El principal resultado es la presentación de una técnica de optimización en estudios de Monte Carlo en Estadística. Se obtiene un estimador de la esperanza de una variable dicotómica (Y), que tiene una varianza menor que el estimador habitual, la frecuencia relativa. Este estimador optimizado se basa en el conocimiento de otra variable dicotómica (de control), C, correlacionada con Y y de esperanza conocida, E(C). La aplicación de esta técnica es sencilla de implementar. En simulación de Monte Carlo en es relativamente frecuente disponer de tales variables de control. Así, por ejemplo, en estudios de simulación de la potencia de un nuevo test no paramétrico se puede utilizar en ocasiones un test paramétrico comparable, de potencia conocida.Se demuestra que este estimador es insesgado y se obtiene la expresión de su varianza. Se estudiaron varios estimadores de esta varianza, escogiendo a uno de ellos como el más adecuado. Además, se estudia el tanto por ciento de reducción de la varianza del nuevo estimador en comparación con el estimador habitual (frecuencia relativa). Se observan unos valores entre un 40% a un 90% según se incremente el valor de la correlación entre la variable de control (C) y la variable de estudio (Y).Para validar los resultados teóricos anteriores e ilustrar la técnica propuesta se realizaron dos estudios de simulación. El primero sirve para obtener una estimación de la potencia de un nuevo test. Mientras que el segundo es un estudio de simulación general sin ninguna finalidad concreta.Se propuso un nuevo test para resolver el problema de Behrens-Fisher, basado en la distancia de Hao, al cual se le aplica la anterior técnica para conocer su potencia y robustez. Se obtiene una potencia y robustez óptimas.Por último, se exponen dos casos reales, dentro del entorno médico-biológico, donde surge el problema de Behrens-Fisher. En ambos estudios, se realiza un análisis crítico ya que las verdaderas probabilidades de error son distintas de las supuestas debido a ignorar probables diferencias entre varianzas. / The main purpose is the presentation of an optimization technique in Monte-Carlo studies in statistics and subsequent study of some statistical properties of the estimator associated with this technique. An estimator of the expectation of a dichotomous variable, Y, with variance less than the most obvious unbiased estimator, relative frequency, is obtained. This new estimator is based on the availability of another dichotomous variable (control), C, correlated with Y and expectation, E(C), which is known. The availability of this control variable is relatively common in Monte-Carlo simulations. So, for example, simulation studies of the power of a new nonparametric test may sometimes use a comparable parametric test, with known power.Moreover, a new test for the Behrens-Fisher problem, based on geodesic distance criteria, is proposed. The power and robustness of this test are estimated through Monte-Carlo simulation using the previous optimization technique.

La teoría algebraica de números tiene sus inicios en los trabajos de Kummer sobre la ecuación de Fermat. En los anillos ciclotómicos deja de ser cierto el teorema fundamental de la aritmética: los elementos descomponen en producto de elementos "primos", pero no de manera única. Kummer, en una intuición genial, apuntó que esta dificultad podía salvarse considerando la existencia de números ideales que permitirían recuperar la unicidad en la descomposición en producto de números ideales primos. Estas ideas las culminó Dedekind en 1878 fundando la teoría de ideales tal como la conocemos hoy en día. Los anillos de enteros de los cuerpos de números son dominios de Dedekind, es decir, todo ideal descompone de manera única en producto de ideales primos. No obstante, la teoría de Dedekind no es efectiva. Cuando nos enfrentamos a un problema concreto, como por ejemplo resolver una ecuación diofántica, que exige considerar un cuerpo de números “K”, de anillo de enteros “O”, necesitamos resolver en general dos cuestiones fundamentales: (a) Determinar el tipo de descomposición pO = p(e1/) …… p(e/g) de los primos racionales en “K”. (b) Determinar generadores de los ideales P(1). Usualmente querremos computar estos datos a partir de una ecuación definidora del cuerpo K. Este aspecto efectivo lo cubre parcialmente Dedekind, usando ideas de Kummer, permitiendo resolver las dos cuestiones para todos los primos “p” excepto un número finito. El siguiente paso, extraordinariamente importante tanto desde un punto de vista conceptual como de la efectividad, lo da Rensel, con la introducción de los cuerpos p-ádicos. Esta idea revolucionaria permite "descomponer" los