En abordant les nombres spéciaux comme les sommes harmoniques ou les polyzêtassous leur aspect combinatoire, nous introduisons d’abord la définition d’un produitentre mots, dit produit de quasi-mélange q-déformé, une généralisation des produits demélange et de quasi-mélange, ce qui nous permet de construire des structures complètesd’algèbre de Hopf en dualité. En même temps, nous construisons des bases en dualité,contenant des bases de transcendance associées aux mots de Lyndon, et des formules explicitessur lesquelles les sommes harmoniques, les polyzêtas ou les polylogarithmes sontindexés et représentés par la factorisation de la série génératrice noncommutative diagonale.De cette façon, nous déterminons des développements asymptotiques des sommesharmoniques, indexées par ces bases, grâce à leur série génératrice et à la formule d’EulerMaclaurin. Nous établissons également une équation de liaison sur les polyzêtas, quiapparaissent comme les parties finies des développements asymptotiques des sommesharmoniques et des polylogarithmes, reliant entre elles deux structures algébriques. Enidentifiant les coordonnées locales de cette équation, nous trouvons des relations polynomialeshomogènes, en poids, entre les polyzêtas. Pour accompagner cette étude théorique,nous proposons des algorithmes et un package en Maple afin de calculer des bases, lastructure des polyzêtas et des développements asymptotiques des sommes harmoniques. / Approaching special numbers as harmonic sums or polyzetas (multiple zetavalues) in the spirit of combinatorics, we first focus on the study of algebraic structureson words by introducing the definition of a product on words, called q-stuffle product, acommon generalisation of shuffle and quasi-shuffle products, which allows us to completelyconstruct Hopf algebras in duality. Simutaneously, we establish recurrent formulas inorder to compute bases in duality, containing transcendence bases tied to Lyndon wordson which harmonic sums, the polyzetas and polylogarithms are indexed. We use them torepresent the factorization of a diagonal noncommutative generating series. In this respect,we determine asymptotic expansions of harmonic sums thanks to their generatingseries and to Euler Maclaurin formula. We also establish a bridge equation of polyzetas,which appear as fini parts in asymptotic expansions of harmonic sums and of polylogarithms,linking two algebraic structures. Through identification of local coordinates of thisequation, we can deduce homogenous, in weight, polynomial relations among polyzetasindexed on the bases.We also give algorithms and a package in Maple which, in practice,allowed us to find results and examples within this thesis.

Dans ce travail, nous nous intéressons aux problèmes relatifs aux polylogarithmes et aux sommes harmoniques pris en les multiindices négatifs(au sens large, appelés dans la suite non-positifs) et en les indices mixtes. Notre étude donnera des résultats généraux sur ces objets en relation avec les algèbres de Hopf. Les techniques utilisées sont basées sur la combinatoire des séries formelles non commutatives, formes linéaires sur l’algèbre de Hopf de φ−Shuffle. Notre travail donnera aussi un processus global pour renormaliser les polyzetâs divergents. Enfin, nous appliquerons les structures mises en évidence aux systèmes dynamiques non linéaires avec entrées singulières. / In this memoir are studied the polylogarithms and the harmonic sums at non-positive (i.e. weakly negative) multi-indices. General results about these objects in relation with Hopf algebras are provided. The technics exploited here are based on the combinatorics of non commmutative generating series relative to the Hopf φ−Shuffle algebra. Our work will also propose a global process to renormalize divergent polyzetas. Finally, we will apply these ideas to non-linear dynamical systems with singular inputs.