La conectividad condicional, definida por Harary en 1983, mide el mínimo número de vértices (o ramas) que hay que eliminar de un grafo o digrafo de forma que todas las componentes conexas resultantes tengan una propiedad prefijada de antemano. La importancia de los diferentes tipos de conectividad condicional está unida al concepto de supervivencia de las componentes que se determinan cuando la red se interrumpe, lo que se expresa especificando las propiedades de estas componentes. Engloban tanto la conectividad estándar como la superconectividad ya que pueden ser interpretadas como conectividades condicionales con respecto a la propiedad que consiste en tener más de cero vértices o un vértice respectivamente.En esta tesis presentamos condiciones suficientes de dos tipos que garantizan altas conectividades condicionales: cotas superiores sobre diámetro y cotas inferiores sobre el orden, ambas formuladas en términos del girth en el caso de grafos, o bien en función del semigirth l en el caso de digrafos.El primer tipo de conectividad condicional abordada es la t-distancia conectividad que juega un papel importante a la hora de medir la fiabilidad de la red como una función de la distancia entre los nodos que queremos comunicar. En este caso se requiere que los conjuntos desconectadotes separen vértices que estaban suficientemente alejados en el (di)grafo original. Se define el t-grado y se muestra que los parámetros que miden la t-distancia conectividad la arco t-distancia conectividad y el t-grado están relacionados por desigualdades que generalizan las desigualdades conocidas para las conectividades estándar. Además, se prueba que otra de las propiedades que estos nuevos parámetros mantienen es la independencia.El trabajo realizado previamente permite profundizar en el estudio de la superconectividad de (di)grafos y de digrafos bipartitos. Se aborda el problema de desconectar de manera no trivial un digrafo superconectado, centrándonos en calcular la máxima distancia a la que se encuentra alejado un vértice de un conjunto desconectador no trivial de cardinal relativamente pequeño. Se introducen los parámetros que miden la superconectividad de un digrafo superconectado, y se estudian condiciones suficientes sobre el diámetro y el orden para obtener cotas inferiores sobre estas medidas de superconectividad. Por último se desarrolla un estudio en el caso de grafos, paralelo al realizado en el caso dirigido. Se expone una tabla en cuyas entradas figuran los órdenes de los grafos con el mayor número de vértices que se conocen hasta el momento junto con sus conectividades respectivas.La última parte de la tesis está dedicado al estudio de grafos que modelan redes conectadas de forma óptima con respecto a la siguiente propiedad de tolerancia a fallos: Cuando algunos nodos o uniones fallan, se exige que en las componentes que se determinan en la red haya un número mínimo de nodos conectados entre sí. Esta conectividad condicional se denomina extraconectividad, que corresponde con la propiedad consistente en tener al menos un cierto número de vértices. Desde este punto de vista, tanto la conectividad estándar como la superconectividad, constituyen medidas de conectividad condicional. El trabajo llevado a cabo mejora sustancialmente las primeras condiciones suficientes sobre el diámetro dadas por Fiol y Fàbrega quienes ya habían conjeturado que la cota superior sobre el diámetro que se había encontrado era posible mejorarla. / The conditional connectivity defined by Harary in 1983, gives the minimum number of vertices or edges which have to be eliminated from a graph or a digraph in such a way all the resulting connected components satisfy a determined property The importance of the different types of conditional connectivity is linked to the concept of survival of the components that determine when the network is interrupted, which is expressed by specifying the properties of these components. They include both connectivity standard as superconectividad as they can be interpreted as a conditional connectivities with respect to the property that is to have more than zero points or a vertex respectively.In this thesis we present sufficient conditions of two types that guarantee high conditional connectivities: upper bounds on diameter and lower bounds on the order, both in terms of girth made in the case graph, or in terms of semigirth l in the directed case.The first type of conditional connectivity addressed is the t-distance connectivity that plays an important role in measuring the reliability of the network as a function of the distance between the nodes that we want to communicate. In this case disconnecting sets are required to separate vertices that were sufficiently distant in the original (di)graph. The t-degree is defined and it is shown that the parameters that measure the t-distance connectivity the arc t-distance connectivity and t-degree inequalities are related by the same inequalities known for standard connectivities. In addition, it is proved that another of the properties that these new parameters keep is the independence.The work done previously allows to study in depth the superconectivity of digraphs and bipartite digraphs. It addresses the problem of disconnecting in a non-trivial way a superconnected digraph, focusing on calculating the maximum distance that is a remote vertex from a non-trivial disconnecting set of cardinality relatively small. The superconnectivity parameters are introduced and sufficient conditions on the diameter and on the order to obtain good measures of superconnectivity are given. Finally, there has been a case study in graphs, conducted in parallel to the directed case addressed. A table whose entries include orders of the graph with the largest number of vertices that are known so far along with their respective connectivities is exposed.The last part of the thesis is devoted to the study of connected graphs modeling networks in an optimal way with respect to the following property of fault tolerance: When some nodes or links fail, it is required that all the components that are determined by the network have a minimum number of nodes connected to each other.This kind of conditional connectivity is called extraconectivity, and corresponds to the property of having at least a certain number of vertices. From this point of view, both as the standard connectivity and superconectivity constitute measures of conditional connectivity. The work carried out substantially improves the early sufficient conditions on the diameter given by Fiol and Fàbrega who had already conjetured that the upper bound on the diameter, which they had been found could be improved.

