Cette thèse porte sur l’étude des propriétés structurelles de graphes dont la compréhension permet de concevoir des algorithmes efficaces pour résoudre des problèmes d’optimisation. Nous nous intéressons plus particulièrement aux méthodes de décomposition des graphes, aux jeux de poursuites et à la notion de convexité. Le jeu de Processus a été défini comme un modèle de la reconfiguration de routage. Souvent, ces jeux où une équipe de chercheurs doit effacer un graphe non orienté sont reliés aux décompositions de graphes. Dans les digraphes, nous montrons que le jeu de Processus est monotone et nous définissons une nouvelle décomposition de graphes que lui est équivalente. Ensuite, nous étudions d’autres décompositions de graphes. Nous proposons un algorithme FPT-unifiée pour calculer plusieurs paramètres de largeur de graphes. En particulier, ceci est le premier FPT-algorithme pour la largeur arborescente q-branché et spéciale d’un graphe. Nous étudions ensuite un autre jeu qui modélise les problèmes de pré-chargement. Nous introduisons la variante en ligne du jeu de surveillance. Nous étudions l’écart entre le jeu de surveillance classique et ses versions connecté et en ligne, en fournissant de nouvelles bornes. Nous définissons ensuite un cadre général pour l’étude des jeux poursuite-évasion. Cette méthode nous permet de donner les premiers résultats d’approximation pour certains de ces jeux. Finalement, nous étudions un autre paramètre lié à la convexité des graphes et à la propagation d’infection dans les réseaux, le nombre enveloppe. Nous fournissons plusieurs résultats de complexité en fonction des structures des graphes et en utilisant des décompositions de graphes. / This thesis focuses on the study of structural properties of graphs whose understanding enables the design of efficient algorithms for solving optimization problems. We are particularly interested in methods of decomposition, pursuit-evasion games and the notion of convexity. The Process game has been defined as a model for the routing reconfiguration problem in WDM networks. Often, such games where a team of searchers have to clear an undirected graph are closely related to graph decompositions. In digraphs, we show that the Process game is monotone and we define a new equivalent digraph decomposition. Then, we further investigate graph decompositions. We propose a unified FPT-algorithm to compute several graph width parameters. This algorithm turns to be the first FPT-algorithm for the special and the q-branched tree-width of a graph. We then study another pursuit-evasion game which models prefetching problems. We introduce the more realistic online variant of the Surveillance game. We investigate the gap between the classical Surveillance Game and its connected and online versions by providing new bounds. We then define a general framework for studying pursuit-evasion games, based on linear programming techniques. This method allows us to give first approximation results for some of these games. Finally, we study another parameter related to graph convexity and to the spreading of infection in networks, namely the hull number. We provide several complexity results depending on the graph structures making use of graph decompositions. Some of these results answer open questions of the literature.

Les expériences bioinformatiques sont généralement effectuées à l'aide de workflows scientifiques dans lesquels les tâches sont enchaînées les unes aux autres pour former des structures de graphes très complexes et imbriquées. Les systèmes de workflows scientifiques ont ensuite été développés pour guider les utilisateurs dans la conception et l'exécution de workflows. Un avantage de ces systèmes par rapport aux approches traditionnelles est leur capacité à mémoriser automatiquement la provenance (ou lignage) des produits de données intermédiaires et finaux générés au cours de l'exécution du workflow. La provenance d'un produit de données contient des informations sur la façon dont le produit est dérivé, et est cruciale pour permettre aux scientifiques de comprendre, reproduire, et vérifier les résultats scientifiques facilement. Pour plusieurs raisons, la complexité du workflow et des structures d'exécution du workflow est en augmentation au fil du temps, ce qui a un impact évident sur la réutilisation des workflows scientifiques.L'objectif global de cette thèse est d'améliorer la réutilisation des workflows en fournissant des stratégies visant à réduire la complexité des structures de workflow tout en préservant la provenance. Deux stratégies sont introduites. Tout d'abord, nous proposons une approche de réécriture de la structure du graphe de n'importe quel workflow scientifique (classiquement représentée comme un graphe acyclique orienté (DAG)) dans une structure plus simple, à savoir une structure série-parallèle (SP) tout en préservant la