Reproduction de : Thèse de doctorat : Mathématiques : Lyon 1 : 2004. / Titre provenant de l'écran titre. 33 réf. bibliogr.

Thèses (M.A.)--Université de Sherbrooke (Canada), 1998. / Titre de l'écran-titre (visionné le 20 juin 2006). Publié aussi en version papier.

Thèse (Ph. D.)--Université Laval, 2004. / Bibliogr.: f. 166-180. Publié aussi en version électronique.

Diss. : Philosophie : Basel : 1983. - Bibliogr. p. 197-203. Index. -

Th.--Topol. algébrique--Toulouse 3, 1980. N°: 938.

Th. 3e cycle--Math. pures--Lille 1, 1978. N°: 668.

Le groupe de Burnside libre d'exposant n, B(r,n), est le quotient du groupe libre de rang r par le sous-groupe engendré par les puissance n-ièmes de tous ses éléments. Ce groupe fut introduit en 1902 par W. Burnside qui demandait si un tel objet était nécessairement fini. Depuis les travaux de P.S. Novikov et S.I. Adian à la fin des années soixante, on sait que, pour des exposants suffisamment grands, la réponse est négative. Dans cette thèse on s'intéresse aux automorphismes extérieurs de B(r,n). En adaptant l'approche géométrique de la théorie de la petite simplification développée par T. Delzant et M. Gromov, on exhibe une large classe d'automorphismes du groupe libre qui induisent des éléments d'ordre infini de Out(B(r,n)). On montre aussi que Out(B(r,n)) contient des sous-groupes libres et abéliens libres.

Le but de la thèse est l'étude de certains "petits" groupes de rang de Morley fini. La conjecture de Cherlin-Zilber affirme que les groupes simples infinis de rang de Morley fini sont algébriques. Dans le cadre d'une approche inductive, "petit" doit signifier simple et minimal, dans le sens où le groupe ambiant est simple mais que toute section propre connexe en est résoluble. Le seul tel groupe algébrique est PSL2 ; la thèse est vouée à reconnaître ce groupe sous certaines hypothèses supplémentaires, et à limiter les pathologies sinon. On s'est placé en type impair, ce qui revient à attendre un corps (algébriquement clos) de caractéristique impaire ou nulle. L'identification de PSL2 (chapitre 3) ainsi que l'étude des éventuelles configurations non-algébriques (chapitre 5) repose essentiellement sur une notion d'unipotence en caractéristique nulle introduite par Burdges. Celle-ci permet dans le contexte simple connexe minimal de nombreux lemmes de rigidité, offrant ainsi une théorie complexe mais puissante des intersections de sous-groupes de Borel.

Un groupe est dit co-hopfien si tout endomorphisme injectif de ce groupe est un automorphisme. En utilisant la théorie de Bass-Serre, nous montrons sous quelles conditions certains graphes de groupes, ayant leurs groupes d'arêtes finis, ont des groupes fondamentaux co-hopfiens. Nous montrons aussi, en utilisant le scindement JSJ de Bowditch, que tout groupe hyperbolique à un bout est co-hopfien. Ce résultat généralise un résultat de Sela au cas avec torsion. Nous terminons avec un algorithme général décidant, étant donné un groupe hyperbolique, si ce groupe est co-hopfien ou non.

Nous étudions la clôture algébrique et définissable dans les groupes libres. Les résultats principaux peuvent être résumés comme suit. Nous montrons un résultat de constructibilité des groupes hyperboliques sans torsion au-dessus de la clôture algébrique d'un sous-ensemble engendrant un groupe non abélien. Nous avons cherché à comprendre la place qu'occupe la clôture algébrique acl_G(A) dans certaines décompositions de G. Nous avons étudié la possibilité de la généralisation de la méthode de Bestvina-Paulin dans d'autres directions, en considérant les groupes de type fini qui agissent d'une manière acylindrique (au sens de Bowditch) sur les graphes hyperboliques. Enfin, nous avons étudié les relations qui existent entre les différentes notions de clôture algébrique et entre la clôture algébrique et la clôture définissable.