problemas aritméticos globales en una suma de problemas locales, donde se focaliza la atención en los fenómenos que afectan a un primo concreto ”p”. Esta filosofía da como resultado práctico que el problema de la efectividad puede resolverse mediante técnicas locales que comportan esencialmente la factorización de polinomios en cuerpos p-ádicos (que se traduce en la práctica en factorizar módulo una potencia suficientemente alta de p) y la determinación de bases de enteros de órdenes locales. Utilizando distintas variantes de estas ideas se han obtenido diversos algoritmos para hallar la descomposición en producto de ideales primos. Destaquemos los de Pohst-Zassenhaus, Boffgen-Reichert y Buchmann-Lenstra. El objetivo principal de la memoria es el de desarrollar un nuevo algoritmo, basado en la técnica del polígono de Newton. El polígono de Newton se utilizó en el siglo pasado para estudiar las singularidades de curvas planas. En 1907 Bauer reconvirtió la técnica para su aplicación a cuestiones aritméticas; sus propuestas fueron extensamente ampliadas por Ore, quien en una serie de artículos en los años 20, introduce un concepto más general de polígono, el q)(X)-polígono, que permite tratar el caso en que los factores irreducibles de F(X) no son necesariamente lineales. En la terminología clásica, la aplicación estricta del polígono (Bauer-Ore) es conocida como la "segunda aproximación", mientras que la información extra que obtiene Ore de cada lado se bautizó como la "tercera aproximación" (el teorema de Kummer-Dedekind) era la "primera aproximación". Esas aproximaciones han sido mejoradas y generalizadas por distintos autores; por ejemplo, Ore puso en un contexto más general la segunda aproximación inicial de Bauer, ó Montes-Nart refinaron la tercera aproximación. Ahora bien, los autores clásicos ya eran conscientes de que por mucho que se refinaran esas aproximaciones, siempre quedarían polinomios para los cuales todavía no se obtiene la respuesta definitiva. También intuían que debería ser posible introducir aproximaciones de más alto nivel que permitieran resolver la cuestión para cualquier polinomio en un proceso iterativo finito. Ésa es precisamente la cuestión que resolvemos en la memoria con nuestros polígonos de orden superior. Pasamos a describir brevemente el contenido de los distintos capítulos de la memoria. En el capítulo 1 se exponen los principales resultados de Ore sobre el polígono de Newton trasladados al contexto de cuerpos locales. Se distinguen cuatro fases distintas, cada una culminando con un resultado clave que denominamos respectivamente teorema del producto (de carácter instrumental), del polígono (segunda aproximación), del polinomio asociado (tercera aproximación) y del índice. El conjunto de estas fases constituye lo que llamamos el nivel 1 ó orden 1. Cada fase marca los distintos obstáculos que será necesario superar en cada nivel con los polígonos de orden superior. Este es el objetivo del segundo capítulo, que constituye el núcleo principal de la memoria. Dentro del segundo capítulo merecen mención especial las definiciones del polígono y del polinomio asociado en orden r. La definición correcta de "polígono a otro nivel" requiere considerar extensiones adecuadas de la valoración p-ádica al anillo de polinomios, marcadas por datos proporcionados por el polígono de orden anterior. Valoraciones de este tipo fueron introducidas por MacLane también con el propósito de obtener un algoritmo para determinar la descomposición de los primos en cuerpos de números; no obstante, sus métodos no son efectivos. La definición del polinomio asociado en orden r es el obstáculo cuya superación presentó mayores dificultades. En el fondo su construcción se reduce a encontrar "buenos" representantes de ciertas clases residuales módulo las valoraciones que acabamos de mencionar; ahora bien, la elección correcta (es decir, que funcione) de esos representantes pasa por un delicado trabajo con fracciones racionales. Finalmente, el teorema del índice es el resultado clave en el control de la finitud del proceso iterativo. En el tercer capítulo se describe un proceso de obtención de "representantes optimales" , que permiten recoger toda la información posible que se puede obtener a un nivel determinado antes de verse obligado a pasar al nivel superior. Con esta técnica se obtiene una implementación mucho más ágil del algoritmo que la que se obtendría con una aplicación ciega de los resultados del capítulo 2. En el cuarto capítulo se usan las técnicas del capítulo 2 para determinar de manera no algorítmica el discriminante absoluto y el tipo de descomposición de los primos en un cuerpo cuártico arbitrario.