provenance. Les SP-graphes sont simples et bien structurés, ce qui permet de mieux distinguer les principales étapes du workflow. En outre, d'un point de vue plus formel, on peut utiliser des algorithmes polynomiaux pour effectuer des opérations complexes fondées sur les graphiques (par exemple, la comparaison de workflows, ce qui est directement lié au problème d’homomorphisme de sous-graphes) lorsque les workflows ont des SP-structures alors que ces opérations sont reliées à des problèmes NP-hard pour des graphes qui sont des DAG sans aucune restriction sur leur structure. Nous avons introduit la notion de préservation de la provenance, conçu l’algorithme de réécriture SPFlow et réalisé l’outil associé.Deuxièmement, nous proposons une méthodologie avec une technique capable de réduire la redondance présente dans les workflow (en supprimant les occurrences inutiles de tâches). Plus précisément, nous détectons des « anti-modèles », un terme largement utilisé dans le domaine de la conception de programme, pour indiquer l'utilisation de formes idiomatiques qui mènent à une conception trop compliquée, et qui doit donc être évitée. Nous avons ainsi conçu l'algorithme DistillFlow qui est capable de transformer un workflow donné en un workflow sémantiquement équivalent «distillé», c’est-à-dire, qui est libre ou partiellement libre des anti-modèles et possède une structure plus concise et plus simple. Les deux principales approches de cette thèse (à savoir, SPFlow et DistillFlow) sont basées sur un modèle de provenance que nous avons introduit pour représenter la structure de la provenance des exécutions du workflowl. La notion de «provenance-équivalence» qui détermine si deux workflows ont la même signification est également au centre de notre travail. Nos solutions ont été testées systématiquement sur de grandes collections de workflows réels, en particulier avec le système Taverna. Nos outils sont disponibles à l'adresse: https://www.lri.fr/~chenj/. / Bioinformatics experiments are usually performed using scientific workflows in which tasks are chained together forming very intricate and nested graph structures. Scientific workflow systems have then been developed to guide users in the design and execution of workflows. An advantage of these systems over traditional approaches is their ability to automatically record the provenance (or lineage) of intermediate and final data products generated during workflow execution. The provenance of a data product contains information about how the product was derived, and it is crucial for enabling scientists to easily understand, reproduce, and verify scientific results. For several reasons, the complexity of workflow and workflow execution structures is increasing over time, which has a clear impact on scientific workflows reuse.The global aim of this thesis is to enhance workflow reuse by providing strategies to reduce the complexity of workflow structures while preserving provenance. Two strategies are introduced.First, we propose an approach to rewrite the graph structure of any scientific workflow (classically represented as a directed acyclic graph (DAG)) into a simpler structure, namely, a series-parallel (SP) structure while preserving provenance. SP-graphs are simple and layered, making the main phases of workflow easier to distinguish. Additionally, from a more formal point of view, polynomial-time algorithms for performing complex graph-based operations (e.g., comparing workflows, which is directly related to the problem of subgraph homomorphism) can be designed when workflows have SP-structures while such operations are related to an NP-hard problem for DAG structures without any restriction on their structures. The SPFlow rewriting and provenance-preserving algorithm and its associated tool are thus introduced.Second, we provide a methodology together with a technique able to reduce the redundancy present in workflows (by removing unnecessary occurrences of tasks). More precisely, we detect "anti-patterns", a term broadly used in program design to indicate the use of idiomatic forms that lead to over-complicated design, and which should therefore be avoided. We thus provide the DistillFlow algorithm able to transform a workflow into a distilled semantically-equivalent workflow, which is free or partly free of anti-patterns and has a more concise and simpler structure.The two main approaches of this thesis (namely, SPFlow and DistillFlow) are based on a provenance model that we have introduced to represent the provenance structure of the workflow executions. The notion of provenance-equivalence which determines whether two workflows have the same meaning is also at the center of our work. Our solutions have been systematically tested on large collections of real workflows, especially from the Taverna system. Our approaches are available for use at https://www.lri.fr/~chenj/.

