Cette thèse propose une analyse mathématique des modèles cinétiques en présence d'un champ magnétique intense.L'objectif de ce projet est le développement d'outils mathématiques nécessaires à la modélisation des plasmas de fusion. Les phénomènes physiques rencontrés dans les plasmas de fusion mettent en jeu des échelles caractéristiques disparates. L'interaction entre ces ordres de grandeurs est un enjeu important et requiert une analyse multi-échelle. Il s'agit d'un problème d'homogénéisation par rapport au mouvement rapide de rotation des particules autour des lignes de champ magnétique. Nous étudions le régime du rayon de Larmor fini pour le système de Vlasov-Poisson, dans le cadre de champs magnétiques uniformes, en appliquant les méthodes de gyro-moyenne. Nous donnons l'expression explicite du champ d'advection effectif de l'équation de Vlasov, dans laquelle nous avons substitué le champ électrique auto-cohérent, via la résolution de l'équation de Poisson moyennée à l'échelle cyclotronique. Nous mettons en évidence la structure hamiltonienne du modèle limite et présentons ses propriétés : conservations de la masse, de l'énergie cinétique, de l'énergie électrique, etc.Nous généralisons ensuite cette étude dans le cadre de champs magnétiques non uniformes. Comme précédemment, les principales propriétés des modèles limites sont mises en évidence : conservations de la masse, de l'énergie, structure hamiltonienne.Nous prenons en compte également les effets collisionnels, en présence d'un champ magnétique intense. Après identification des équilibres et invariants du noyau de collision moyenné, on s'intéresse à la dérivation de modèles fluides. / This thesis proposes a mathematical analysis of kinetic models in the presence of strong magnetic fields.The objective of this project is the development of mathematical tools required for modelisation of fusion plasmas. The physical phenomena encountered in fusion plasmas involve disparate characteristic scales. The interaction between these orders of magnitude is an important issue and requires a multi-scale analysis. We appeal to homogenization techniques with respect to the fast rotation motion around the magnetic field lines.We study the finite Larmor radius regime for the Vlasov-Poisson system, in the framework of uniform magnetic fields, by appealing to gyro-average methods. We indicate the explicit expression of the effective advection field entering the Vlasov equation, after substituting the self-consistent electric field, obtained by the resolution of the averaged (with respect to the cyclotronic time scale) Poisson equation. We emphasize the hamiltonian structure of the limit model and present its properties : conservation of mass, of kinetic energy, of electric energy, etc.Then we generalize this study to general magnetic shapes. As before, the main properties of the limit model are emphasized : mass and energy balances, hamiltonian structure.We also take into account the collisional effects, under strong magnetic fields. After identifying the equilibria and the invariants of the average collision operator, we inquire about fluid models.

L'objectif principal de la thèse est d'établir un modèle sous forme hamiltonienne à ports pour la dynamique du plasma dans les réacteurs de fusion de type tokamak, puis de démontrer le potentiel de cette approche pour aborder les problèmes d'intégration numérique et de commande non linéaire. Les bilans thermo-magnéto-hydrodynamiques, écrits sous forme hamiltonienne à ports à l'aide de structures Stokes-Dirac, conduisent à un modèle 3D “ multi-physique ” du plasma. Ensuite, un modèle 1D équivalent au modèle de diffusion résistive est obtenu en supposant les mêmes hypothèses d'équilibre quasi-statique et de symétries. Un schéma symplectique de réduction spatiale de ce modèle 1D qui préserve la structure du modèle et ses invariants est établi. Il ouvre la voie à des travaux ultérieurs de commande non linéaire fondés sur la structure géométrique d'interconnexion et les bilans du modèle. La commande IDA-PBC (Interconnection and Damping Assignment - Passivity Based Control) basée sur la passivité du modèle est d'abord synthétisée pour ce système en dimension finie. Finalement, une commande IDA-PBC associée avec la commande à la frontière est proposée pour le système en dimension infinie. Les controlleurs sont testés et validés avec les simulateurs des tokamak (METIS pour le Tore Supra de CEA/ Cadarache, et RAPTOR pour le TCV de l'EPFL Lausanne, Suisse). / The modelling and analysis of the plasma dynamics in tokamaks using the port-Hamiltonian approach is the main project purpose. Thermo-mMagnetohydrodynamics balances have been written in port-Hamiltonian form using Stokes-Dirac interconnection structures and 3D differential forms. A simplified 1D model for control has been derived using quasi-static and symmetry assumptions. It has been proved to be equivalent to a classical 1D control model: the resistive diffusion model for the poloidal magnetic flux. Then a geometric spatial integration scheme has been developped. It preserves both the symplecticity of the Dirac interconnection structure and physically conserved extensive quantities. This will allow coming works on energy-based approaches for the non linear control of the plasma dynamics.An Interconnection and Damping Assignment - Passivity Based Control (IDA-PBC) , the most general Port-Hamiltonian control, is chosen first to deal with the studied Tokamak system. It is based on a model made of the two coupled PDEs of resistive diffusion for the magnetic poloidal flux and of radial thermal diffusion. The used TMHD couplings are the Lorentz forces (with non-uniform resistivity) and the bootstrap current. The loop voltage at the plasma boundary, the total external current and the plasma heating power are considered as controller outputs. Due to the actuator constraints which imply to have a physically feasible current profile deposits, a feedforward control is used to ensure the compatibility with the actuator physical capability. Then, the IDA-PBC controllers, both finite-dimensional and infinite-dimensional, are designed to improve the system stabilization and convergence speed. The proposed works are validated against the simulation data obtained from the Tore-Supra WEST (CEA/Cadarache, France) test case and from RAPTOR code for the TCV real-time control system (CRPP/ EPFL, Lausanne, Switzerland).

La relativité générale représente la description la plus précise de l'interaction gravitationnelle. Cependant, alors que la matière est régie par les lois de la mécanique quantique, la gravitation, elle, est une théorie fondamentalement classique. A l'échelle de Planck, c'est-à-dire à des distances d'environ 10E-35 mètres, les effets quantiques et ceux de la gravitation deviennent tous deux importants. A l'heure actuelle, un langage mathématique unifié et décrivant les effets physiques à cette échelle est toujours manquant. Il existe néanmoins plusieurs théories candidates à cette description, et l'une d'entre elles, la gravité quantique à boucles, est l'objet d'étude de cette thèse.Afin de tester si une théorie candidate peur fournir une description appropriée des propriétés quantiques du champ de gravitation, elle doit présenter une certaine cohérence interne du point de vue mathématique, et aussi être en accord avec les tests expérimentaux de la relativité générale. Le but de cette thèse est de développer certains outils mathématiques qui éclairent ces conditions de consistance interne, et qui permettent d'établir un lien entre différentes formulations de la théorie. / General relativity is the most precise theory of the gravitational interaction. It is a classical field theory. All matter, on the other hand, follows the rules of quantum theory. At the Planck scale, at about distances of the order of 10E-35 meters, both theories become equally important. Today, theoretical physics lacks a unifying language to explore what happens at this scale, but there are several candidate theories available. Loop quantum gravity is one them, and it is the main topic of this thesis. To see whether a particular proposal is a viable candidate for a quantum theory of the gravitational field it must be free of internal inconsistencies, and agree with all experimental tests of general relativity. This thesis develops mathematical tools to check these.