We have divided this thesis in four parts:a) PART I: Exact symplectic geometry (introduction of the problems). This part contains the basic tools of symplectic geometry and outlines the four subjects that we have study along the thesis: the determination problem, the interpolation problem, the variational problem and the breakdown problem.b) PART II: On the standard symplectic manifold (analytical part). We recall the necessary tools to work on R(d) x R(d). That is we perform a coordinate treatment of the results. First of all we relate different kinds of generating functions to the primitive function and later we solve formally the determination problem. Then we introduce different variational principles: for fixed points, periodic orbits and orbital segments. Their invariance under certain kind of transformations of phase space is proved, and we interpret physically such results. Finally we give the basic properties of invariant exact Lagrangian graphs obtaining at last that if our graph is minimizing then its orbits are minimizing.c) PART III: On the cotangent bundle (geometrical part). The first three chapters are similar to the three previous ones with the difference that we do an intrinsic treatment of the results by considering any cotangent bundle. The fourth chapter in this part deals with the solution of the interpolation problem given in analytic set up. d) PART IV: Converse KAM theory (numerical part). The last part deals with the applications to converse Kolmogorv-Arnold-Moser (KAM) theory. First of all we give a small list of different examples that we shall study later. Then we generalize converse KAM theory and we related it to the Lipschitz theory by Birkhoff and Herman. Then we perform our variational Greene method and apply it to different examples. Also we study numerically the Aubry-Mather sets in higher dimensions. After this we apply our methods to the rotational standard map that is a symplectic skew product. Then we give some ideas about the geometrical obstructions for existence of invariant tori showing them with a simple example. We also find some known Birkhoff normal forms using our methods. Finally we explain briefly how our theory can be used for arbitrary Lagrangian foliations. / La present memòria es troba dividida en quatre parts ben diferenciades. La primera conté les eines bàsiques de la geometria simplèctica i planteja els quatre problemes que tractarem al llarg de la memòria: el problema de determinació, el problema d'interpolació, el problema variacional i el problema del trencament de tors invariants. La segona part tracta sobre la varietat simpléctica estàndard, i vindria a ser la part analítica. Aquí hem treballat a R(d) x R(d), és a dir hem fet un tractament coordenat dels resultats. Primer relacionem les funcions generatrius amb la funció primitiva i després resolem formalment el problema de determinación. Tot seguit tractem diferents principis variacionals per als punts fixos per a les òrbites periòdiques i per als segments orbitals. La seva invariància respecte a certs tipus de transformacions de l'espai de fase és demostrada donant una interpretació física. Finalment donem les propietats bàsiques dels grafs Lagrangians invariants, especialment aquella que diu que les òrbites sobre un graf minimitzant són minimitzants.La tercera part abraça el tema del fibrat cotangent, la part geométrica de l'obra. Els tres primers capítols segueixen més o menys la línia dels tres precedents amb la diferéncia fonamental que aquí considerem qualsevol fibrat cotangent. Fem llavors un tractament intrínsec. El quart capítol d'aquesta part està dedicat a resoldre el problema d'interpolació en el cas analític.La quarta i darrera part (que vindria a ser la secció numèrica de la tesi), tracta de les aplicacions a la teoria Kolmogorv, Arnold i Moser (KAM) inversa o del trencament dels tors invariants. Primer donem una llista d'exemples que utilitzarem més endavant. Després generalitzem la teoria KAM inversa i la relacionem amb la teoria Lipschitziana de Birkhoff i Herman. Llavors implementem el nostre criteri de Greene variacional i l'apliquem a diferents exemples. També estudiem els equivalents dels conjunts d'Aubry-Mather en dimensió alta (bé = 4). Després apliquem aquesta metodologia a l'aplicació estàndard rotacional (3D), indicant abans la teoria necessària. Llavors donem algunes idees de com generalitzar els criteris obstruccionals a dimensions altes hi ho mostrem amb un petit exemple. Finalment retrobem algunes formes normals de Birkhoff utilitzant la nostra metodologia basada en la funcióprimitiva i expliquem una mica com es podria considerar la nostra teoria tenint en compte foliacions Lagrangianes arbitràries.