Cette thèse considère principalement trois problèmes dans le domaine du contrôle distribué coopératif des systèmes multi-agents(SMA): le consensus, la navigation en formation et le maintien en formation d’un groupe d’agents lorsqu’un agent disparait. Nous proposons 3 algorithmes pour résoudre le problème du calcul distribué d’un consensus à partir de l’approche leadeur-suiveur dans le contexte SMA à dynamique non-linéaire. La référence est définie comme un leader virtuel dont on n’obtient, localement, que les données de position et de vitesse. Pour résoudre le problème du suivi par consensus pour les SMA à dynamique non-linéaire, nous considérons le suivi par consensus pour SMA de premier ordre. On propose des résultats permettant aux suiveurs de suivre le leadeur virtuel en temps fini en ne considérant que les positions des agents. Ensuite, nous considérons le suivi par consensus de SMA de second. Dans le cas de la planification de trajectoire et la commande du mouvement de la formation multi-agents. L’idée est d’amener la formation, dont la dynamique est supposée être en 3D, d’une configuration initiale vers une configuration finale (trouver un chemin faisable en position et orientation) en maintenant sa forme tout le long du chemin en évitant les obstacles. La stratégie proposée se décompose en 3 étapes. Le problème du Closing-Rank se traduit par la réparation d’une formation rigide multi-agents "endommagée" par la perte de l'un de ses agents. Nous proposons 2 algorithmes d’autoréparation systématique pour récupérer la rigidité en cas de perte d'un agent. Ces réparations s’effectuent de manière décentralisée et distribuée n’utilisant que des informations de voisinage / This dissertation focuses on distributed cooperative control of multi-agent systems. First, the leader-following consensus for multi-agent systems with nonlinear dynamics is investigated. Three consensus algorithms are proposed and some sufficient conditions are obtained for the states of followers converging to the state of virtual leader globally exponentially. Second, the consensus tracking for multi-agent systems with nonlinear dynamics is investigated. Some consensus tracking algorithms are developed, and some sufficient conditions are obtained. Based on these consensus tracking algorithms and sufficient conditions, it is shown that in first-order multi-agent systems all followers can track the virtual leader in finite time, and in second-order multi-agent systems the consensus tracking can be achieved at least globally exponentially. Third, the path planning and motion control of multi-agent formation is studied, where a practical framework is provided. In order to find a collision-free and deadlock-free feasible path for the whole formation, an optimizing algorithm is given to optimize the path generated by A* search algorithm. In order to realize the cohesive motion of a persistent formation in 3-dimensional space, a set of decentralized control laws is designed. Finally, the formation keeping problem is studied. We mainly focus on the closing ranks problem, which deals with the addition of links to a rigid multi-agent formation that is “damaged" by losing one of its agents, in order to recover rigidity. Some graph theoretical results are obtained, and some systematic ’self-repair’ operations are proposed to recover the rigidity in case of agent removals

De nos jours la protection des données numériques est un problème très important. Que ce soit pour des applications de confidentialité, de communication, de traçabilité ou d'identification par exemple, il est nécessaire de développer des techniques adaptées. Dans le cadre de cette thèse en collaboration avec la société STRATEGIES S.A., la méthode choisie pour la protection de maillages 3D est l'insertion de données cachées, également appelée tatouage numérique. Pour des données 3D, un des problèmes les plus importants est la phase de synchronisation qui intervient dans les algorithmes d'insertion et d'extraction des données. Cette phase permet de repérer, de sélectionner et d'ordonner les « zones » qui sont privilégiées pour la dissimulation d'information. Nous avons choisi d'orienter le manuscrit sur cette phase. Ainsi, nous proposons une classification des méthodes de tatouages en fonction de leur méthode de synchronisation. Puis en se basant sur des techniques de synchronisation par des structures de données, telle que les arbres couvrants de poids minimum, nous proposons une analyse théorique de cette structure. Dans un premier temps nous expliquons les raisons de la sensibilité des arbres à la mobilité des points. Puis connaissant ses faiblesses, nous proposons une autre technique de synchronisation toujours basée sur les arbres couvrants de poids minimum. / Data security is one of the main issue in computer science. We need to develop solutions for confidentiality, communication, fingerprinting or identification applications for exemple. In this thesis made with STRATEGIES S.A., the chosen method to protect 3D meshes is watermarking.Watermarking is divided in two steps, the embedding and the extraction. In both of them a synchronization phase is needed. It is one of the most important step for 3D mesh because it permits to look for areas available to embed information, and order them. All the thesis is devoted to the synchronization step. First of all, we propose a classification of watermarking techniques based on the type of synchronization method instead of evaluation criterions such as robustness or capacity.Then, from methods based on Euclidean minimum spanning tree, we propose a theoritical analysis of the mobility of the vertices in that kind of structure. First, we explain the reasons of the sensibility of the structure. Secondly, we propose another scheme based on the Euclidean minimum spanning tree knowing its fragility.

