas famílias com infinitos grafos integrais e grafos Q-integrais construídos através do join de grafos regulares [12, 15, 24]. / The spectral graph theory aims to discover properties of a graph G by analyzing the spectrum of a matrix associated to the graph. In this thesis, we study the adjacency matrix A(G), Laplacian matrix L(G) and the signless Laplacian matrix Q(G). For each of these matrices we study the behavior of eigenvalues with respect to integrality. More specifically, we study integral graphs, Q-integral graphs and L-integral graphs, which are graphs that have integral spectrum with regard to the matrices A(G), Q(G) and L(G), respectively. We study the spectral integral variation for the Laplacian matrix under the addition of an edge. We have seen that if the eigenvalues of the Laplacian matrix change by integer quantities, then one of the eigenvalues increases by two units or two of the eigenvalues increase by one unit each. These two types of variation are known as spectral integral variation in one place and two places [26, 33], respectively. These two variations were crucial to establish a strategy for building L-integral graphs by adding edges. Moreover, we studied the class of constructably Laplacian integral graphs, that are a subset of L-integral graphs. We characterize this subset through vertex-induced subgraphs and show an alternative technique for calculating their spectrum. We also study some families with infinite integral graphs and Q-integral graphs built through the join of regular graphs [12, 15, 24].