LOS ESTUDIOS DESARROLLADOS SE ENMARCAN, DENTRO DE LA TEORIA DE GRAFOS, EN EL ANALISIS DE CONDICIONES SUFICIENTES PARA OBTENER ALGUNAS MEDIDAS DE CONECTIVIDAD OPTIMA.SE HAN ESTUDIADO CONDICIONES DE TIPO MIXTO PARA EL CASO DE DIGRAFOS BIPARTITOS QUE MEJORAN LOS CONOCIDOS HASTA EL MOMENTO.SE HAN ESTUDIADO LA T-DISTANCIA CONECTIVIDAD, CONSTRUYENDO DIGRAFOS QUE MUESTRAN LA INDEPENDENCIA DE LOS PARAMETROS QUE LE DEFINEN Y OBTENIENDO COTAS SUPERIORES SOBRE EL DIAMETRO QUE GARANTIZAN VALORES OPTIMOS PARA LAS MISMAS.SE HA INTRODUCIDO EL CONCEPTO DE DIAMETRO CONDICIONAL QUE HA PERMITIDO LA AMPLIACION DE LAS COTAS CONOCIDAS SOBRE EL DIAMETRO, ASI COMO LA MEJORA DE ALGUNAS DE ELLAS.POR ULTIMO SE HAN OBTENIDO NUEVAS CONDICIONES DE TIPO CHARTRAND PARA LA CONECTIVIDAD Y LA SUPERCONECTIVIDAD DE DIGRAFOS S-GEODETICOS.

Modelagem e controle de execução são duas abordagens do gerenciamento de processos de negócio que, embora complementares, têm se desenvolvido independentemente. Por um lado, a modelagem é normalmente conduzida por especialistas de negócio e explora aspectos semânticos do processo. Por outro lado, o controle de execução estuda mecanismos consistentes e eficientes de implementação. Este trabalho apresenta um método algorítmico que relaciona modelagem e controle de execução, por meio da geração de expressões algébricas a partir de digrafos acíclicos. Por hipótese, assumimos que modelos de processos de negócio são formados por estruturas baseadas em grafos, e mecanismos de controle de execução são baseados na interpretação de expressões de álgebra de processos. Para a geração de expressões algébricas, esta tese apresenta as propriedades topológicas de digrafos série-paralelo e define um sistema de transformação baseado em redução de digrafos. Além disso, um algoritmo de identificação de digrafos série-paralelo e geração de expressões algébricas é apresentado. O texto também discute o tratamento de digrafos que não são série-paralelo e apresenta, para alguns desses casos, soluções baseadas em mudanças topológicas. Finalmente, o algoritmo é ilustrado com o estudo de caso de uma aplicação real. / Modeling and execution control are complementary approaches of business process management that have been developed independently. On one hand, modeling is usually performed by business specialists and explores semantical aspects of the business process. On other hand, execution control studies consistent and efficient mechanisms for implementation. This work presents an algorithmic method which joins modeling and execution control through algebraic expression generation from acyclic digraphs. By hypothesis, we assume that business process models are defined by graph structures, and execution control mechanisms are based on interpretation of process algebra expressions. For algebraic expression generation, this thesis presents the topological properties of series-parallel digraphs and defines a transformation system based on digraph reduction. Therefore, we present an algorithm for identification of series-parallel digraphs and generation of algebraic expressions. This work also discusses the treatment of non-series-parallel digraphs and presents solutions based on topological changing for some cases. Finally, the algorithm is illustrated with a case study based on a real system.