L’objectif de cette thèse est d’attribuer à chaque sommet x d’un graphe G à n sommets une étiquette L(x) de taille compacte O(log n) bits afin de pouvoir :1. construire, à partir des étiquettes d’un ensemble de sommets en panne X C V (G), une structure de donnée S(X)2. décider, à partir de S(X) et des étiquettes L(u) et L(v), si les sommets u et v sont connectés dans le graphe G n X.Nous proposons une solution à ce problème pour la famille des graphes 3-connexes de genre g (via plusieurs résultats intermédiaires).— Les étiquettes sont de taille O(g log n) bits— Le temps de construction de la structure de donnée S(X) est O(Sort([X]; n)).— Le temps de décision est O(log log n). Ce temps est optimal.Nous étendons ce résultat à la famille des graphes excluant un mineur H fixé. Les étiquettes sont ici de taille O(polylog n) bits. / We aim at assigning each vertex x of a n-vertices graph G a compact O(log n)-bit label L(x) in order to :1. construct, from the labels of the vertices of a forbidden set X C V (G), a datastructure S(X)2. decide, from S(X), L(u) and L(v), whether two vertices u and v are connected in G n X.We give a solution to this problem for the family of 3-connected graphs whith bounded genus.— We obtain O(g log n)-bit labels.— S(X) is computed in O(Sort([X]; n)) time.— Connection between vertices is decided in O(log log n) optimal time.We finally extend this result to H-minor-free graphs. This scheme requires O(polylog n)-bit labels.

Cette thèse est composée de deux parties : l’une traite des propriétés combinatoires de mots infinis et l’autre des problèmes de colorations des graphes.La première partie du manuscrit concerne les structures régulières dans les mots apériodiques infinis, à savoir les sous-séquences arithmétiques et les premiers retours complets.Nous étudions la fonction qui donne la longueur maximale d’une sous-séquence arithmétique monochromatique (une progression arithmétique) en fonction de la différence commune d pour une famille de mots morphiques uniformes, qui inclut le mot de Thue-Morse. Nous obtenons la limite supérieure explicite du taux de croissance de la fonction et des emplacements des progressions arithmétiques de longueurs maximales et de différences d. Pour étudier des sous-séquences arithmétiques périodiques dans des mots infinis, nous définissons la notion d'indice arithmétique et obtenons des bornes supérieures et inférieures sur le taux de croissance de la fonction donnant l’indice arithmétique dans la même famille de mots.Dans la même veine, une autre question concerne l’étude de deux nouvelles fonctions de complexité de mots infinis basées sur les notions de mots ouverts et fermés. Nous dérivons des formules explicites pour les fonctions de complexité ouverte et fermée pour un mot d'Arnoux-Rauzy sur un alphabet de cardinalité finie.La seconde partie de la thèse traite des colorations parfaites (des partitions équitables) de graphes infinis de degré borné. Nous étudions les graphes de Caley de groupes additifs infinis avec un ensemble de générateurs fixé. Nous considérons le cas où l'ensemble des générateurs est composé d'entiers de l'intervalle [-n, n], et le cas où les générateurs sont des entiers impairs de [-2n-1, 2n+1], où n est un entier positif. Pour les deux familles de graphes, nous obtenons une caractérisation complète des colorations parfaites à deux couleurs / The content of the thesis is comprised of two parts: one deals with combinatorial properties of infinite words and the other with graph coloring problems.The first main part of the manuscript concerns regular structures in infinite aperiodic words, such as arithmetic subsequences and complete first returns.We study the function that outputs the maximal length of a monochromatic arithmetic subsequence (an arithmetic progression) as a function