Dans cette thèse on s'intéresse à l'étude mathématique et numérique de modèles à frontières libres intervenant en physique et en biologie. Dans une première partie on considère un modèle de carbonatation des bétons armés. Ce modèle unidimensionnel est composé d'un système d'équations paraboliques de type réaction-diffusion défini sur un domaine où une interface est fixe et l'autre mobile. Cette interface mobile est solution d'une équation différentielle ordinaire et évolue au cours du temps suivant une loi en racine de t. Dans un premier temps, on définit pour ce modèle un schéma numérique de type volumes finis implicite/explicite en temps et on prouve la convergence de ce schéma. Dans un second temps, on construit un schéma volumes finis complètement implicite permettant de démontrer la propagation en racine de t de l'interface mobile au niveau discret. On s'intéresse ensuite à un système de diffusion croisée modélisant la croissance de biofilms. On introduit un schéma numérique de type volumes finis préservant la structure de flot de gradient du modèle. On prouve alors l'existence de solutions et la convergence du schéma. Enfin, on établit via des outils du transport optimal et du calcul des variations un résultat d'existence pour un modèle jouet de corrosion à frontière libre. Nous essayons par l'introduction de ce problème de mieux comprendre la structure du modèle DPCM (Diffusion-Poisson-Coupled-Model), également défini sur domaine mobile, décrivant la corrosion d'un baril métallique placé dans un milieu argileux (conditions de stockage des déchets nucléaires) et pour lequel il n'existe aucun résultat d'existence. / This thesis deals with the numerical and mathematical study of models with free boundaries coming from physics and biology. In the first part, we consider a model which describes the carbonnation phenomena in reinforced concrete. The model involves a system of 1D-parabolic equation of reaction diffusion type defined on a domain with a moving boundary. The motion of this interface is governed by an ordinary differential equation and it increases asymptotically as a square root of t for large times. We first introduce a Finite Volume numerical scheme for the model with implicit/explicit time discretization and we prove its convergence. Next, we build a fully implicit scheme for which we are able to establish the behavior in square root of t of the interface in this discrete setting. In a second part, we study a cross-diffusion system modeling the expansion of some biofilms. We introduce a numerical scheme of Finite Volumes type which preserves the gradient flow structure of the model. We establish the existence of solutions to the scheme and its convergence towards a solution to the original model. Eventually, we consider a toy model derived from a more complete model called DPCM (Diffusion-Poisson-Coupled-Model). The later describes the corrosion of (nuclear waste) containers made of iron and stored in clay soil. Again the model involves a free boundary whose position is part of the unknowns. Using tools from Optimal Transport Theory and Calculus of Variations, we establish the existence of a solution to the model. This is a first step towards the study of DPCM for which no such result is availiable.

Cette thèse est consacré à l'analyse de modèles de croissance et de mouvement intervenant en biologie et en écologie. Nous regardons en particulier deux types de modèles: des équations de dynamique de populations structurées et des modèles de diffusion croisée. Dans une première partie consacrée au travail sur les populations structurées, nous étudions d'abord des modèles linéaires de croissance en environnement périodique en temps. Ces modèles sont caractérisés par l'existence d'un exposant de croissance, appelé valeur propre de Floquet, dont nous comparons les propriétés avec celui qui apparaît en environnement stationnaire. Nous mettons en évidence grâce à un contre exemple le fait qu'il n'y a pas de comparaison générale possible entre l'exposant de croissance en milieu périodique et celui associé à un milieu moyenné. Les résultats de convexité de Kingman sur le rayon spectral des matrices positives sont étendus à la valeur propre de Floquet. Nous étudions également le comportement de cette valeur propre dans des cas dégénérés, où certains paramètres peuvent s'annuler ou exploser. Dans cette partie est également exposé une justification de la dérivation d'un modèle d'équations aux dérivées partielles pour la réplication du prion. Ce modèle est vu comme approximation d'un système infini d'équation différentielles ordinaires. Ceci se fait grâce à des résultats de compacité faible et la preuve permet de proposer des pistes pour un modèle plus complet. La deuxième partie est consacrée à l'étude de modèles de diffusion croisée. Nous nous plaçons dans le cas d'un domaine bornée et en absence de termes de réactions. Le but est de questionner la stabilité de l'équilibre homogène. L'application de techniques de dualité utilisées pour les système de réaction-diffusion permettent d'obtenir des bornes qui servent elles-même ensuite, combinées à la régularité elliptique à obtenir l'existence globale pour une version régularisée du système. Ladite régularisation est dépendante d'un paramètre dont les valeurs déterminent la stabilité ou l'instabilité linéaire de l'équilibre homogène. La valeur critique du paramètre de régularisation est d'ailleurs une valeur de bifurcation pour les équilibres.