Modelagem e controle de execução são duas abordagens do gerenciamento de processos de negócio que, embora complementares, têm se desenvolvido independentemente. Por um lado, a modelagem é normalmente conduzida por especialistas de negócio e explora aspectos semânticos do processo. Por outro lado, o controle de execução estuda mecanismos consistentes e eficientes de implementação. Este trabalho apresenta um método algorítmico que relaciona modelagem e controle de execução, por meio da geração de expressões algébricas a partir de digrafos acíclicos. Por hipótese, assumimos que modelos de processos de negócio são formados por estruturas baseadas em grafos, e mecanismos de controle de execução são baseados na interpretação de expressões de álgebra de processos. Para a geração de expressões algébricas, esta tese apresenta as propriedades topológicas de digrafos série-paralelo e define um sistema de transformação baseado em redução de digrafos. Além disso, um algoritmo de identificação de digrafos série-paralelo e geração de expressões algébricas é apresentado. O texto também discute o tratamento de digrafos que não são série-paralelo e apresenta, para alguns desses casos, soluções baseadas em mudanças topológicas. Finalmente, o algoritmo é ilustrado com o estudo de caso de uma aplicação real. / Modeling and execution control are complementary approaches of business process management that have been developed independently. On one hand, modeling is usually performed by business specialists and explores semantical aspects of the business process. On other hand, execution control studies consistent and efficient mechanisms for implementation. This work presents an algorithmic method which joins modeling and execution control through algebraic expression generation from acyclic digraphs. By hypothesis, we assume that business process models are defined by graph structures, and execution control mechanisms are based on interpretation of process algebra expressions. For algebraic expression generation, this thesis presents the topological properties of series-parallel digraphs and defines a transformation system based on digraph reduction. Therefore, we present an algorithm for identification of series-parallel digraphs and generation of algebraic expressions. This work also discusses the treatment of non-series-parallel digraphs and presents solutions based on topological changing for some cases. Finally, the algorithm is illustrated with a case study based on a real system.

Nesta tese estudamos dois problemas em digrafos: um problema de empacotamento e um problema de contagem. Estudamos o problema de empacotamento máximo de arborescências no digrafo aleatório D(n,p), onde cada possvel arco é inserido aleatoriamente ao acaso com probabilidade p = p(n). Denote por (D(n,p)) o maior inteiro possvel 0 tal que, para todo 0 l , temos ^(l-1)_i=0 (l-i)|{v in d^in(v) = i}| Provamos que a quantidade máxima de arborescências em D(n,p) é (D(n,p)) assintoticamente quase certamente. Nós também mostramos estimativas justas para (D(n, p)) para todo p [0, 1]. As principais ferramentas que utilizamos são relacionadas a propriedades de expansão do D(n, p), o comportamento do grau de entrada do digrafo aleatório e um resultado clássico de Frank que serve como ligação entre subpartições em digrafos e a quantidade de arborescências. Para o problema de contagem, estudamos a densidade de subtorneios fortemente conexos com 5 vértices em torneios grandes. Determinamos a densidade assintótica máxima para 5 torneios bem como as famlias assintóticas extremais de cada torneios. Como subproduto deste trabalho caracterizamos torneios que são blow-ups recursivos de um circuito orientado com 3 vértices como torneios que probem torneios especficos de tamanho 5. Como principal ferramenta para esse problema utilizados a teoria de álgebra de flags e configurações combinatórias obtidas através do método semidefinido. / In this thesis we study two problems dealing with digraphs: a packing problem and a counting problem. We study the problem of packing the maximum number of arborescences in the random digraph D(n,p), where each possible arc is included uniformly at random with probability p = p(n). Let (D(n,p)) denote the largest integer 0 such that, for all 0 l , we have ^(l-1)_i=0 (l-i)|{v in d^in(v) = i}|. We show that the maximum number of arc-disjoint arborescences in D(n, p) is (D(n, p)) asymptotically almost surely. We also give tight estimates for (D(n, p)) for every p [0, 1]. The main tools that we used were expansion properties of random digraphs, the behavior of in-degree of random digraphs and a classic result by Frank relating subpartitions and number of arborescences. For the counting problem, we study the density of fixed strongly connected subtournaments on 5 vertices in large tournaments. We determine the maximum density asymptotically for five tournaments as well as unique extremal sequences for each tournament. As a byproduct of this study we also characterize tournaments that are recursive blow-ups of a 3-cycle as tournaments that avoid three specific tournaments of size 5. We use the theory of flag algebras as a main tool for this problem and combinatorial settings obtained from semidefinite method.