El 1987, J.-P. Serre publica la seva conjectura (3.2.4?) sobre representacions de Galois modulars. Com a conseqüència es tindrien, entre d'altres, la conjectura de Shimura-Taniyama-Weil, el darrer teorema de Fermat, ...En aquesta tesi es demostra la conjectura (3.2.4?) per a les representacions associades als punts de p-torsió de les corbes el.líptiques modulars amb reducció additiva potencialment ordinària en p>7.Previament s'establexien uns criteris generals per a la verificació de la conjectura. / En 1987, J.-P. Serre publica su conjetura (3.2.4?) sobre representaciones de Galois modulares. Consecuencia de ella se tendrían: la conjetura de Shimura-Taniyama-Weil, el último teorema de Fermat,...En esta tesis se demuestra la conjetura (3.2.4?) para las representaciones asociadas a los puntos de p-torsión de las curvas elípticas modulares con reducción aditiva potencialmente ordinaria en p>7.Previamente, se establecen unos criterios generales para la verificación de la conjetura.

En una primera part s'estudien els conjunts de mesures que prenen valors en un grup reticualt, per a les quals la T-aditivitat es defineix a partir de l'estructura ordenada. L'estudi realitzat a partir de les propietats reticulars i de convergència en ordre condueix a l'obtenció dels anàlegs dels teromes clàssics de descomposició: el de Jordan, el de Yoshida-Hewih i el de Lebesgue. En una segona part es construeix una integral en relació a una mesura d'aquest tipus, valorada en la part positiva d'un anell reticulat T-condicionalment complet per a funcions que prenen valors en el mateix anell. / En una primera parte son estudiados los conjuntos de medidas que toman valores en un grupo reticulado para las que la T-aditividad se define a partir de la estructura ordenada. El estudio realizado a partir de las propiedades reticulares y de convergencia en orden conduce a la obtención de los análogos de los teoremas clásicos de descomposición: el de Jordan, el de Yosida-Hewih y el de Lebesgue. En una segunda parte se construye una integral respecto a una medida de este tipo, valorada en la parte positiva de un anillo reticulado T-condicionalmente completo para funciones que toman valores en el mismo anillo.

This PhD thesis belongs to the area of discrete dynamical systems in the complex plane, i.e. the iteration of analytic functions in one complex variable. Given a rational map f from the Riemann sphere onto itself, we consider the dynamical system given by its iterates. The Riemann sphere splits into two totally f-invariant subsets: the Fatou set, which is defined to be the set of points z where the family {f^n} is normal in some neighborhood of z, and its complement, the Julia set. The dynamics of the points in the Fatou set are stable in the sense of normality or equicontinuity whereas the dynamics in the Julia set present chaotic behavior. This thesis focuses on the study of the family of Blaschke products Ba(z)=z^3(z-a)/(1-\bar{a}z), where a and z are complex numbers. We study its parameter and its dynamical planes using intensive use of quasiconformal surgery techinques, which allow us to build rational maps with prescribed dynamics using quasiregular maps as models. The thesis is structured as follows. In Chapter 1 we give an overview on the preliminary results used throughout the thesis. In Chapter 2 we give an introduction to quasiconformal surgery. In Chapter 3 we give an overview of the dynamical plane of the Blaschke products Ba. We begin by studying their basic properties. Afterwards we show that the maps Ba cannot have doubly connected rotation domains (Herman rings) (Proposition 3.2.3) and prove a criterion of connectivity of the Julia set of Ba (Theorem 3.2.1). In Chapter 4 we introduce the family Mb of cubic polynomials with a superattracting fixed point. Then we show how to build polynomials Mb from Blaschke products Ba , obtaining a map Γ from a subset of the parameter plane of the Ba to the parameter plane of the polynomials Mb. We also prove that the map Γ is continuous and restricts to a homeomorphism on every disjoint hyperbolic component. In Chapter 5 we study the parameter plane of the Blaschke products Ba. We first describe the symmetries in the parameter plane. Then we classify the different hyperbolic dynamics which may take place and the sets of parameters for which they may happen. Afterwards we build a polynomial-like map for all non-escaping parameters contained in swapping regions which, under certain conditions, may relate the dynamics of Ba with the one of the antipolynomials pc(z) =\bar{z}^2+c (Theorem 5.3.4). Finally we parametrize all disjoint hyperbolic