Title: Model Problems of the Theory of Gravitation Author: Marián Pilc Department: Institute of Theoretical Physics Faculty of Mathematics and Physics Supervisor: prof. RNDr. Jiří Bičák, DrSc., dr. h. c., Institute of Theoretical Physics Faculty of Mathematics and Physics Abstract: Equations of motion for general gravitational connection and orthonormal coframe from the Einstein-Hilbert type action of the Einstein-Cartan theory are derived. Ad- ditional gauge freedom is geometrically interpreted. Our formulation does not fix coframe to be tangential to spatial section hence Lorentz group is still present as part of gauge freedom. 3+1 decomposition introduces tangent Minkowski structures hence Hamilton-Dirac approach to dynamics works with Lorentz connection over spatial sec- tion. The second class constraints are analyzed and Dirac bracket is defined.Reduction of phase space is performed and canonical coordinates are introduced. The second part of this thesis is dedicated to quantum formulation of Einstein-Cartan theory. Point version of Einstein-Cartan phase space is introduced. Basic variables, crucial for quan- tization, are derived via groups acting on the phase space and their selfadjoint represen- tation is found. Representation of basic variables of Einstein-Cartan theory is derived via infinite...

We derive two hierarchies of 1+1 dimensional soliton-type integrable systems from two spectral problems associated with the Lie algebra of the special orthogonal Lie group SO(3,R). By using the trace identity, we formulate Hamiltonian structures for the resulting equations. Further, we show that each of these equations can be written in Hamiltonian form in two distinct ways, leading to the integrability of the equations in the sense of Liouville. We also present finite-dimensional Hamiltonian systems by means of symmetry constraints and discuss their integrability based on the existence of sufficiently many integrals of motion.

Cette thèse propose une analyse mathématique des modèles cinétiques en présence d'un champ magnétique intense.L'objectif de ce projet est le développement d'outils mathématiques nécessaires à la modélisation des plasmas de fusion. Les phénomènes physiques rencontrés dans les plasmas de fusion mettent en jeu des échelles caractéristiques disparates. L'interaction entre ces ordres de grandeurs est un enjeu important et requiert une analyse multi-échelle. Il s'agit d'un problème d'homogénéisation par rapport au mouvement rapide de rotation des particules autour des lignes de champ magnétique. Nous étudions le régime du rayon de Larmor fini pour le système de Vlasov-Poisson, dans le cadre de champs magnétiques uniformes, en appliquant les méthodes de gyro-moyenne. Nous donnons l'expression explicite du champ d'advection effectif de l'équation de Vlasov, dans laquelle nous avons substitué le champ électrique auto-cohérent, via la résolution de l'équation de Poisson moyennée à l'échelle cyclotronique. Nous mettons en évidence la structure hamiltonienne du modèle limite et présentons ses propriétés : conservations de la masse, de l'énergie cinétique, de l'énergie électrique, etc.Nous généralisons ensuite cette étude dans le cadre de champs magnétiques non uniformes. Comme précédemment, les principales propriétés des modèles limites sont mises en évidence : conservations de la masse, de l'énergie, structure hamiltonienne.Nous prenons en compte également les effets collisionnels, en présence d'un champ magnétique intense. Après identification des équilibres et invariants du noyau de collision moyenné, on s'intéresse à la dérivation de modèles fluides. / This thesis proposes a mathematical analysis of kinetic models in the presence of strong magnetic fields.The objective of this project is the development of mathematical tools required for modelisation of fusion plasmas. The physical phenomena encountered in fusion plasmas involve disparate characteristic scales. The interaction between these orders of magnitude is an important issue and requires a multi-scale analysis. We appeal to homogenization techniques with respect to the fast rotation motion around the magnetic field lines.We study the finite Larmor radius regime for the Vlasov-Poisson system, in the framework of uniform magnetic fields, by appealing to gyro-average methods. We indicate the explicit expression of the effective advection field entering the Vlasov equation, after substituting the self-consistent electric field, obtained by the resolution of the averaged (with respect to the cyclotronic time scale) Poisson equation. We emphasize the hamiltonian structure of the limit model and present its properties : conservation of mass, of kinetic energy, of electric energy, etc.Then we generalize this study to general magnetic shapes. As before, the main properties of the limit model are emphasized : mass and energy balances, hamiltonian structure.We also take into account the collisional effects, under strong magnetic fields. After identifying the equilibria and the invariants of the average collision operator, we inquire about fluid models.