of the common difference d for a family of uniform morphic words, which includes the Thue-Morse word. We obtain the explicit upper bound on the rate of growth of the function and locations of arithmetic progressions of maximal lengths and difference d. To study periodic arithmetic subsequences in infinite words we define the notion of an arithmetic index and obtain upper and lower bounds on the rate of growth of the function of arithmetic index in the same family of words.Another topic in this direction involves the study of two new complexity functions of infinite words based on the notions of open and closed words. We derive explicit formulae for the open and closed complexity functions for an Arnoux-Rauzy word over an alphabet of finite cardinality.The second main part of the thesis deals with perfect colorings (a.k.a. equitable partitions) of infinite graphs of bounded degree. We study Caley graphs of infinite additive groups with a prescribed set of generators. We consider the case when the set of generators is composed of integers from the interval [-n,n], and the case when the generators are odd integers from [-2n-1,2n+1], where n is a positive integer. For both families of graphs, we obtain a complete characterization of perfect 2-colorings

Le problème de coloration de graphe est un problème NP-complet particulièrement étudié, qui permet de modéliser de problèmes dans des domaines variés. Dans cette thèse, de nouveaux algorithmes exacts basés sur une étude de la structure du graphe sont proposés. Ce travail s'appuie sur l'algorithme « Total solutions Exact graph Coloring » (TexaCol) qui construit toutes les solutions en exploitant l'ensemble des cliques d'un graphe. Deux algorithmes exacts, « Partial best solutions Exact graph Coloring » (PexaCol) et « All best solutions Exact graph Coloring » (AexaCol), sont présentés ici pour construire certaines solutions optimales ou toutes les meilleures solutions. Ces deux algorithmes utilisent la méthode de backtracking, dans laquelle ils ne choisissent que les sous-ensembles de meilleurs solutions pour continuer la coloration. L’analyse de résultat montre que PexaCol et AexaCol sont capables de traiter des graphes plus grands que TexaCol. Mais surtout, AexaCol trouve toutes les meilleures solutions significativement plus vite que TexaCol ainsi que le solveur Gurobi, qui sont utilisés comme référence.La téléphonie mobile est un domaine en plein essor qui peut s'appuyer sur une modélisation à base de graphes. Actuellement, les techniques de type « Device-to-Device » (D2D) prennent une place importante dans les réseaux mobiles. L’allocation de ressource constitue l'un des principaux problèmes en matière de performance. Pour assigner efficacement une ressource radio à une paire D2D dans le système Long-Term Evolution (LTE), un schéma systématique d'allocation de ressources est proposé dans cette thèse. Il est basé sur une clusturisation des liens D2D, et permet de prendre en compte à la fois l'allocation inter-cluster et intra-cluster des ressources. En déterminant les zones d'interférence, le problème d'allocation des ressources inter-cluster est formulé comme un problème de coloration de graphe dynamique. Un algorithme de coloration de graphe dynamique est ainsi proposé, basé sur PexaCol. Cet algorithme peut assigner les ressources radio aux clusters qui sont générés ou supprimés dynamiquement. L’analyse numérique montre que cet algorithme assure une bonne performance en termes d'utilisation des ressources, de temps d’exécution et d'adaptabilité. Concernant le problème d’allocation de ressources inter-cluster, une méthode fondée sur la topologie est proposée, intégrant naturellement l'allocation de puissance et l’allocation de Resource Block (RB). Pour simplifier ce problème d'allocation de ressources, la