On étudie les relations algébriques sur le corps des nombres rationnels entre les nombres polyzêtas (généralisations à plusieurs indices des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers positifs).<br /><br />Après avoir dressé une liste de relations algébriques considérées comme élémentaires, j'explore l'algèbre des "polyzêtas formels" définie par ces relations (et elles seules). Je mets en évidence une structure de torseur sur l'ensemble DM des séries génératrices non-commutatives de polyzêtas "formels". Ce torseur est imité du torseur des associateurs, défini par Drinfel'd. Ils sont tous deux réalisés comme ensembles de séries formelles non-commutatives sur deux lettres et leurs lois d'actions sont données par les mêmes formules. On en déduit facilement que l'algèbre des polyzêtas formels est une algèbre de polynômes (théorème d'Écalle). L'intersection du groupe pro-unipotent DM et du groupe GRT de Drinfel'd (lié aux associateurs) est très grosse et il est naturel de conjecturer que ces groupes sont égaux.

En abordant les nombres spéciaux comme les sommes harmoniques ou les polyzêtassous leur aspect combinatoire, nous introduisons d’abord la définition d’un produitentre mots, dit produit de quasi-mélange q-déformé, une généralisation des produits demélange et de quasi-mélange, ce qui nous permet de construire des structures complètesd’algèbre de Hopf en dualité. En même temps, nous construisons des bases en dualité,contenant des bases de transcendance associées aux mots de Lyndon, et des formules explicitessur lesquelles les sommes harmoniques, les polyzêtas ou les polylogarithmes sontindexés et représentés par la factorisation de la série génératrice noncommutative diagonale.De cette façon, nous déterminons des développements asymptotiques des sommesharmoniques, indexées par ces bases, grâce à leur série génératrice et à la formule d’EulerMaclaurin. Nous établissons également une équation de liaison sur les polyzêtas, quiapparaissent comme les parties finies des développements asymptotiques des sommesharmoniques et des polylogarithmes, reliant entre elles deux structures algébriques. Enidentifiant les coordonnées locales de cette équation, nous trouvons des relations polynomialeshomogènes, en poids, entre les polyzêtas. Pour accompagner cette étude théorique,nous proposons des algorithmes et un package en Maple afin de calculer des bases, lastructure des polyzêtas et des développements asymptotiques des sommes harmoniques. / Approaching special numbers as harmonic sums or polyzetas (multiple zetavalues) in the spirit of combinatorics, we first focus on the study of algebraic structureson words by introducing the definition of a product on words, called q-stuffle product, acommon generalisation of shuffle and quasi-shuffle products, which allows us to completelyconstruct Hopf algebras in duality. Simutaneously, we establish recurrent formulas inorder to compute bases in duality, containing transcendence bases tied to Lyndon wordson which harmonic sums, the polyzetas and polylogarithms are indexed. We use them torepresent the factorization of a diagonal noncommutative generating series. In this respect,we determine asymptotic expansions of harmonic sums thanks to their generatingseries and to Euler Maclaurin formula. We also establish a bridge equation of polyzetas,which appear as fini parts in asymptotic expansions of harmonic sums and of polylogarithms,linking two algebraic structures. Through identification of local coordinates of thisequation, we can deduce homogenous, in weight, polynomial relations among polyzetasindexed on the bases.We also give algorithms and a package in Maple which, in practice,allowed us to find results and examples within this thesis.