Nesta tese estudamos dois problemas em digrafos: um problema de empacotamento e um problema de contagem. Estudamos o problema de empacotamento máximo de arborescências no digrafo aleatório D(n,p), onde cada possvel arco é inserido aleatoriamente ao acaso com probabilidade p = p(n). Denote por (D(n,p)) o maior inteiro possvel 0 tal que, para todo 0 l , temos ^(l-1)_i=0 (l-i)|{v in d^in(v) = i}| Provamos que a quantidade máxima de arborescências em D(n,p) é (D(n,p)) assintoticamente quase certamente. Nós também mostramos estimativas justas para (D(n, p)) para todo p [0, 1]. As principais ferramentas que utilizamos são relacionadas a propriedades de expansão do D(n, p), o comportamento do grau de entrada do digrafo aleatório e um resultado clássico de Frank que serve como ligação entre subpartições em digrafos e a quantidade de arborescências. Para o problema de contagem, estudamos a densidade de subtorneios fortemente conexos com 5 vértices em torneios grandes. Determinamos a densidade assintótica máxima para 5 torneios bem como as famlias assintóticas extremais de cada torneios. Como subproduto deste trabalho caracterizamos torneios que são blow-ups recursivos de um circuito orientado com 3 vértices como torneios que probem torneios especficos de tamanho 5. Como principal ferramenta para esse problema utilizados a teoria de álgebra de flags e configurações combinatórias obtidas através do método semidefinido. / In this thesis we study two problems dealing with digraphs: a packing problem and a counting problem. We study the problem of packing the maximum number of arborescences in the random digraph D(n,p), where each possible arc is included uniformly at random with probability p = p(n). Let (D(n,p)) denote the largest integer 0 such that, for all 0 l , we have ^(l-1)_i=0 (l-i)|{v in d^in(v) = i}|. We show that the maximum number of arc-disjoint arborescences in D(n, p) is (D(n, p)) asymptotically almost surely. We also give tight estimates for (D(n, p)) for every p [0, 1]. The main tools that we used were expansion properties of random digraphs, the behavior of in-degree of random digraphs and a classic result by Frank relating subpartitions and number of arborescences. For the counting problem, we study the density of fixed strongly connected subtournaments on 5 vertices in large tournaments. We determine the maximum density asymptotically for five tournaments as well as unique extremal sequences for each tournament. As a byproduct of this study we also characterize tournaments that are recursive blow-ups of a 3-cycle as tournaments that avoid three specific tournaments of size 5. We use the theory of flag algebras as a main tool for this problem and combinatorial settings obtained from semidefinite method.

Neste trabalho consideramos um problema da Antropologia. A modelagem de sociedades e casamentos de indivíduos é feita com grafos mistos e encontrar caminhos disjuntos é uma questão central no problema. O problema é NP-completo e, quando visto como um problema parametrizado, ele é W[1]-difícil. Alguns subproblemas que surgem durante o processo de obter uma solução para o problema, envolvem caminhos disjuntos e podem ser resolvidos em tempo polinomial. Implementamos algoritmos polinomiais que são usados em uma ferramenta desenvolvida para solucionar o problema na Antropologia considerado. Nossa solução funcionou bem para as sociedades fornecidas pelos nossos parceiros. / In this work we consider a problem from the Anthropology. The model of the societies and the marriages of individuals is done with mixed graphs and to find disjoint paths is a central question in the problem. The problem is NP-complete and W[1]-hard when it is considered a parameterized problem. Some subproblems that arise during the process to obtain a solution for the problem, involve disjoint paths and can be solved in polynomial time. We implemented some polynomial algorithms that are used in a tool developed to solve the problem in the Anthropology considered. Our solution worked well for the societies provided by our partners.