Cette thèse comporte deux volets indépendants mais tous deux motivés par la modélisation mathématique et la simulation numérique de procédés photovoltaïques. La Partie I traite de systèmes d’équations aux dérivées partielles de diffusion croisée, modélisant l’évolution de concentrations ou de fractions volumiques de plusieurs espèces chimiques ou biologiques. Nous présentons dans le chapitre 1 une introduction succincte aux résultats mathématiques connus sur ces systèmes lorsqu’ils sont définis sur des domaines fixes. Nous présentons dans le chapitre 2 un système unidimensionnel que nous avons introduit pour modéliser l’évolution des fractions volumiques des différentes espèces chimiques intervenant dans le procédé de déposition physique en phase vapeur (PVD) utilisé pour la fabrication de cellules solaires à couches minces. Dans ce procédé, un échantillon est introduit dans un four à très haute température où sont injectées les différentes espèces chimiques sous forme gazeuse, si bien que des atomes se déposent petit à petit sur l’échantillon, formant une couche mince qui grandit au fur et à mesure du procédé. Dans ce modèle sont pris en compte à la fois l’évolution de la surface du film solide au cours du procédé et l’évolution des fractions volumiques locales au sein de ce film, ce qui aboutit à un système de diffusion croisée défini sur un domaine dépendant du temps. En utilisant une méthode récente basée sur l’entropie, nous montrons l’existence de solutions faibles à ce système et nous étudions leur comportement asymptotique dans le cas où les flux extérieurs imposés à la surface du film sont supposés constants. De plus, nous prouvons l’existence d’une solution à un problème d’optimisation sur les flux extérieurs. Nous présentons dans le chapitre 3comment ce modèle a été adapté et calibré sur des données expérimentales. La Partie II est consacrée à des questions reliées au calcul de la structure électronique de matériaux cristallins. Nous rappelons dans le chapitre 4 certains résultats classiques relatifs à la décomposition spectrale d’opérateurs de Schrödinger périodiques. Dans le chapitre 5, nous tentons de répondre à la question suivante : est-il possible de déterminer un potentiel périodique tel que les premières bandes d’énergie de l’opérateur de Schrödinger associé soient aussi proches que possible de certaines fonctions cibles ?Nous montrons théoriquement que la réponse à cette question est positive lorsque l’on considère la première bande de l’opérateur et des potentiels unidimensionnels appartenant à un espace de mesures périodiques bornées inférieurement en un certain sens. Nous proposons également une méthode adaptative pour accélérer la procédure numérique de résolution du problème d’optimisation. Enfin, le chapitre 6 traite d’un algorithme glouton pour la compression de fonctions de Wannier en exploitant leurs symétries. Cette compression permet, entre autres, d’obtenir des expressions analytiques pour certains coefficients de tight-binding intervenant dans la modélisation de matériaux 2D / This thesis includes two independent parts, both motivated by mathematical modeling and numerical simulation of photovoltaic devices. Part I deals with cross-diffusion systems of partial differential equations, modeling the evolution of concentrations or volume fractions of several chemical or biological species. We present in Chapter 1 a succinct introduction to the existing mathematical results about these systems when they are defined on fixed domains. We present in Chapter 2 a one-dimensional system that we introduced to model the evolution of the volume fractions of the different chemical species involved in the physical vapor deposition process (PVD) used in the production of thin film solar cells. In this process, a sample is introduced into a very high temperature oven where the different chemical species are injected in gaseous form, so that atoms are gradually deposited on the sample, forming a growing thin film. In this model, both the evolution of the film surface during the process and the evolution of the local volume fractions within this film are taken into account, resulting in a cross-diffusion system defined on a time dependent domain. Using a recent method based on entropy estimates, we show the existence of weak solutions to this system and study their asymptotic behavior when the external fluxes are assumed to be constant. Moreover, we prove the existence of a solution to an optimization problem set on the external fluxes. We present in Chapter3 how was this model adapted and calibrated on experimental data. Part II is devoted to some issues related to the calculation of the electronic structure of crystalline materials. We recall in Chapter 4 some classical results about the spectral decomposition of periodic Schrödinger operators. In text of Chapter 5, we try to answer the following question: is it possible to determine a periodic potential such that the first energy bands of the associated periodic Schrödinger operator are as close as possible to certain target functions? We theoretically show that the answer to this question is positive when we consider the first energy band of the operator and one-dimensional potentials belonging to a space of periodic measures that are lower bounded in certain ness. We also propose an adaptive method to accelerate the numerical optimization procedure. Finally, Chapter 6 deals with a greedy algorithm for the compression of Wannier functions into Gaussian-polynomial functions exploiting their symmetries. This compression allows, among other things, to obtain closed expressions for certain tight-binding coefficients involved in the modeling of 2D materials