meilleure topologie est choisie à chaque étape, celle qui permet d'obtenir le meilleur débit en utilisant le moins de RBs. A partir de ce procédé, quatre algorithmes d'optimisation sont proposés: l’algorithme glouton statique, PexaCol statique, PexaCol dynamique et PexaCol dynamique approximatif. L'analyse des résultats montre que pour les petits clusters, les versions statiques et dynamiques de PexaCol permettent d'obtenir un index d’optimisation maximal en choisissant la meilleure topologie locale pour chaque noeud. A l'opposé, les algorithmes "glouton statique" et "PexaCol dynamique approximatif" permettent d'obtenir une solution sous-optimale pour l'optimisation locale avec une complexité moindre. Pour les grands clusters, avec certaine séquence de la coloration, le PexaCol dynamique approximatif est mieux que l’algorithme glouton statique pour l’index d’optimisation pendant un temps d’exécution acceptable. / Graph coloring problem is a famous NP-complete problem, which has extensive applications. In the thesis, new exact graph coloring algorithms are researched from a graph structure point of view. Based on Total solutions Exact graph Coloring algorithm (TexaCol) which is capable of getting all coloring solution subsets for each subgraph, two other exact algorithms, Partial best solutions Exact graph Coloring algorithm (PexaCol) and All best solutions Exact graph Coloring algorithm (AexaCol), are presented to get multiple best solutions. These two algorithms utilize the backtracking method, in which they only choose the best solution subset each step to continue the coloring until partial or all best solutions are obtained. The result analysis shows that PexaCol and AexaCol can deal with larger graphs than TexaCol and especially, AexaCol runs much faster than TexaCol and the solver Gurobi to get all best solutions.Device-to-Device (D2D) is a promising technique for the future mobile networks, such as 5th generation wireless systems (5G), and the resource allocation is one of the most crucial problems for its performance. In order to efficiently allocate radio resource for D2D links in Long-Term Evolution (LTE) system, a systematic resource allocation scheme is proposed based on D2D clusters, including the inter-cluster resource allocation and the intra-cluster resource allocation. With the cluster interference range, the inter-cluster resource allocation problem is formulated as a dynamic graph coloring problem, and a dynamic graph coloring algorithm is designed based on PexaCol. This algorithm is able to allocate radio resource to clusters while they are dynamically generated and deleted. The numerical analysis results show that this algorithm has good performance in resource utilization, runtime and scalability.For the intra-cluster resource allocation problem, a topology-based resource allocation method is designed naturally combining power allocation with Resource Block (RB) allocation. To simplify this associated optimization problem, a local optimal method is proposed, in which the best topology is chosen each step achieving the maximal throughput with the minimum number of assigned RBs. With respect to this method, four algorithms are presented: static greedy, static PexaCol, dynamic PexaCol and dynamic PexaCol approximate. Result analysis shows that for small-scale clusters, static PexaCol and dynamic PexaCol are capable of getting a maximal optimization index by locally choosing the best topology for each node while static greedy and dynamic PexaCol approximate are able to get the suboptimal solution for the local optimization with much lower complexity. For large-scale clusters, giving certain treating sequences, the dynamic PexaCol approximate performs better than static greedy regarding the optimization index within an acceptable runtime.