Neste trabalho consideramos um problema da Antropologia. A modelagem de sociedades e casamentos de indivíduos é feita com grafos mistos e encontrar caminhos disjuntos é uma questão central no problema. O problema é NP-completo e, quando visto como um problema parametrizado, ele é W[1]-difícil. Alguns subproblemas que surgem durante o processo de obter uma solução para o problema, envolvem caminhos disjuntos e podem ser resolvidos em tempo polinomial. Implementamos algoritmos polinomiais que são usados em uma ferramenta desenvolvida para solucionar o problema na Antropologia considerado. Nossa solução funcionou bem para as sociedades fornecidas pelos nossos parceiros. / In this work we consider a problem from the Anthropology. The model of the societies and the marriages of individuals is done with mixed graphs and to find disjoint paths is a central question in the problem. The problem is NP-complete and W[1]-hard when it is considered a parameterized problem. Some subproblems that arise during the process to obtain a solution for the problem, involve disjoint paths and can be solved in polynomial time. We implemented some polynomial algorithms that are used in a tool developed to solve the problem in the Anthropology considered. Our solution worked well for the societies provided by our partners.

The vertex coloring problem is a classic problem in graph theory that asks for a partition of the vertex set into a minimum number of stable sets. This thesis presents our studies on three vertex (re)coloring problems on graphs and on a problem related to a long-standing conjecture on subdivision of digraphs. Firstly, we address the convex recoloring problem in which an arbitrarily colored graph G is given and one wishes to find a minimum weight recoloring such that each color class induces a connected subgraph of G. We show inapproximability results, introduce an integer linear programming (ILP) formulation that models the problem and present some computational experiments using a column generation approach. The k-fold coloring problem is a generalization of the classic vertex coloring problem and consists in covering the vertex set of a graph by a minimum number of stable sets in such a way that every vertex is covered by at least k (possibly identical) stable sets. We present an ILP formulation for this problem and show a detailed polyhedral study of the polytope associated with this formulation. The last coloring problem studied in this thesis is the proper orientation problem. It consists in orienting the edge set of a given graph so that adjacent vertices have different in-degrees and the maximum in-degree is minimized. Clearly, the in-degrees induce a partition of the vertex set into stable sets, that is, a coloring (in the conventional sense) of the vertices. Our contributions in this problem are on hardness and upper bounds for bipartite graphs. Finally, we study a problem related to a conjecture of Mader from the eighties on subdivision of digraphs. This conjecture states that, for every acyclic digraph H, there exists an integer f(H) such that every digraph with minimum out-degree at least f(H) contains a subdivision of H as a subdigraph. We show evidences for this conjecture by proving that it holds for some particular classes of acyclic digraphs. / O problema de coloração de grafos é um problema clássico em teoria dos grafos cujo objetivo é particionar o conjunto de vértices em um número mínimo de conjuntos estáveis. Nesta tese apresentamos nossas contribuições sobre três problemas de coloração de grafos e um problema relacionado a uma antiga conjectura sobre subdivisão de digrafos. Primeiramente, abordamos o problema de recoloração convexa no qual é dado um grafo arbitrariamente colorido G e deseja-se encontrar uma recoloração de peso mínimo tal que cada classe de cor induza um subgrafo conexo de G. Mostramos resultados sobre inaproximabilidade, introduzimos uma formulação linear inteira que modela esse problema, e apresentamos alguns resultados computacionais usando uma abordagem de geração de colunas. O problema de k-upla coloração é uma generalização do problema clássico de coloração de vértices e consiste em cobrir o conjunto de vértices de um grafo com uma quantidade mínima de conjuntos estáveis de tal forma que cada vértice seja coberto por pelo menos k conjuntos estáveis (possivelmente idênticos). Apresentamos uma formulação linear inteira para esse problema e fazemos um estudo detalhado do politopo associado a essa formulação. O último problema de coloração estudado nesta tese é o problema de orientação própria. Ele consiste em orientar o conjunto de arestas de um dado grafo de tal forma que vértices adjacentes possuam graus de entrada distintos e o maior grau de entrada seja minimizado. Claramente, os graus de entrada induzem uma partição do conjunto de vértices em conjuntos estáveis, ou seja, induzem uma coloração (no sentido convencional) dos vértices. Nossas contribuições nesse problema são em complexidade computacional e limitantes superiores para grafos bipartidos. Finalmente, estudamos um problema relacionado a uma conjectura de Mader, dos anos oitenta, sobre subdivisão de digrafos. Esta conjectura afirma que, para cada digrafo acíclico H, existe um inteiro f(H) tal que todo digrafo com grau mínimo de saída pelo menos f(H) contém uma subdivisão de H como subdigrafo. Damos evidências para essa conjectura mostrando que ela é válida para classes particulares de digrafos acíclicos.