components whose disjoint cycles are bounded and do not lie on the unit circle (Theorem 5.4.2). In Chapter 6 we study the tongues of the Blaschke products Ba. We first prove some of their topological properties such as their connectivity modulo symmetry, their simple connectivity and the existence of a unique tip for every tongue (Theorem 6.2.1). Then we show how bifurcations take place along curves in a neighborhood of every tongue (Theorem 6.3.2). Finally we study how tongues extend in the annulus of parameters a such that 1<|a|<2. In Chapter 7 we study how the degree 4 Blaschke products Ba generalize to degree m+2 families of rational maps for m>2. / Aquesta tesi doctoral pertany a l’àmbit dels sistemes dinàmics discrets al pla complex, és a dir, la iteració de funcions analítiques en una variable complexa. Donada una funció racional f de l'esfera de Riemann en ella mateixa, considerem el sistema dinàmic donat pels seus iterats. L'esfera de Riemann es divideix en dos conjunts completament invariants per f el conjunt de Fatou, definit com el conjunt de punts z on la família {f^n} és normal en algun entorn de z, i el seu complement, el conjunt de Julià. La dinàmica de les òrbites del conjunt de Fatou és estable en el sentit de normalitat o equicontinuitat mentre que la dinàmica al conjunt de Julià presenta un caràcter caòtic. Aquesta tesi se centra en l'estudi de la família de productes de Blaschke Ba(z)=z^3(z-a)/(1-\bar{a}z), on a i z són nombres complexos. Estudiem el seu pla de paràmetres i el seu pla dinàmic fent us intensiu de les eines de cirurgia quasiconforme, que ens permeten construir funcions racionals amb una dinàmica prescrita fent servir funcions quasiregulars com a models. Al capítol 1 fem un repàs dels resultats preliminars usats al llarg del text. Primer expliquem els conceptes bàsics de la dinàmica de les funcions racionals. Després fem un repàs de les aplicacions del cercle, tot introduint els conceptes de producte de Blaschke i llengües. Finalment, presentem la fórmula de Riemann-Hurwitz i com s’aplica a la dinàmica de funcions racionals. Al capítol 2 donem una introducció a la cirurgia quasiconforme. Primer de tot definim els conceptes d’aplicació quasiconforme, estructures quasiconformes i “pullback” sota funcions que preserven l’orientació i introduïm el Teorema Mesurable de Riemann. Tot seguit mostrem com els conceptes previs són generalitzats per a funcions que giren l’orientació i veiem com això s’aplica a aplicacions que són simètriques respecte del cercle unitat. Finalment introduïm els conceptes d’aplicació polynomial-like i antipolynomial-like. Al capítol 3 donem una visió general del pla dinàmic dels productes de Blaschke Ba. Comencem estudiant les seves propietats bàsiques. Tot seguit mostrem que les funcions Ba. no poden tenir dominis de rotació doblement connexos (anells de Herman) (Proposició 3.2.3) i provem un criteri de connectivitat del conjunt de Julià dels Ba (Teorema 3.2.1). Al capítol 4 introduïm la família Mb de polinomis cúbics amb un punt fix superatractor. A continuació veiem com construir polinomis Mb a partir de productes de Blaschke Ba, tot obtenint una aplicació Γ que envia un subconjunt de l’espai de paràmetres de Ba a l’espai de paràmetres dels polinomis Mb. També provem que l’aplicació Γ és continua i és un homeomorfisme restringida a cada component hiperbòlica disjunta. Al capítol 5 estudiem l’espai de paràmetres dels productes de Blaschke Ba. Primer de tot en descrivim les simetries. A continuació classifiquem els diferents tipus de comportaments hiperbòlics que es poden donar i veiem a quines regions de l’espai de paràmetres poden aparèixer. Tot seguit construïm una aplicació polynomial-like al voltant de tot paràmetre de no escapament contingut en una regió d’intercanvi que, sota certes condicions, pot relacionar la dinàmica de Ba amb la dels antipolinomis pc(z)=\bar{z}^2+c (Teorema 5.3.4). Finalment parametritzem tota component hiperbòlica disjunta els cicles atractors de la qual són acotats i no rauen al cercle unitat (Teorema 5.4.2). Al capítol 6 estudiem les llengües dels productes de Blaschke Ba. Inicialment provem algunes de les seves propietats topològiques bàsiques com ara la seva connectivitat mòdul simetria, la seva connectivitat simple i l’existència d’una única punta per a cada llengua (Teorema 6.2.1). Tot seguit mostrem com es produeixen les bifurcacions en un entorn de la punta de cada llengua (Teorema 6.3.2). Finalment estudiem com les llengües s’estenen per a paràmetres a tals que 1<|a|< 2. Al capítol 7 estudiem com els productes de Blaschke Ba generalitzen a funcions racionals de grau m+2 per m>2.