Cette thèse est consacrée à l'étude des signaux mesurés par Electroencéphalographie (EEG) et Magnétoencéphalographie (MEG) afin d'améliorer notre compréhension du cerveau humain. La MEG et l'EEG sont des modalités d'imagerie cérébrale non invasives. Elles permettent de mesurer, hors de la tête, respectivement le potentiel électrique et le champ magnétique induits par l'activité neuronale. Le principal objectif lié à l'exploitation de ces données est la localisation dans l'espace et dans le temps des sources de courant ayant généré les mesures. Pour ce faire, il est nécessaire de résoudre un certain nombre de problèmes mathématiques et informatiques difficiles. La première partie de cette thèse part de la présentation des fondements biologiques à l'origine des données M/EEG, jusqu'à la résolution du problème direct. Le problème direct permet de prédire les mesures générées pour une configuration de sources de courant donnée. La résolution de ce problème à l'aide des équations de Maxwell dans l'approximation quasi-statique passe par la modélisation des générateurs de courants, ainsi que de la géométrie du milieu conducteur, dans notre cas la tête. Cette modélisation aboutit à un problème direct linéaire qui n'admet pas de solution analytique lorsque l'on considère des modèles de tête réalistes. Notre première contribution porte sur l'implémentation d'une résolution numérique à base d'éléments finis surfaciques dont nous montrons l'excellente précision comparativement aux autres implémentations disponibles. Une fois le problème direct calculé, l'étape suivante consiste à estimer les positions et les amplitudes des sources ayant généré les mesures. Il s'agit de résoudre le problème inverse. Pour ce faire, trois méthodes existent: les méthodes paramétriques, les méthodes dites de "scanning", et les méthodes distribuées. Cette dernière approche fournit un cadre rigoureux à la résolution de problème inverse tout en évitant de faire de trop importantes approximations dans la modélisation. Toutefois, elle impose de résoudre un problème fortement sous-contraint qui nécessite de fait d'imposer des a priori sur les solutions. Ainsi la deuxième partie de cette thèse est consacrée aux différents types d'a priori pouvant être utilisés dans le problème inverse. Leur présentation part des méthodes de résolution mathématiques jusqu'aux détails d'implémentation et à leur utilisation en pratique sur des tailles de problèmes réalistes. Un intérêt particulier est porté aux a priori induisant de la parcimonie et conduisant à l'optimisation de problèmes convexes non différentiables pour lesquels sont présentées des méthodes d'optimisation efficaces à base d'itérations proximales. La troisième partie porte sur l'utilisation des méthodes exposées précédemment afin d'estimer des cartes rétinotopiques dans le système visuel à l'aide de données MEG. La présentation porte à la fois sur les aspects expérimentaux liés au protocole d'acquisition jusqu'à la mise en oeuvre du problème inverse en exploitant des propriétés sur le spectre du signal mesuré. La contribution suivante ambitionne d'aller plus loin que la simple localisation d'activités par le problème inverse afin de donner accès à la dynamique de l'activité corticale. Partant des estimations de sources sur le maillage cortical, la méthode proposée utilise des méthodes d'optimisation combinatoires à base de coupes de graphes afin d'effectuer de façon robuste le suivi de l'activité au cours du temps. La dernière contribution de cette thèse porte sur l'estimation de paramètres sur des données M/EEG brutes non moyennées. Compte tenu du faible rapport signal à bruit, l'analyse de données M/EEG dites "simple essai" est un problème particulièrement difficile dont l'intérêt est fondamental afin d'aller plus loin que l'analyse de données moyennées en explorant la variabilité inter-essais. La méthode proposée utilise des outils récents à base de graphes. Elle garantit des optimisations globales et s'affranchit de problèmes classiques tels que l'initialisation des paramètres ou l'utilisation du signal moyenné dans l'estimation. L'ensemble des méthodes développées durant cette thèse ont été utilisées sur des données M/EEG réels afin de garantir leur pertinence dans le contexte expérimental parfois complexe des signaux réelles M/EEG. Les implémentations et les données nécessaires à la reproductibilité des résultats sont disponibles. Le projet de rétinotopie par l'exploitation de données de MEG a été mené en collaboration avec l'équipe du LENA au sein de l'hôpital de La Pitié-Salpêtrière (Paris).

