NTRU is a fast public-key cryptosystem that is constructed using polynomial rings with integer coefficients. We present ETRU, an NTRU-like cryptosystem based on the Eisenstein integers. We discuss parameter selection and develop a model for the probabilty of decryption failure. We also provide an implementation of ETRU. We use theoretical and experimental data to compare the security and efficiency of ETRU to NTRU with comparable parameter sets and show that ETRU is an improvement over NTRU in terms of security.

A set-theoretical point of view to study algebraic numbers has been introduced. We extend a result of Navarro-Bermudez concerning shift invariant measures in the Cantor space which are topologically equivalent to shift invariant measures which correspond to some algebraic integers. It is known that any transcendental numbers and rational numbers in the unit interval are not binomial. We proved that there are algebraic numbers of degree greater than two so that they are binomial numbers. Algebraic integers of degree 2 are proved not to be binomial numbers. A few compositive relations having to do with algebraic numbers on the unit interval have been studied; for instance, rationally related, integrally related, binomially related, B1-related relations. A formula between binomial numbers and binomial coefficients has been stated. A generalized algebraic equation related to topologically equivalent measures has also been stated.

Abstract Not Provided. / Thesis / Master of Science (MSc)

A robust knowledge of numbers, and their magnitudes, is thought to provide students a strong basis for later mathematics learning and achievement (see Siegler, 2016). The current study examined 7th grade students’ (N = 193) knowledge of numerical magnitudes, how this knowledge varied depending on the number’s type (integer or non-integer) and the number’s polarity (positive or negative), and the strategies that students use while estimating different types of numbers. The first experiment of the current study assessed students’ magnitude knowledge through a number line packet that used all-positive, all-negative, and bidirectional scales that spanned from negative to positive numbers; on these number line scales, students were asked to estimate whole numbers, fractions, and decimals. While prior literature has commonly assessed magnitude knowledge of positive integers (i.e., whole numbers) and non-integers (i.e., non-whole numbers), and the literature on negative numbers is growing, the current study is the first to directly explore students’ understanding of positive and negative magnitudes together with the use of all-negative and all-positive number line scales. Results from mixed linear models illustrated that a number’s polarity affects students’ estimates on the all-positive and all-negative scales, as estimates of negative and positive numbers differed in both accuracy and linearity. However, negative and positive estimates on the bidirectional scales were not significantly different from one another. Composite scores were created to reflect students’ performance on four types of number line scales, those that asked students to estimate positive integers, negative integers, positive non-integers, and negative non-integers. Analyses with these composite scores established that both polarity and number type separately affect students’ estimates—negative estimates had more error and were less linear than positive estimates, and non-integer estimates had more error and were less linear than integer estimates. The second experiment of this study used a think-aloud task to examine the strategies that students used while completing the number line task, and how these strategies differed depending on the number line’s overall scale, polarity, and the type of number being estimated (i.e., integers or non-integers). While some strategies were found to be prevalent across all types of number line scales, other strategy choices differed depending on the polarity of the scale, or the type of numbers being estimated. Findings from this study support the integrated theory of numerical development; mainly, that by the 7th grade students have integrated their knowledge of numbers into a unified system that houses both positive and negative numbers, and integers and non-integers. Educational implications are also discussed. / Educational Psychology

Thesis (PhD)--Stellenbosch University, 2012. / ENGLISH ABSTRACT: See full text / AFRIKAANSE OPSOMMING: Sien volteks

Our main result is that there are infinitely many primes of the form a² + b² such that a² + 4b² has at most 5 prime factors. We prove this by first developing the theory of $L$-functions for Gaussian primes by using standard methods. We then give an exposition of the Siegel--Walfisz Theorem for Gaussian primes and a corresponding Prime Number Theorem for Gaussian Arithmetic Progressions. Finally, we prove the main result by using the developed theory together with Sieve Theory and specifically a weighted linear sieve result to bound the number of prime factors of a² + 4b². For the application of the sieve, we need to derive a specific version of the Bombieri--Vinogradov Theorem for Gaussian primes which, in turn, requires a suitable version of the Large Sieve. We are also able to get the number of prime factors of a² + 4b² as low as 3 if we assume the Generalised Riemann Hypothesis.