A partir de un simulador previo de cultivos bacterianos, se ha continuado desarrollando su metodología, basada en la simulación discreta, para extender su uso a diversos campos de aplicaciones técnicas y científicas. un aspecto del desarrollo esta relacionado con el progreso propio de la metodología. Para mejorarla se han perfeccionado los métodos básicos de la simulación para el control del espacio (incorporación de las tres dimensiones, difusión de substancias en el medio, distintos tipos de condiciones de contorno, uso de variables no homogéneas espacialmente, por ejemplo). Y otros aspectos propios de la programación. Otra vertiente del desarrollo es la generación de modelos para sistemas concretos. Se han creado distintas estructuras de simulación, basadas en la misma metodología, para estudiar sistemas de características diversas. Para los sistemas bacterianos se han desarrollado modelos y se ha realizado simulaciones para estudiar: a) oscilaciones metabólicas de cultivos cerrados de escherichia coli b) aspectos determinados en relación a la producción de yogurt, donde se ha puesto de manifiesto la importancia de la geometría como un elemento probablemente imprescindible para entender algunos fenómenos biológicos. (c) crecimiento de colonias sobre superficies, donde se ha constatado la idoneidad de la metodología para estudiar el comportamiento de los organismos y las substancias en el espacio. También se ha mostrado la potencia de nuestra simulación para abordar interpretaciones basadas tanto en procesos bioquímicos como en procesos físicos. Para cultivos de levaduras, el modelo (celular) es substancialmente mas complejo que el de bacteria. Se ha validado el modelo al comprobar que el comportamiento de un gran numero de variables diversas del sistema simulado es comparable, cualitativamente, al observado experimentalmente. A partir de una interpretación física de este proceso, se ha elaborado un modelo para la agregación de levaduras (la floculación), y se ha implementado este en la simulación. Con una estructura distinta del simulador desarrollado para los cultivos de levaduras, se ha demostrado la viabilidad de la metodología como herramienta para abordar este tipo de cuestiones de interés científico y técnico. Para simular la floculación se han utilizado escalas espaciales de magnitud superior a las celulares. Es un ejemplo de como las dimensiones de los sistemas pueden sugerir, incluso imponer, el nivel de precisión y estructura para definir los elementos individuales. Para el estudio de los hongos filamentosos, un sistema complejo en el que es necesario modelar comportamientos bioquímicos al mismo tiempo que es necesario controlar el comportamiento de variables espaciales, se ha desarrollado una nueva estructura de simulación para la implementación del modelo elaborado. Se ha comprobado como este explica y reproduce el comportamiento de diversos parámetros observados experimentalmente. Se ha desarrollado un modelo para poblaciones de generaciones no solapadas, y se ha implementado en la simulación, para aplicarla a estudios de ecología teórica, donde habitualmente se utilizan metodologías de simulación muy alejadas del funcionamiento real del sistema. Se ha comprobado la validez de la metodología como herramienta para abordar diversas cuestiones en este campo de aplicación (estabilidad de la dinámicas, efecto del espacio sobre el sistema y control de dinámicas caóticas).