Tous les problèmes définissables en \emph{logique monadique du second ordre } peuvent être résolus en temps polynomial dans les classes de graphes qui ont une \emph{largeur de clique} bornée. La largeur de clique est un paramètre de graphe défini de manière algébrique, c'est-à-dire, à partir d'opérations de composition de graphes. La \emph{largeur de rang}, définie de manière combinatoire, est une notion équivalente à la largeur de clique des graphes non orientés. Nous donnons une caractérisation algébrique de la largeur de rang et nous montrons qu'elle est linéairement bornée par la largeur arborescente. Nous proposons également une notion de largeur de rang pour les graphes orientés et une relation de \emph{vertex-minor} pour les graphes orientés. Nous montrons que les graphes orientés qui ont une largeur de rang bornée sont caractérisés par une liste finie de graphes orientés à exclure.<br>Beaucoup de classes de graphes n'ont pas une largeur de rang bornée, par exemple, les graphes planaires. Nous nous intéressons aux systèmes d'étiquetage dans ces classes de graphes. Un système d'étiquetage pour une propriété $P$ dans un graphe $G$, consiste à assigner une étiquette, aussi petite que possible, à chaque sommet de telle sorte que l'on puisse vérifier si $G$ satisfait $P$ en n'utilisant que les étiquettes des sommets. Nous montrons que si $P$ est une propriété définissable en \emph{logique du premier ordre} alors, certaines classes de graphes de \emph{largeur de clique localement bornée} admettent un système d'étiquetage pour $P$ avec des étiquettes de taille logarithmique. Parmi ces classes on peut citer les classes de graphes de degré borné, les graphes planaires et plus généralement les classes de graphes qui excluent un apex comme mineur et, les graphes d'intervalle unitaire.<br>Si $x$ et $y$ sont deux sommets, $X$ un ensemble de sommets et $F$ un ensemble d'arêtes, nous notons $Conn(x,y,X,F)$ la propriété qui vérifie dans un graphe donné si $x$ et $y$ sont connectés par un chemin, qui ne passe par aucun sommet de $X$ ni aucune arête de $F$. Cette propriété n'est pas définissable en logique du premier ordre. Nous montrons qu'elle admet un système d'étiquetage avec des étiquettes de taille logarithmique dans les graphes planaires. Nous montrons enfin que $Conn(x,y,X,\emptyset)$ admet également un système d'étiquetage avec des étiquettes de taille logarithmique dans des classes de graphes qui sont définies comme des \emph{combinaisons} de graphes qui ont une petite largeur de clique et telle que le graphe d'intersection de ces derniers est planaire et est de degré borné.

Cette thèse comporte trois parties. Dans la première partie, un problème d'allocation de fréquences, proposé par Alcatel, est modélisé en termes de coloration de graphes : un graphe est k-improprement l-colorable<br />s'il est possible, étant données l couleurs, d'attribuer une couleur à chacun de ses sommets de sorte que chaque sommet ait au plus k voisins de la même couleur que lui.<br />Différentes problématiques sont ensuite étudiées :<br />la coloration impropre (et la choisissabilité impropre) des<br />graphes de densité bornée (englobant le cas des graphes de genre borné et de maille donnée), celles des graphes d'intersection de disques unitaires (y compris<br />pour des instances aléatoires, et pour des ensembles de points infinis), ainsi que la coloration impropre pondérée des sous-graphes du réseau triangulaire.<br /><br />La deuxième partie regroupe différents problèmes de colorations de graphes, plus ou moins reliés au problème d'allocation de fréquences, pour lesquels nous avons obtenus de nouveaux résultats. Il s'agit de la coloration 3-faciale des graphes planaires, de la choisissabilité circulaire et de diverses généralisations de l'arête-coloration des graphes cubiques, en particulier par des éléments de groupes abéliens, et des triplets de Steiner.<br /><br />Dans la troisième partie, nous nous intéressons à un problème de reroutage de requêtes, sans perte de service, dans les réseaux WDM. Dans un premier temps, un nouvel invariant des graphes est introduit afin de modéliser cette question.<br />Comme il s'avère que ce paramètre est proche de celui, bien connu, de largeur arborescente linéaire (pathwidth), ce dernier nous a également intéressé et nous avons<br />obtenu de nouveaux résultats concernant la relation entre la largeur arborescente lineaire d'un graphe planaire extérieur 2-connexe et celle de son dual.