Nous étudions certaines décompositions de M en polyèdres idéaux, où M est une variété hyperbolique à pointe(s), de dimension 3. Par un théorème d'Epstein et Penner, il existe une telle décomposition, dite ``de Delaunay'', canonique en un sens géométrique. <br /><br />Au chapitre 1 nous trouvons la décomposition de Delaunay quand M fibre sur le cercle avec pour fibre un tore percé. La méthode consiste à ``deviner'' la <br />combinatoire de la décomposition, puis à trouver des angles dièdres positifs pour ses polyèdres combinatoires : un théorème de Rivin dit que tout point critique de la fonctionelle volume dans l'espace de déformation des angles dièdres fournit la métrique hyperbolique. Les inégalités établies pour montrer l'existence d'un tel point critique permettent alors de vérifier que la décomposition est bien de Delaunay. <br /><br />Au chapitre 2 nous étendons la méthode à certains complémentaires d'entrelacs (entrelacs à 2 ponts notamment). Au chapitre 3 nous l'étendons aux coeurs convexes de groupes quasi-fuchsiens du tore percé (la décomposition est alors infinie, et certaines <br />pièces ne sont pas des polyèdres). Nous obtenons ainsi une nouvelle preuve du théorème des laminations de plissage pour le tore percé. Au chapitre 4, nous étendons partiellement la méthode aux complémentaires d'entrelacs arborescents : sans <br />trouver de point critique, nous caractérisons les entrelacs arborescents hyperboliques. <br /><br />Au chapitre 5, qui éclaire un passage du chapitre 3, nous montrons que certains polynômes de Laurent, qui généralisent les nombres de Markoff, n'ont que des coefficients positifs.

Cette thèse concerne l'étude de l'exposant critique associé à un groupe de surface dans deux cas. Le premier fait l'étude de l'action diagonale par deux représentations de l'espace de Teichmüller sur le produit de plans hyperboliques. Le second correspond à l'action quasi-Fuchsienne sur l'espace hyperbolique de dimension 3. Elle contient un chapitre de préliminaires détaillées introduisant les différents outils mathématiques nécessaires à la compréhension générale des énoncés et des preuves. L'étude de l'exposant critique sur H2*H2 correspond aux chapitre 2 et 3. Dans le second on y fait l'étude approfondie de la courbe de Manhattan, telle que définie par M. Burger, et des invariants qui lui sont associés (exposant critique, exposant critique directionnel, coefficient de corrélation). Dans le troisième, on y prouve le résultat principal de la première partie, un théorème d'isolation, précisant un résultat de rigidité de Bishop-Steger. Le dernier chapitre correspond à l'étude de l'exposant critique des groupes quasi-Fuchsiens. On y prouve deux inégalités entre l'entropie volumiques des surfaces plongées et l'exposant critique. On précise les cas d'égalités ce qui permet d'obtenir deux théorèmes de rigidité de l'exposant critique. / This aim of this thesis is the study of the critical exponent associated to a surface group acting on two different spaces. First we study the diagonal action of two teichmuller representations on the product of hyperbolic planes. Then we study quasi-Fuchsian action on the hyperbolic 3-space. The first chapter is dedicated to introduce the basic notions we need to understand the different theorems and proofs in the thesis. The study of critical exponent on H2*H2 is made in chapters 2 and 3. In chapter 2 we study the Manhattan curve, as defined by M. Burger, and more or less classical invariants as critical exponent, critical exponent with given slope, correlation coefficient. In chapter 3, we survey some results on geometric Teichmüller theory, as geodesic currents and earthquakes. We conclude this Chapter by the principal theorem of this first part, that is to say, an isolation result, improving a rigidity result of Bishop-Steger. In the last chapter, we study quasi-Fuchsian representations. The main result is an inequality between critical exponent and volume entropy of embedded surfaces. Moreover we precise the equality case, which gives a theorem of rigidity for the critical exponent.