Facultad de Ciencias, 1934 - Còpia digital de l'exemplar mecanografiat existent a l'expedient de l'autor, conservat a l'Arxiu Històric de la UB / En una serie de recientes trabajos, donde se estudian a fondo muchos problemas esenciales de la moderna teoría de las funciones de dos variables complejas, F. SEVERI ha establecido las bases de una fundamentación geométrica de aquella teoría; este camino ha sido explorado minuciosamente por B. SEGRE, el cual ha obtenido también notables resultados. Según este modo de ver, las propiedades fundamentales derivan de la representación real de los entes complejos, y especialmente la manera de considerar el infinito del campo de variabilidad. Como ha demostrado SEVERI, lo más correcto es considerar el par de variables complejas (x,y) distendido sobre la V(6/4) de C. SEGRE (es decir, sobre la falda real de una V(6/4) de SEGRE de tipo elíptico) de un espacio de ocho dimensiones; esta variedad es, en efecto, el modelo algebraico-topológico mínimo de dicho campo. Haciendo la proyección, en modo conveniente, de dicha variedad sobre un espacio plano de cuatro dimensiones S(4), obtenemos la representación de los puntos del plano proyectivo complejo por medio de los puntos reales de un S(4) euclídeo; en esta forma, los puntos del infinito de aquel plano corresponden homeomórroficamente a las rectas reales de una cierta congruencia lineal elíptica del espacio impropio de aquel S(4). Todas estas consideraciones fueron ya hechas en una nota de B. SEGRE, donde se hace ver toda su importancia. Me propongo en esta memoria estudiar estas cuestiones en toda su generalidad, extendiéndolas al caso de “n” variables. Inmediatamente se echa de ver que, salvo algunos conceptos fundamentales que se transportan en seguida con ligeros cambios, no se trata de extensiones banales: se presenta una gran riqueza y variedad de hechos nuevos, que demuestran la conveniencia de no limitarnos al caso n=2 si queremos llegar a poseer una visión completa de la teoría de funciones analíticas de varias variables. Hay, además, cuestiones ya estudiadas en este último caso que adquieren nueva luz cuando se aumenta el número de dimensiones del espacio ambiente. Un ejemplo elemental se nos presenta al considerar las llamadas superficies características: una propiedad fundamental de estas superficies, que demostraremos en el Capítulo III, es la reducción del número de dimensiones de sus espacios osculadores en puntos genéricos. Cosa que no tiene sentido, evidentemente, en un espacio de cuatro dimensiones. Dicho de otro modo: en ese último espacio cualquier trozo regular de superficie analítica contiene un doble sistema conjugado de líneas, en el sentido de DUPIN. Apenas se consideran, en cambio, superficies pertenecientes a espacios de más de cuatro dimensiones; esto no ocurre ya en general. Pero las superficies características gozan de dicha propiedad. Las consideraciones fundamentales que aquí desarrollamos se refieren a dos conceptos importantes que corresponden, en nuestra representación real de los entes complejos, a los de variedad analítica y transformación analítica del campo complejo. O sea, las variedades características y las transformados llamadas “pseudoconformes” por SEVERI. Las propiedades que aquí estudiaremos tienen casi siempre carácter local, limitándonos a considerar trozos regulares de variedad.

The main goal of this thesis is to characterize the weak-type (resp. strong-type) boundedness of the Hilbert transform H on weighted Lorentz spaces Λpu(w). The characterization is given in terms of some geometric conditions on the weights u and w and the weak-type (resp. strong-type) boundedness of the Hardy-Littlewood maximal operator on the same spaces. Our results extend and unify simultaneously the theory of the boundedness of H on weighted Lebesgue spaces Lp(u) and Muckenhoupt weights Ap, and the theory on classical Lorentz spaces Λp(w) and Ariño-Muckenhoupt weights Bp. / Títol: Acotaciò de l'operador de Hilbert sobre espais de Lorentz amb pesos Resum: L'objectiu principal d'aquesta tesi es caracteritzar l'acotació de l'operador de Hilbert sobre els espais de Lorentz amb pesos Λpu(w). També estudiem la versió dèbil. La caracterització es dona en terminis de condicions geomètriques sobre els pesos u i w, i l'acotació de l'operador maximal de Hardy-Littlewood sobre els mateixos espais. Els nostres resultats unifiquen dues teories conegudes i aparentment no relacionades entre elles, que tracten l'acotació de l'operador de Hilbert sobre els espais de Lebegue amb pesos Lp(u) per una banda i els espais de Lorentz clàssics Λp(w) per altre banda.

