Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Le but de cette thèse est d’étudier les structures obtenues à partir des groupes de réflexion finis. Ce travail consiste en quatre articles publiés, un article soumis et un article en préparation dont les résultats partiels constituent un chapitre de cette thèse. Dans le premier article, nous présentons une réduction des orbites des groupes de Coxeter finis vers leurs sous-groupes. Nous utilisons des matrices de projection, c’est-à-dire, des applications qui transforment les racines simples d’un groupe de réflexion en les racines simples du sous-groupe associé. Les résultats présentés dans ce papier se concentrent sur les groupes finis de réflexion non crystallographiques. De plus, nous utilisons les polytopes engendrés par le groupe non crystallographique H3 pour illustrer les lois de ramification (branching rules), c’est-à-dire une réduction des orbites des groupes finis de Coxeter. Dans le deuxième article, nous étudions les polytopes avec 60 sommets engendrés par le groupe non crystallographique H3. Nous utilisons la méthode de décoration des diagrammes de Coxeter–Dynkin pour décrire leurs structures en détails et décomposer les sommets en somme des orbits de symétries de dimension inférieure. Le troisième article compare deux notations utilisées pour décrire le polyèdre engendré par le groupe de réflexion. Il s’agit du symbole de Schläfli et de la notation des points dominants. Nous y présentons les avantages de chaque méthode, expliquons les deux approches et nous les illustrons par des exemples. Dans le quatrième article, nous nous concentrons sur le graphène, c’est-à-dire un pavement d’hexagones sur le plan, qui possède de remarquables propriétés quand les sommets sont modélisés par des atomes de carbone. Dans ce travail, nous présentons différentes méthodes pour obtenir du graphène à partir de réseaux (lattices) et des orbites de dimension 3 des groupes finis de réflexion. De plus, une technique de coloriage des hexagones au moyen d’un nombre fini de couleurs est donnée avec une méthode systématique pour raffiner le graphène. Dans le cinquième article, nous utilisons des v fonctions spéciales et les transformations de Fourier pour traiter les données échantillonnées sur un réseau de carrés du groupe de Lie SU(2)×SU(2), relié au groupe de symétrie A1×A1. / The goal of this thesis is to study structures obtained from finite reflection groups. The work is contained in four published papers, one submitted article and a research paper currently in preparation, with partial results presented as a chapter of this thesis. In the first article, we present a reduction of the orbits of finite Coxeter groups to their subgroups. We use projection matrices, that is, mappings that transform the simple roots of a reflection group to the simple roots of the appropriate subgroup. The results presented in this paper focus on non-crystallographic finite reflection groups. Moreover, we use polytopes generated by the non-crystallographic group H3 to illustrate the obtained branching rules, i.e., reductions of orbits of the finite Coxeter groups. In the second article, we study polytopes with 60 vertices, generated by the non-crystallographic group H3. We use a method of decoration of the Coxeter–Dynkin diagram to describe their structure in detail, and decompose their vertices into sums of orbits of lower-dimensional symmetries. The third article compares two notations used to describe polyhedra generated by reflection groups, namely the Schläfli symbol, and the dominant point notation. Here, we present the advantages of each method, we explain the two approaches, and we illustrate them through examples. In the fourth article, we focus on graphene, i.e., a hexagonal tiling of the plane that possesses remarkable properties when the vertices are modelled with carbon atoms. In this work, we present different methods to obtain graphene from lattices and three-dimensional orbits of finite reflection groups. Moreover, a technique to colour the hexagons by a finite number of colours is provided, along with a systematic method to refine the graphene. In the fifth article, we use special functions and Fourier transforms to process data sampled on a square lattice of the Lie group SU(2) × SU(2), related to the A1 × A1 symmetry group.

Le nouveau conservatisme noir voit le jour dans les années 1975-1980 et s’impose comme une idéologie singulière, représentée par une élite intellectuelle (Thomas Sowell, Shelby Steele, Glenn Loury, Stephen L. Carter) graduellement institutionnalisée dans l’establishment conservateur. L’initiative personnelle, le self-help et le rejet des programmes politiques libéraux constituent les axes majeurs de cette doctrine. Les néoconservateurs afro-américains manifestent une grande confiance dans les principes économiques du libre-échange et rejettent l’interventionnisme d’État en faveur de la communauté raciale. L’attaque contre l’affirmative action s’accompagne du plaidoyer pour l’instauration de la norme de color blindness. Les actions entreprises dans le but de mettre un terme aux traitements préférentiels accordés aux minorités et aux femmes sont attentivement organisées par les acteurs de la droite américaine. Un réseau bien coordonné d’individus, des fondations conservatrices, organisations et groupes de réflexion se consacre à la promotion des stratégies color blind. Ward Connerly, homme d’affaires noir de Californie, est à la tête du mouvement pour l’abolition des traitements préférentiels accordés aux minorités et aux femmes. Bénéficiant d’un soutien fort de la part des institutions conservatrices, ses campagnes contre la politique préférentielle se concrétisent dans les États de Californie, du Washington, du Michigan et du Nebraska. / The new Black Conservatism emerges between 1975-1980 and is considered as a unique ideology. Its major representatives are intellectuals (Thomas Sowell, Shelby Steele, Glenn Loury, Stephen L. Carter) who are gradually “institutionalized” and integrated into the conservative establishment. Personal initiative, self-help and the contestation of liberal political programs represent the major axes of this ideology. Black neoconservatives greatly rely on the principles of free market economics and reject state interventionism in favor of the African-American community. Their attack on affirmative action is accompanied by attempts at instituting color blind politics. Actions undertaken in order to outlaw preferential treatment granted to minorities and women constitute a carefully organized operation. A well coordinated network of individuals, conservative foundations, organizations and think tanks are connected in this process and dedicate their efforts to advancing a color blind agenda. Ward Connerly, a black businessman from California, leads the movement for the abolition of preferential treatments granted to women and minorities. With the help of conservative institutions, his campaigns against preferential treatment put a ban of affirmative action in the States of California, Washington, Michigan and Nebraska.