L'étude de certaines variables aléatoires, comme l'arité de la racine d'un arbre hyperquatemaire de points, ou des paramètres additifs sur ces mêmes arbres, ou encore le nombre de maxima au sein d'un ensemble de n points indépendants, et uniformément distribués dans [0,1]d font apparaître des suites particulières, les sommes harmoniques multiples (SHM), extensions des nombres harmoniques classiques à des multi-indices s. Nos travaux visant à appliquer des méthodes symboliques pour l'étude de ces variables aléatoires, nous troquons l'utilisation des multi-indices contre un codage par des mots, et nous appuyons alors sur des résultats importants dans le domaine de la combinatoire des mots, comme l'existence d'une base pour les algèbres de mélange, que nous appliquons à des fonctions spéciales, les polylogarithmes - qui vérifient une relation de mélange pour le produit classique shuffle - et à nos suites spéciales de SHM - qui vérifient une relation de mélange pour un autre produit, le stuffle -. Dans les cas convergents, les deux objets convergent (respectivement lorsque z tend vers 1 et lorsque N tend vers l'infmi) vers la même limite, nommé polyzêta. Pour les cas divergents, l'utilisation de séries génératrices non commutatives nous permet d'établir, par des techniques "à la Hopf" un théorème "à l'Abel", faisant apparaître comme limite commune la série génératrice des polyzêtas convergents. Ce théorème nous permet de donner une forme explicite aux constantes d'Euler généralisées associées à des SHM divergentes, autrement dit les constantes intervenant dans le développement asymptotique de ces sommes dans l'échelle de Bertrand, et ainsi d'obtenir un algorithme très efficace pour calculer ce développement. Cet algorithme est comparé à deux autres approches : la première fondée sur le développement singulier de la série génératrice des SHM (qui est en fait une fonction polylogarithmique) au voisinage de z=1 ; la seconde construite sur l'isomorphisme entre l'algèbre des SHM et l'algèbre de mélange pour le produit stuffle, qui permet de ramener des problèmes sur ces sommes à des problèmes sur les mots. Finalement, nous proposons des applications des sommes harmoniques dans le domaine des structures de données multidimensionnelles, pour lesquelles notre approche donne naissance à des calculs exacts, qui peuvent par la suite être aisément évalués asymptotiquement. / After having recalled sorne important results about combinatoric on words, as the existence of a basis for shuftle algebras, constituted by Lyndon words, we apply them to special functions, the polylogarithms Lilz) and to special series, multiple harmonic sums Hln), indexed by a multi-index ~. ln the good cases (i.e. convergent cases) both objects converge to the same limit, called polyzêta. For the divergent cases, the use of noncommutative generating series enables us to establish, by techniques "à la Hopf', a theorem "à l'Abel", which gives rise to the generating series of convergent polyzêtas. This theorem enables us to give an explicit form for generalized Euler constants associated to divergent harmonic SUffiS, and so to get a very efficient algorithm to compute the asymptotic expansion of any multiple harmonic sum (either convergent or divergent) in the neighbourhood of infmity. This algorithm is compared with other approaches : the flfSt one built on the singular expansion around 1 of the (commutative) generating series of multiple harmonie sums {H~(n), n~O}, the other one built on Euler-MacLaurin summation formula and Radford theorem. Finally, we give applications of harmonic sums in the field of multidimensional data structures, point quadtrees, for which our symbolic approach gives rise to exact computations, which can then be easily asymptotically evaluated.

En abordant les nombres spéciaux comme les sommes harmoniques ou les polyzêtassous leur aspect combinatoire, nous introduisons d’abord la définition d’un produitentre mots, dit produit de quasi-mélange q-déformé, une généralisation des produits demélange et de quasi-mélange, ce qui nous permet de construire des structures complètesd’algèbre de Hopf en dualité. En même temps, nous construisons des bases en dualité,contenant des bases de transcendance associées aux mots de Lyndon, et des formules explicitessur lesquelles les sommes harmoniques, les polyzêtas ou les polylogarithmes sontindexés et représentés par la factorisation de la série génératrice noncommutative diagonale.De cette façon, nous déterminons des développements asymptotiques des sommesharmoniques, indexées par ces bases, grâce à leur série génératrice et à la formule d’EulerMaclaurin. Nous établissons également une équation de liaison sur les polyzêtas, quiapparaissent comme les parties finies des développements asymptotiques des sommesharmoniques et des polylogarithmes, reliant entre elles deux structures algébriques. Enidentifiant les coordonnées locales de cette équation, nous trouvons des relations polynomialeshomogènes, en poids, entre les polyzêtas. Pour accompagner cette étude théorique,nous proposons des algorithmes et un package en Maple afin de calculer des bases, lastructure des polyzêtas et des développements asymptotiques des sommes harmoniques. / Approaching special numbers as harmonic sums or polyzetas (multiple zetavalues) in the spirit of combinatorics, we first focus on the study of algebraic structureson words by introducing the definition of a product on words, called q-stuffle product, acommon generalisation of shuffle and quasi-shuffle products, which allows us to completelyconstruct Hopf algebras in duality. Simutaneously, we establish recurrent formulas inorder to compute bases in duality, containing transcendence bases tied to Lyndon wordson which harmonic sums, the polyzetas and polylogarithms are indexed. We use them torepresent the factorization of a diagonal noncommutative generating series. In this respect,we determine asymptotic expansions of harmonic sums thanks to their generatingseries and to Euler Maclaurin formula. We also establish a bridge equation of polyzetas,which appear as fini parts in asymptotic expansions of harmonic sums and of polylogarithms,linking two algebraic structures. Through identification of local coordinates of thisequation, we can deduce homogenous, in weight, polynomial relations among polyzetasindexed on the bases.We also give algorithms and a package in Maple which, in practice,allowed us to find results and examples within this thesis.

Dans ce travail, nous nous intéressons aux problèmes relatifs aux polylogarithmes et aux sommes harmoniques pris en les multiindices négatifs(au sens large, appelés dans la suite non-positifs) et en les indices mixtes. Notre étude donnera des résultats généraux sur ces objets en relation avec les algèbres de Hopf. Les techniques utilisées sont basées sur la combinatoire des séries formelles non commutatives, formes linéaires sur l’algèbre de Hopf de φ−Shuffle. Notre travail donnera aussi un processus global pour renormaliser les polyzetâs divergents. Enfin, nous appliquerons les structures mises en évidence aux systèmes dynamiques non linéaires avec entrées singulières. / In this memoir are studied the polylogarithms and the harmonic sums at non-positive (i.e. weakly negative) multi-indices. General results about these objects in relation with Hopf algebras are provided. The technics exploited here are based on the combinatorics of non commmutative generating series relative to the Hopf φ−Shuffle algebra. Our work will also propose a global process to renormalize divergent polyzetas. Finally, we will apply these ideas to non-linear dynamical systems with singular inputs.