DE TESI DOCTORAL.Els sistemes formats per una molla fixa en un extrem i una massa rígida en moviment en l'altre, s'han modelitzat clàssicament mitjançant l'EDO de segon ordre mu''(t) + du'(t) + ku(t) = 0. Però aquest model no té en compte fenòmens com possibles diferències en la deformació interna de la molla o la dissipació deguda a la viscositat interna d'aquesta. És per això que té sentit pensar en un model en derivades parcials on apareguinaquests fenòmens continus. En aquesta tesi, es proposa i justifica un model per a aquest tipus de sistemes viscoelàstics que resulta ser una equació d'ones amb dissipació forta (o tipus Kelvin-Voigt) i condicions de contorn dinàmiques. Analitzarem el model en funció de dos paràmetres: la viscositat interna de la molla, inversament proporcional a la massa de l'extrem. L'objectiu principal serà comparar aquesta aproximació de tipus continu amb el model clàssic i veure quan el model en derivades parcials admet una EDO com a límit, en un sentit que es precisarà. L'eina per fer-ho seran els valors propis dominants, de manera que un estudi acurat de l'espectre (que inclou valors propis i espectre essencial) permetrà demostrar la no existència d'una EDO límit per a una molla purament elàstica, l'existència no uniforme quan hi ha poca viscositat interna i l'existència d'una EDO límit, que trobarem explícitament, quan la massa de l'extrem és gran.Un altre problema que té sentit considerar és el d'imposar una acceleració en l'extrem abans fixat, que es pot pensar com un control extern. Aquest punt de vista dóna lloc al model anterior però amb una no linealitat no local en l'equació i en les condicions de contorn. Amb l'objectiu de demostrar l'existència d'una EDO límit per a aquest model no lineal, es prova l'existència d'una varietat invariant exponencialment atractora si E és prou petita que tendeix a 0 en norma C1 quan E - 0. això permet trobar una EDO límit explícitament, que resulta ser una EDO no lineal d'ordre 2. En aquesta part, és fonamental la teoria de pertorbacions, en particular la convergència en sentit generalitzat d'operadors o l'acotació uniforme de semigrups. / .Classically, the motion of a system consisting of a spring with a fixed end and attached to a rigid moving mass at the other, has been modelled by the classical second order ODE mu''(t) + du'(t) + ku(t) = 0. But phenomenons such as internal deformation differences or internal viscous damping are not taken into account by this model. That is why partial differential equations models arise. In this thesis, we propose and justify a model for those viscoelastic systems, which turns to be a wave equation with strong damping (or Kelvin-Voigt damping) and dynamical boundary conditions. We analyze this model in terms of two parameters: the spring internal viscosity, and which essentially is the inverse of the moving mass at the end. The main purpose will be to compare this continuous approach with the classical model and to see in which case the PDE admits an ODE as limit, in an appropriate sense. The tool used to prove this are the dominant eigenvalues, so that a detailed analysis of the spectrum (including eigenvalues and essential spectrum) allows us to show the nonexistence of a limit ODE for a purely elastic spring, the existence of a nonuniform limit ODE when the internal viscosity is small and the existence of a limit second order ODE, which is given explicitly, when the mass at the end is taken sufficiently large.Another problem of interest is obtained by imposing an acceleration in the previous fixed end. This point of view, which can also be thought as an external control, gives rise to the previous model but with a nonlocal nonlinearity in the equation and in the boundary conditions. With the purpose of showing the existence of a limit ODE for this nonlinear problem, we prove the existence of an exponentially attracting invariant manifold for E sufficiently small, which converges to 0 in the C1 topology when E - 0. This is used to find explicitly a limit second order nonlinear ODE. In this part, the use of perturbation theory tools such as the convergence of operators in a generalized sense or a uniform bound for families of semigroups are essential.