Les objectifs de cette thèse sont la modélisation mathématique et la simulation numérique de l’élastographie impulsionnelle basée sur la force de radiation acoustique (FRA) dans un tissu mou précontraint, et en particulier le myocarde. La première partie du manuscript concerne la modélisation mathématique de la FRA, la propagation d’ondes de cisaillement qui en résulte et la caractérisation de la vitesse des ondes de cisaillement pour une loi de comportement générale du tissu myocardique. Nous montrons aussi des applications pour l’estimation de l’orientation des fibres cardiaques dans le myocarde et l’évaluation de “pathologies synthétiques ”. Une des contributions principales de ce travail est le développement d’un modèle mathématique original de la FRA. En particulier, à partir d’un modèle biomécanique tridimensionnel du coeur, nous obtenons, à travers une approche asymptotique, les équations qui régissent les champs de pression et de cisaillement induits par la FRA. De plus, nous calculons une expression analytique du terme source responsable de la génération des ondes de cisaillement à partir d’une impulsion acoustique en pression. Dans la deuxième partie de la thèse, nous proposons des outils numériques efficaces pour une simulation numérique réaliste d’une expérience d’élastographie impulsionnelle dans un tissu quasi-incompressible, précontraint et fibré. La discrétisation en espace se base sur des éléments finis spectraux d’ordre élevé. Pour la discrétisation en temps, nous proposons une nouvelle méthode adaptée à l’élasticité incompressible. En particulier, seuls les termes correspondant à des vitesses infinies, associés à la contrainte d’incompressibilité, sont traités implicitement, à travers la resolution d’un problème de Poisson à chaque pas de temps de l’algorithme. En outre, nous proposons une nouvelle méthode d’ordre élevé et efficace pour la résolution d’un problème de Poisson, qui se base sur la transformée de Fourier discrète. / This PhD thesis concerns the mathematical modelling and numerical simulation of impulsive Acoustic Radiation Force (ARF)-driven Shear Wave Elastography (SWE) imaging in a prestressed soft tissue, with a specific reference to the cardiac setting. The first part of the manuscript deals with the mathematical modelling of the ARF, the resulting shear wave propagation, and the characterisation of the shear wave velocity in a general constitutive law for the myocardial tissue. We also show some applications to the extraction of fibre orientation in the myocardium and the detection of “synthetic pathologies”. One of the main contributions of this work is the derivation of an original mathematical model of the ARF. In more detail, starting from an accurate biomechanical model of the heart, and based on asymptotic analysis, we infer the governing equation of the pressure and the shear wave field remotely induced by the ARF, and we compute an analytical expression of the source term responsible for the generation of shear waves from an acoustic pressure pulse. In the second part of the PhD thesis, we propose efficient numerical tools for a realistic numerical simulation of an SWE experiment in a nearly-incompressible, pre-stressed, fibered soft tissue. The spatial discretisation is based on high-order Spectral Finite Elements (HO-SEM). Concerning the time discretisation, we propose a novel method adapted to incompressible elasticity. In particular, only the terms travelling at infinite velocity, associated with the incompressibility constraint, are treated implicitly by solving a scalar Poisson problem at each time step of the algorithm. Furthermore, we provide a novel matrix-free, high-order, fast method to solve the Poisson problem, based on the use of the Discrete Fourier Transform.

Le modèle multi-fluide permet de décrire par une approche Eulérienne les sprays polydispersés et apparaît donc comme une méthode indiquée pour les applications de combustion diphasique. Sa pertinence pour la simulation à l’échelle d’applications industrielles est évaluée dans ce travail, par sa mise en oeuvre dans des configurations bi-dimensionnelle et tri-dimensionnelle plus représentatives de ce type de simulations. Cette évaluation couple une étude de faisabilité en terme de coût de calcul avec une analyse de la précision obtenue, par des comparaisons avec les résultats de méthodes de références pour la description des sprays. Afin de définir une telle référence, une hiérarchisation des modèles de spray est proposée dans ce travail, soulignant les niveaux de modélisation associée aux diverses méthodes. Une première configuration d’écoulements tourbillonnaires est utilisée pour caractériser la méthode multi-fluide. L’étude de la structure mathématique du système de lois de conservation permet d’analyser la formation de singularités et de fournir les outils permettant d’évaluer leur impact sur la modélisation. Cette étude permet également de dériver un schéma numérique robuste et efficace pour des configurations bi- et tri-dimensionnelle. La description des dynamiques de gouttes conditionnées par la taille est évaluée dans ces configurations tourbillonnaires au moyen de comparaisons quantitatives, sur des champs instantanés, où le multi-fluide est confronté à une méthode Lagrangienne, ainsi qu’à des résultats expérimentaux. Afin d’évaluer le comportement de la méthode multi-fluide dans des configurations plus représentatives des problématiques industrielles, le solveur MUSES3D est développé, permettant, entre autres, une évaluation fine des méthodes de résolution des sprays. Une implémentation originale de la méthode multi-fluide, conciliant généricité et efficacité pour le calcul parallèle, est réalisée. Le couplage de ce solveur avec le code ASPHODELE, développé au CORIA, permet d’effectuer une évaluation opérationnelle des approches Euler/Lagrange et Euler/Euler pour la description des écoulements diphasiques à inclusions dispersées. Finalement, le comportement de la méthode multi-fluide dans des jets bi-dimensionnels et dans une turbulence homogène isotrope tri-dimensionnelle permet de montrer sa précision pour la description de la dynamique de sprays évaporant dans des configurations plus complexes. La résolution de la polydispersion du spray permet de décrire précisément la fraction massique de combustible en phase vapeur, un élément clé pour les applications de combustion. De plus, l’efficacité du calcul parallèle par décomposition de domaine avec la méthode multi-fluide permet d’envisager son utilisation à l’échelle d’applications industrielles. / The multi-fluid model, providing a Eulerian description of polydisperse sprays, appears as an interesting method for two-phase combustion applications. Its relevance as a numerical tool for industrial device simulations is evaluated in this work. This evaluation assesses the feasibility of multi-fluid simulations in terms of computational cost and analyzes their precision through comparisons with reference methods for spray resolution. In order to define such a reference, the link between the available methods for spray resolution is provided, highlighting their corresponding level of modeling. A first framework of 2-D vortical flows is used to assess the mathematical structure of the multi-fluid model governing system of equations. The link between the mathematical peculiarities and the physical modeling is provided, and a robust numerical scheme efficient for 2-D/3-D configurations is designed. This framework is also used to evaluate the multi-fluid description of evaporating spray sizeconditioned dynamics through quantitative, time-resolved, comparisons with a Lagrangian reference and with experimental data. In order to assess the multi-fluid efficiency in configurations more representative of industrial devices, a numerical solver is designed, providing a framework devoted to spray method evaluation. An original implementation of the multifluid method, combining genericity and efficiency in a parallel framework, is achieved. The coupling with a Eulerian/Lagrangian solver for dispersed two-phase flows, developed at CORIA, is conducted. It allows a precise evaluation of Euler/Lagrange versus Euler/Euler approaches, in terms of precision and computational cost. Finally, the behavior of the multi-fluid model is assessed in 2D-jets and 3-D Homogeneous Isotropic Turbulence. It illustrates the ability of the method to capture evaporating spray dynamics in more complex configurations. The method is shown to describe accurately the fuel vapor mass fraction, a key issue for combustion applications. Furthermore, the method is shown to be efficient in domain decomposition parallel computing framework, a key issue for simulations at the scale of industrial devices.