Ce travail de thèse se compose en deux parties :Partie 1Nous nous intéressons à la propagation lumineuse non-linéaire dans des cellules planaires de cristal liquide nématique mélangé avec un colorant, l’effet non-linéaire considéré étant l'effet thermique. Puis, nous nous intéressons à l'amélioration de la fluorescence émise par le colorant.Nous concluons que pour améliorer le spectre de la fluorescence, il faut utiliser une source se propageant en mode soliton, optimiser la distance entre la fibre optique d’excitation de celle de collecte et l’ajout des nanoparticules d'or au cristal liquide. Cette amélioration de la fluorescence ouvrira la voie à la création du laser à colorant assisté par propagation de soliton.Partie 2Nous étudions la dynamique spatiotemporelle d'une cavité en anneau remplie d'un milieu de type Kerr non-instantané et pompée par un faisceau cohérent. Nous effectuons d’abord une étude analytique afin de déterminer les types d’instabilités possibles et leurs seuils. Puis, une étude numérique est menée pour observer l’évolution du champ dans la cavité. Nous montrons l’existence des structures périodiques et localisées. / The work of this thesis consists of two parts:Part 1We are interested in non-linear light propagation in planar cells of nematic liquid crystal mixed with a dye. The non-linear effect is considered to be a thermal effect. Then, we are interested in improving the fluorescence emitted by the dye.We conclude that to improve the fluorescence spectrum, we need to use a source propagating in soliton mode, to optimize the distance between the excitation optical fiber and the collecting one and to add the gold nanoparticles to the liquid crystal. This improvement of fluorescence spectrum will pave the way for the creation of a dye laser assisted with soliton propagation.Part 2We study the spatiotemporal dynamics of a ring cavity filled with a non-instantaneous Kerr-type medium and pumped by a coherent beam. We first carried out an analytical study to determine the types of instabilities and their thresholds. Then, a numerical study is carried out to observe the evolution of the field in the cavity. We show the existence of periodic and localized structures.

Cette thèse est consacré à l'analyse de modèles de croissance et de mouvement intervenant en biologie et en écologie. Nous regardons en particulier deux types de modèles: des équations de dynamique de populations structurées et des modèles de diffusion croisée. Dans une première partie consacrée au travail sur les populations structurées, nous étudions d'abord des modèles linéaires de croissance en environnement périodique en temps. Ces modèles sont caractérisés par l'existence d'un exposant de croissance, appelé valeur propre de Floquet, dont nous comparons les propriétés avec celui qui apparaît en environnement stationnaire. Nous mettons en évidence grâce à un contre exemple le fait qu'il n'y a pas de comparaison générale possible entre l'exposant de croissance en milieu périodique et celui associé à un milieu moyenné. Les résultats de convexité de Kingman sur le rayon spectral des matrices positives sont étendus à la valeur propre de Floquet. Nous étudions également le comportement de cette valeur propre dans des cas dégénérés, où certains paramètres peuvent s'annuler ou exploser. Dans cette partie est également exposé une justification de la dérivation d'un modèle d'équations aux dérivées partielles pour la réplication du prion. Ce modèle est vu comme approximation d'un système infini d'équation différentielles ordinaires. Ceci se fait grâce à des résultats de compacité faible et la preuve permet de proposer des pistes pour un modèle plus complet. La deuxième partie est consacrée à l'étude de modèles de diffusion croisée. Nous nous plaçons dans le cas d'un domaine bornée et en absence de termes de réactions. Le but est de questionner la stabilité de l'équilibre homogène. L'application de techniques de dualité utilisées pour les système de réaction-diffusion permettent d'obtenir des bornes qui servent elles-même ensuite, combinées à la régularité elliptique à obtenir l'existence globale pour une version régularisée du système. Ladite régularisation est dépendante d'un paramètre dont les valeurs déterminent la stabilité ou l'instabilité linéaire de l'équilibre homogène. La valeur critique du paramètre de régularisation est d'ailleurs une valeur de bifurcation pour les équilibres.