For D an integral domain with field of fractions K and E a subset of K, the ring Int (E,D) = {f e K[X]lf (E) C D} of integer-valued polynomials on E has been well studies. In particulare, when E is a finite subset of D, Chapman, Loper, and Smith, as well as Boynton and Klingler, obtained a bound on the number of elements needed to generate a finitely generated ideal of Ing (E, D) in terms of the corresponding bound for D. We obtain analogous results for Int (r) (E, D) - {f e K [X]lf(k) (E) c D for all 0 < k < r} , for finite E and fixed integer r > 1. These results rely on the work of Skolem [23] and Brizolis [7], who found ways to characterize ideals of Int (E, D) from the values of their polynomials at points in D. We obtain similar results for E = D in case D is local, Noetherian, one-dimensional, analytically irreducible, with finite residue field. / by Yuri Villanueva. / Thesis (Ph.D.)--Florida Atlantic University, 2012. / Includes bibliography. / Mode of access: World Wide Web. / System requirements: Adobe Reader.

Neste trabalho, após analisar a prática pedagógica deste pesquisador relativa ao conceito dos números inteiros, identificamos as dificuldades para explicá-lo aos alunos da Educação Básica, que resultou no seguinte problema de pesquisa: Quais elementos devem conter uma atividade para o ensino dos números inteiros de modo a propiciar uma melhor aprendizagem para os alunos? Esta pesquisa tem um aspecto qualitativo (BOGDAN E BIKLEN, 1994) e outro documental (PÁDUA, 1997). Com Tardif (2002) e Cardoso (2012) buscamos entender os elementos sobre os saberes docentes e a relação com a formação profissional de professores e, em Shulman (2014) a análise das bases do conhecimento, essenciais para nos fundamentarmos no exercício da docência. Procuramos os elementos textuais necessários ao desenvolvimento das ideias iniciais, analisando documentos oficiais que nos guiaram à história dos números inteiros como um elemento facilitador da aprendizagem. Consequentemente, nos baseamos na necessidade de sobrevivência do comerciante indicado por Crosby (1999) para inserirmos esse contexto na matemática escolar, acreditando que ele possibilita um pensamento fora das estruturas matemáticas. Nessa pesquisa, os elementos textuais sobre o ensino dos números inteiros na Educação Básica, indicados por LIMA E MOISÉS (1998), alicerçam o pensamento com contrários e aproximam-se das situações do comerciante medieval de Crosby (1999). Finalmente, formulamos e apresentamos atividades para o ensino da matemática escolar que forneceram elementos textuais sobre o ensino do conceito dos números inteiros para alunos do Ensino Fundamental. Essas atividades visam facilitar o processo de ensino-aprendizagem e reduzir as dificuldades dos alunos na área numérica. / In this dissertation, after analyzing the pedagogical practice of this researcher on concept of integers, we identify the difficulties to explain it to the students of Basic Education, which resulted in the following research problem: What elements should an activity contain for the teaching of whole numbers in order to provide a better learning for the students? This research has a qualitative aspect (Bogdan and Biklen, 1994) and another documentary (Padua, 1997). With Tardif (2002) and Cardoso (2012) we seek to understand the elements about teacher knowledge and the relation with the professional formation of teachers, in Shulman (2014) the analysis of knowledge bases, essential to be based on the exercise of teaching. We searched for the textual elements necessary for the development of initial ideas, analyzing official documents that guided us to the history of integers as a facilitator of learning. Consequently, we rely on the merchant\'s need for survival as indicated by Crosby (1999) to insert this context into school mathematics, believing that it enables one thinking outside of mathematical structures. In this research, the textual elements on the teaching of integers in Basic Education, indicated by LIMA AND MOISÉS (1998) support the thinking with opposites and approach the situations of the medieval merchant of Crosby (1999). Finally, we formulate and present activities for the teaching of school mathematics that provided textual elements on the teaching of the concept of integers for elementary school students. These activities aim to facilitate the teaching-learning process and reduce students difficulties in the numerical area.