The vertex coloring problem is a classic problem in graph theory that asks for a partition of the vertex set into a minimum number of stable sets. This thesis presents our studies on three vertex (re)coloring problems on graphs and on a problem related to a long-standing conjecture on subdivision of digraphs. Firstly, we address the convex recoloring problem in which an arbitrarily colored graph G is given and one wishes to find a minimum weight recoloring such that each color class induces a connected subgraph of G. We show inapproximability results, introduce an integer linear programming (ILP) formulation that models the problem and present some computational experiments using a column generation approach. The k-fold coloring problem is a generalization of the classic vertex coloring problem and consists in covering the vertex set of a graph by a minimum number of stable sets in such a way that every vertex is covered by at least k (possibly identical) stable sets. We present an ILP formulation for this problem and show a detailed polyhedral study of the polytope associated with this formulation. The last coloring problem studied in this thesis is the proper orientation problem. It consists in orienting the edge set of a given graph so that adjacent vertices have different in-degrees and the maximum in-degree is minimized. Clearly, the in-degrees induce a partition of the vertex set into stable sets, that is, a coloring (in the conventional sense) of the vertices. Our contributions in this problem are on hardness and upper bounds for bipartite graphs. Finally, we study a problem related to a conjecture of Mader from the eighties on subdivision of digraphs. This conjecture states that, for every acyclic digraph H, there exists an integer f(H) such that every digraph with minimum out-degree at least f(H) contains a subdivision of H as a subdigraph. We show evidences for this conjecture by proving that it holds for some particular classes of acyclic digraphs. / O problema de coloração de grafos é um problema clássico em teoria dos grafos cujo objetivo é particionar o conjunto de vértices em um número mínimo de conjuntos estáveis. Nesta tese apresentamos nossas contribuições sobre três problemas de coloração de grafos e um problema relacionado a uma antiga conjectura sobre subdivisão de digrafos. Primeiramente, abordamos o problema de recoloração convexa no qual é dado um grafo arbitrariamente colorido G e deseja-se encontrar uma recoloração de peso mínimo tal que cada classe de cor induza um subgrafo conexo de G. Mostramos resultados sobre inaproximabilidade, introduzimos uma formulação linear inteira que modela esse problema, e apresentamos alguns resultados computacionais usando uma abordagem de geração de colunas. O problema de k-upla coloração é uma generalização do problema clássico de coloração de vértices e consiste em cobrir o conjunto de vértices de um grafo com uma quantidade mínima de conjuntos estáveis de tal forma que cada vértice seja coberto por pelo menos k conjuntos estáveis (possivelmente idênticos). Apresentamos uma formulação linear inteira para esse problema e fazemos um estudo detalhado do politopo associado a essa formulação. O último problema de coloração estudado nesta tese é o problema de orientação própria. Ele consiste em orientar o conjunto de arestas de um dado grafo de tal forma que vértices adjacentes possuam graus de entrada distintos e o maior grau de entrada seja minimizado. Claramente, os graus de entrada induzem uma partição do conjunto de vértices em conjuntos estáveis, ou seja, induzem uma coloração (no sentido convencional) dos vértices. Nossas contribuições nesse problema são em complexidade computacional e limitantes superiores para grafos bipartidos. Finalmente, estudamos um problema relacionado a uma conjectura de Mader, dos anos oitenta, sobre subdivisão de digrafos. Esta conjectura afirma que, para cada digrafo acíclico H, existe um inteiro f(H) tal que todo digrafo com grau mínimo de saída pelo menos f(H) contém uma subdivisão de H como subdigrafo. Damos evidências para essa conjectura mostrando que ela é válida para classes particulares de digrafos acíclicos.