L’objectif de ce travail est de proposer de nouvelles stratégies de commande non linéaire pour la stabilisation des Réacteurs Parfaitement Agités Continus (RPAC). Pour cela, nous utilisons d’une part, l’approche thermodynamique entropique. Plus précisément, nous utilisons la notion de disponibilité thermodynamique et les propriétés de la thermodynamique irréversible pour définir une fonction de Lyapunov utilisable pour la stabilisation du système en boucle fermée. Nous proposons aussi une fonction disponibilité réduite afin d’obtenir des lois stabilisantes plus performantes en terme de sollicitation des actionneurs. D’autre part, nous proposons une extension du formalisme (pseudo) hamiltonien à ports dissipatifs aux réacteurs chimiques ouverts. Nous montrons que l’Hamiltonien est lié à l’enthalpie libre de Gibbs dans le cas isotherme et à l’ectropie (opposée de l’entropie) dans le cas non isotherme. Par ce formalisme, la dissipation du système représente la production irréversible d’entropie due à la réaction chimique. Nous appliquons ensuite les techniques de commande passive (modelage de l’énergie) pour la synthèse de lois de commande en choisissant la disponibilité thermodynamique comme fonction hamiltonienne à modeler en boucle fermée. Finalement, nous montrons que les commandes synthétisées par l’approche thermodynamique entropique et la formulation pseudo-hamiltonienne sont, dans certains cas, équivalentes. Certaines propriétés relatives à la stabilisation et l’admissibilité des commandes sont aussi considérées. Les développements théoriques sont mis en oeuvre sur des exemples différents de RPAC : un réacteur académique et l’hydrolyse par catalyse acide de l’oxirane-méthanol en glycérine. / The goal of this thesis is to propose new nonlinear control strategies for the stabilization of perfectly Continuous Stirred Tank Reactors (CSTR). To achieve this goal, we use on the one hand, the entropic thermodynamic approach. More precisely, we use the thermodynamic availability concept and the properties of irreversible thermodynamics to define a Lyapunov function candidate for the stabilization of the closed loop system. We also propose a reduced availability function to design more efficient feedback laws in term of control variable solicitations. On the other hand, we propose an extension of the (pseudo) Hamiltonian formalism associated to dissipative systems to open chemical reactors. We show that the Hamiltonian is linked to the Gibbs free enthalpy in the isothermal case and to ectropy (opposed to entropy) in the non isothermal case. By this formalism, the dissipation of the system represents the irreversible entropy production due to chemical reaction. The Interconnection and Damping Assignment-Passivity Based Control (IDA-PBC) approach is then applied to synthesize feedback laws by choosing the thermodynamic availability as desired closed loop hamiltonian storage function. Finally, we show that feedback laws synthetized by the entropic thermodynamic approach and the pseudo-hamiltonian formulation are equivalent in some cases. Some stabilization properties and the control input admissibility are also considered. Theoretical developments are illustrated on some different CSTR examples : an academic case study and the acid catalyzed hydration of oxirane-methanol to glycerol.

La relativité générale représente la description la plus précise de l'interaction gravitationnelle. Cependant, alors que la matière est régie par les lois de la mécanique quantique, la gravitation, elle, est une théorie fondamentalement classique. A l'échelle de Planck, c'est-à-dire à des distances d'environ 10E-35 mètres, les effets quantiques et ceux de la gravitation deviennent tous deux importants. A l'heure actuelle, un langage mathématique unifié et décrivant les effets physiques à cette échelle est toujours manquant. Il existe néanmoins plusieurs théories candidates à cette description, et l'une d'entre elles, la gravité quantique à boucles, est l'objet d'étude de cette thèse.Afin de tester si une théorie candidate peur fournir une description appropriée des propriétés quantiques du champ de gravitation, elle doit présenter une certaine cohérence interne du point de vue mathématique, et aussi être en accord avec les tests expérimentaux de la relativité générale. Le but de cette thèse est de développer certains outils mathématiques qui éclairent ces conditions de consistance interne, et qui permettent d'établir un lien entre différentes formulations de la théorie. / General relativity is the most precise theory of the gravitational interaction. It is a classical field theory. All matter, on the other hand, follows the rules of quantum theory. At the Planck scale, at about distances of the order of 10E-35 meters, both theories become equally important. Today, theoretical physics lacks a unifying language to explore what happens at this scale, but there are several candidate theories available. Loop quantum gravity is one them, and it is the main topic of this thesis. To see whether a particular proposal is a viable candidate for a quantum theory of the gravitational field it must be free of internal inconsistencies, and agree with all experimental tests of general relativity. This thesis develops mathematical tools to check these.