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Le groupe de Cremona de rang 2 est le groupe des transformations birationnelles du plan projectif. Le but de cette thèse est d'étudier et de construire des espaces hyperboliques sur lesquels le groupe de Cremona agit et qui permettent de mettre en œuvre des méthodes provenant de la théorie géométrique des groupes. Il est connu depuis une dizaine d'année que le groupe de Cremona agit sur un espace hyperbolique H analogue au plan hyperbolique classique mais de dimension infinie. Dans un premier temps, nous montrons que le groupe de Cremona défini sur un corps quelconque n'est pas simple en le faisant agir sur cet espace hyperbolique. Ceci prolonge un résultat déjà connu dans le cas d'un corps de base algébriquement clos. Nous nous intéressons ensuite à un graphe construit par D. Wright sur lequel agit le groupe de Cremona. Nous montrons qu'il ne possède pas la propriété que nous souhaitions, à savoir qu'il n'est pas hyperbolique au sens de Gromov. Nous construisons également un domaine fondamental pour l'action du groupe de Cremona sur H via la méthode des cellules de Voronoï. Nous caractérisons les applications du groupe de Cremona qui correspondent à un domaine adjacent au domaine fondamental. Cela nous permet de prouver que le graphe de Wright est quasi-isométrique au graphe dual à ce pavage. Nous obtenons ainsi une manière de retrouver le graphe de Wright dans H. Nous montrons enfin qu'en modifiant ce graphe dual, nous obtenons un graphe hyperbolique au sens de Gromov. Dans une dernière partie, nous nous intéressons à une autre propriété naturelle qui est la propriété CAT(0). Nous construisons un complexe cubique CAT(0) de dimension infinie muni d'une action naturelle du groupe de Cremona. / The Cremona group of rank 2 is the group of birational transformations of the projective plane. The aim of this thesis is to study and build some hyperbolic spaces with a natural action of the Cremona group. We want these spaces to have good geometric properties in order to use methods coming from geometric group theory. It is known that the Cremona group acts on a hyperbolic space H which is similiar to the classical hyperbolic plane but in infinite dimension. First, using this action, we show that the Cremona group is not simple over any field. This extends previous results over an algrebraic closed field. Then we study the Wrigth's graph. We show that it doesn't have the property we are looking for, in the sense that it is not Gromov hyperbolic. We build a fundamental domain for the action of the Cremona group on H 8 via Voronoï's cells. We characterize birational tranformations that correspond to adjacent domains of the fundamental domain. This allows us to prove that the Wright's graph is quasi-isometric to the dual graph of this tessellation. It's give us a way of realizing the Wright's graph inside H. Finally, we show that by modifying the dual graph we obtain a Gromov hyperbolic graph. In the last part, we are interested in another classical property which is the CAT(0) property. We build an infinite dimensional CAT(0) cubical complex which comes with a natural action of the Cremona group.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à deux thèmes d'analyse géométrique. Le premier concerne le comportement asymptotique des fonctions harmoniques en relation avec la géométrie, sur des graphes et des variétés. Nous étudions des critères de convergence au bord des fonctions harmoniques, comme celui de la bornitude non-tangentielle, de la finitude de l'énergie ou encore de la densité de l'énergie. Nous nous plaçons pour cela dans différents cadres comme les graphes hyperboliques au sens de Gromov, les variétés hyperboliques au sens de Gromov, les graphes de Diestel-Leader ou encore dans un cadre abstrait pour obtenir des résultats pour les points du bord minimal de Martin. Les méthodes probabilistes utilisées exploitent le lien entre les fonctions harmoniques et les martingales. Le deuxième thème abordé dans cette thèse concerne l'étude des propriétés des ensembles rectifiables de dimension 1 dans le groupe de Heisenberg, en relation avec des opérateurs d'intégrales singulières. Nous étendons à ce contexte sous-riemannien une partie des résultats de la théorie des ensembles uniformément rectifiables de David et Semmes. Nous obtenons notamment un théorème géométrique du voyageur de commerce qui fournit une condition pour qu'un ensemble Ahlfors-régulier du premier groupe de Heisenberg soit contenu dans une courbe Ahlfors-régulière. / In this thesis, we are interested in two topics of geometric analysis. The first one is concerned with the asymptotic behaviour of harmonic functions in connection with geometry on graphs and manifolds. We study criteria for convergence at boundary of harmonic functions such as non-tangential boundedness, finiteness of non-tangential energy or finiteness of the energy density. We deal with Gromov hyperbolic manifolds, Gromov hyperbolic graphs, Diestel-Leader graphs and with an abstract frame to obtain criteria at minimal Martin boundary points. The methods, coming from probability theory and metric geometry, use the relation between harmonic functions and martingales. The second topic concerns the rectifiability properties of 1-dimensional sets in the Heisenberg group in connection with the boundedness of singular integral operators. We extend to this sub-Riemannian setting parts of the theory of uniformly rectifiable sets due to David and Semmes. In particular, we obtain a geometric traveling salesman theorem which provides a condition for an Ahlfors regular set of the first Heisenberg group to be contained in an Ahlfors regular curve.

Les grands réseaux de communication sont partout, des centres de données avec des millions de serveurs jusqu’aux réseaux sociaux avec plusieurs milliards d’utilisateurs.Cette thèse est dédiée à l’étude fine de la complexité de différents problèmes combinatoires sur ces réseaux. Dans la première partie, nous nous intéressons aux propriétés des plongements des réseaux de communication dans les arbres. Ces propriétés aident à mieux comprendre divers aspects du trafic dans les réseaux (tels que la congestion). Plus précisément, nous étudions la complexité du calcul de l’hyperbolicité au sens de Gromov et de paramètres des décompositions arborescentes dans les graphes. Ces paramètres incluent la longueur arborescente (treelength) et l’épaisseur arborescente (treebreadth). Au passage, nous démontrons de nouvelles bornes sur ces paramètres dans de nombreuses classes de graphes, certaines d’entre elles ayant été utilisées dans la conception de réseaux d’interconnexion des centres de données. Le résultat principal dans cette partie est une relation entre longueur et largeur arborescentes (treewidth), qui est un autre paramètre très étudié des graphes. De ce résultat, nous obtenons une vision unifiée de la ressemblance des graphes avec un arbre, ainsi que différentes applications algorithmiques. Nous utilisons dans cette partie divers outils de la théorie des graphes et des techniques récentes de la théorie de la complexité / Large scale communication networks are everywhere, ranging from data centers withmillions of servers to social networks with billions of users. This thesis is devoted tothe fine-grained complexity analysis of combinatorial problems on these networks.In the first part, we focus on the embeddability of communication networks totree topologies. This property has been shown to be crucial in the understandingof some aspects of network traffic (such as congestion). More precisely, we studythe computational complexity of Gromov hyperbolicity and of tree decompositionparameters in graphs – including treelength and treebreadth. On the way, we givenew bounds on these parameters in several graph classes of interest, some of thembeing used in the design of data center interconnection networks. The main resultin this part is a relationship between treelength and treewidth: another well-studiedgraph parameter, that gives a unifying view of treelikeness in graphs and has algorithmicapplications. This part borrows from graph theory and recent techniques incomplexity theory. The second part of the thesis is on the modeling of two privacy concerns with social networking services. We aim at analysing information flows in these networks,represented as dynamical processes on graphs. First, a coloring game on graphs isstudied as a solution concept for the dynamic of online communities. We give afine-grained complexity analysis for computing Nash and strong Nash equilibria inthis game, thereby answering open questions from the literature. On the way, wepropose new directions in algorithmic game theory and parallel complexity, usingcoloring games as a case example