Submitted by Pedro Barros (pedro.silvabarros@ufpe.br) on 2018-06-21T19:32:37Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) TESE Thiago Araújo de Albuquerque Mendonça.pdf: 1824734 bytes, checksum: 799adee8eeb52852e2ec399fcc187069 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-06-21T19:32:37Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) TESE Thiago Araújo de Albuquerque Mendonça.pdf: 1824734 bytes, checksum: 799adee8eeb52852e2ec399fcc187069 (MD5) Previous issue date: 2017-02-23 / CAPES / Consideramos o problema das superfícies com ângulo constante nos espaços de BianchiCartan-Vranceanu (espaços BCV). Especificamente, no grupo especial linear SL(2,R), nas Esferas de Berger e no grupo de Heisenberg tridimensional Nil3. Primeiramente, apresentamos esta família de espaços BCV e descrevemos suas geometrias em termos de um referencial especifico, em seguida damos alguns aspectos gerais sobre o comportamento local de uma superfície com ângulo constante isometricamente imersas nestes espaços. Em seguida, dividindo o trabalho em duas partes, estudamos aspectos da geometria tridimensional destes três espaços. A primeira parte é dedicada a alguns aspectos gerais dessa geometria: introduzimos um sistema de coordenadas, e nelas calculamos sua métrica, a conexão Riemanniana nesta base e as suas curvaturas seccionais. Na segunda parte, mostramos a existência de duas curvas com propriedades especiais, peças fundamentais para a construção da superfície, e a partir delas, damos uma nova abordagem para uma classificação global completa destas superfícies e investigamos propriedades geométricas tais como completude, extensibilidade e invariância por subgrupo a um parâmetro. / We consider the problem of constant angle surfaces in the Bianchi-Cartan-Vranceanuspaces. Specifically in the linear special group SL(2,R), Berger sphere and three-dimensional Heisenberg group Nil3. First, we introduce the family of BCV spaces and describe their geometries in terms of a specific frame, then we give some general aspects about the local behavior of a surface with constant angle isometrically immersed in these spaces. Then, we study aspects of the three-dimensional geometry of the three above mentioned: we introduce a coordinate system, calculate the metric and the Riemannian connection in coordinates and compute its sectional curvatures. Finally, we show the existence of two curves with special properties, which will be fundamental pieces for the construction of a constan angle surface. From this construction we give a new approach to a complete global classification of these surfaces and investigate geometric properties such as completeness, extensibility and invariance under a one-parameter subgroup of isometries.

The aim of this work is to establish precisely what are the functorial connections between the abstract theories of quadratic forms, as well as, to create a short and introductory path from the classic theory to the abstract ones. There is a large amount of literature developed about classic and abstract theories but does note relate them ``geographically\'\'. In this perspective, we discuss the fundamental aspects of the classic and reduced theory of quadratic forms, and sum up the theories of Quaternionic Structures, Cordes Schemes, Abstract Witt Rings, Abstract Ordering Spaces, Special Groups, Abstract Real Spectra and Real Semigroups in a functorial picture, inserting the new aspects involve the recent theory of Multirings and Multifields. / O principal objetivo deste trabalho é estabelecer precisamente quais são as conexões funtoriais entre as teorias abstratas de formas quadráticas, criando uma via introdutória entre a teoria clássica e as abstratas durante este processo. Há uma gama de literatura desenvolvida tanto na teoria clássica quanto nas abstratas, mas nenhuma intercalando-as ``geograficamente\'\'. Nesta perspectiva, discutiremos os aspectos fundamentais da teoria clássica e reduzida de formas quadráticas, encapsulando as teorias das Estruturas Quaterniônicas, Esquemas de Cordes, Anéis de Witt Abstratos, Espaços de Ordens Abstratos, Grupos Especiais, Espectro Real Abstratos e Semigrupos Reais em um quadro funtorial, inserindo os novos elementos envolvendo a teoria recente dos Multi-anéis e Multi-corpos.

A presente tese aborda dois problemas distintos e independentes: triangularização de sistemas não-lineares com duas entradas e controle de sistemas sem arrasto que evoluem no grupo especial unitário SU(n). Em relação ao primeiro, estabeleceu-se, através da generalização de resultados bem conhecidos, condições geométricas para que um sistema com duas entradas seja descrito por uma forma triangular específica após uma mudança de coordenadas e uma realimentação de estado estática regular. Para o segundo problema, desenvolveu-se uma estratégia de controle que força o estado do sistema a rastrear assintoticamente uma trajetória de referência periódica que passa por um estado objetivo arbitrário. O método de controle proposto utiliza os resultados de convergência de tipo- Lyapunov que foram estabelecidos pela presente pesquisa e que tiveram como inspiração uma versão periódica do princípio da invariância de LaSalle. Apresentou-se, ainda, os resultados de simulação obtidos com a aplicação da técnica de controle desenvolvida a um sistema quântico consistindo de duas partículas de spin-1/2, com o objetivo de gerar a porta lógica quântica C-NOT. / This thesis treats two distinct and independent problems: triangularization of nonlinear systems with two inputs and control of driftless systems which evolve on the special unitary group SU(n). Concerning the first, one has established, by means of the generalization of well-known results, geometric conditions for a system with two inputs to be described by a specific triangular form after a change of coordinates and a regular static state feedback. For the second problem, one has developed a control strategy that forces the state of the system to track in an asymptotic manner a periodic reference trajectory which passes by an arbitrary goal state. The proposed control method uses Lyapunovlike convergence results that were established in this research and which were inspired in a periodic version of LaSalles invariance principle. Furthermore, one has shown the simulation results obtained from the application of the developed control technique to a quantum system consisting of two spin-1/2 particles, with the aim of generating the C-NOT quantum logic gate.

A presente tese aborda dois problemas distintos e independentes: triangularização de sistemas não-lineares com duas entradas e controle de sistemas sem arrasto que evoluem no grupo especial unitário SU(n). Em relação ao primeiro, estabeleceu-se, através da generalização de resultados bem conhecidos, condições geométricas para que um sistema com duas entradas seja descrito por uma forma triangular específica após uma mudança de coordenadas e uma realimentação de estado estática regular. Para o segundo problema, desenvolveu-se uma estratégia de controle que força o estado do sistema a rastrear assintoticamente uma trajetória de referência periódica que passa por um estado objetivo arbitrário. O método de controle proposto utiliza os resultados de convergência de tipo- Lyapunov que foram estabelecidos pela presente pesquisa e que tiveram como inspiração uma versão periódica do princípio da invariância de LaSalle. Apresentou-se, ainda, os resultados de simulação obtidos com a aplicação da técnica de controle desenvolvida a um sistema quântico consistindo de duas partículas de spin-1/2, com o objetivo de gerar a porta lógica quântica C-NOT. / This thesis treats two distinct and independent problems: triangularization of nonlinear systems with two inputs and control of driftless systems which evolve on the special unitary group SU(n). Concerning the first, one has established, by means of the generalization of well-known results, geometric conditions for a system with two inputs to be described by a specific triangular form after a change of coordinates and a regular static state feedback. For the second problem, one has developed a control strategy that forces the state of the system to track in an asymptotic manner a periodic reference trajectory which passes by an arbitrary goal state. The proposed control method uses Lyapunovlike convergence results that were established in this research and which were inspired in a periodic version of LaSalles invariance principle. Furthermore, one has shown the simulation results obtained from the application of the developed control technique to a quantum system consisting of two spin-1/2 particles, with the aim of generating the C-NOT quantum logic gate.