Using Fermat’s Little Theorem, it can be shown that Σmi=1 i m−1 ≡ −1 (mod m) if m is prime. It has been conjectured that the converse is true as well. Namely, that Σmi=1 i m−1 ≡ −1 (mod m) only if m is prime. We shall present some necessary and sufficient conditions for the conjecture to hold, and we will demonstrate that no counterexample exists for m ≤ 1012 .

AVELA, Adriano Silva. O número médio de representações de um inteiro positivo como soma dos quadrados de dois inteiros. 2017. 46 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-08-16T14:27:56Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_asavela.pdf: 787094 bytes, checksum: 1b45101b32e7b3738ea38b152f128087 (MD5) / Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Boa tarde, Conferi a Dissertação de ADRIANO SILVA AVELA e detectei alguns erros que devem ser corrigidos pelo próprio autor. Os mesmos seguem listados abaixo: 1- CAPA (altere o termo MESTRADO PROFISIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL para PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL) 2- FICHA CATALOGRÁFICA (está faltando a ficha catalográfica do trabalho, a mesma poderá ser elaborada sistema CATALOG, no endereço eletrônico: - http://fichacatalografica.ufc.br/ - e deve ser inserida antes da folha de aprovação) 3- FOLHA DE APROVAÇÃO (a folha de aprovação do trabalho está com formatação inadequada a mesma deve ocupar apenas uma página. O modelo encontra-se disponível no GUIA DE NORMALIZAÇÃO DE TRABALHOS ACADÊMICOS DA UFC, disponível no endereço eletrônico: http://www.biblioteca.ufc.br/images/arquivos/documentos_tecnicos/guia_normalizacao_trabalhos_ufc_2013.pdf 4- DEDICATÓRIA (veja o modelo de formatação da dedicatória no GUIA DE NOEMALIZAÇÃO DA UFC) 5- AGRADECIMENTOS (este item do trabalho não deve conter o nome do autor ao final dos agradecimentos, verifique o modelo no GUIA DE NORMALIZAÇÃO) 6- NUMERAÇÃO INADEQUADA DE PÁGINAS (verifique o trabalho e retire as numerações desordenada das primeiras páginas do trabalho. O número das páginas só deve aparecer a partir da INTRODUÇÃO) 7- EPÍGRAFE (a frase que compõe este elemento do trabalho deve conter a identificação do autor ao qual ela pertence. Mas ela é um elemento opcional, assim você poderá retirá-la sem nenhum prejuízo) 8- RESUMO/ABSTRACT (a formatação dos termos RESUMO e ABSTRACT está incorreta, esses dois termos devem estar em CAIXA ALTA, NEGRITO e FONTE n° 12) 9- PALAVRAS-CHAVE/KEYWORD (acrescente um ponto final no lugar das vírgulas que separam as Palavras e as Keywords) 10 – LISTA DE FIGURAS/LISTA DE TABELAS (Veja o modelo adequado para esses dois itens no GUIA DE NORMALIZAÇÃO) 11 - SUMÁRIO (verifique no GUIA DE NORMALIZAÇÃO o modelo adequado para a elaboração do sumário. Ressalto que o item INTRODUÇÃO é um capítulo e deve constar no sumário com a numeração de primeiro capítulo, Já os termos REFERÊNCIAS e APÊNDICE não devem apresentar numeração de capítulo, verifique no GUIA a formatação desses itens) 12 - TITULO DOS CAPÍTULOS (os títulos de capítulos e seções devem seguir a seguinte formatação: 1 TÍTULOS DE CAPÍTULOS (incluindo a Introdução, CAIXA ALTA, FONTE n° 12, NEGRITO, ALINHADO À ESQUERDA) 1.1 Títulos de seções (seção primária, CAIXA BAIXA, NEGRITO, FONTE N° 12, ALINHADO À ESQUERDA) *NO CASO DE DUVIDA CONSULTE O GUIA DE NORMALIZAÇÃO 13 - NUMERAÇÃO DE PÁGINAS (a número das páginas deve começar a aparecer a partir da folha de introdução, no CANTO SUPERIOR DIREITO) 14- CONCLUSÃO (a conclusão é um item obrigatório que deve constar na dissertação, o GUIA DE NORMALIZAÇÃO DA UFC menciona que “A conclusão deve ser decorrência natural do que foi exposto no desenvolvimento. Assim, em qualquer tipo de trabalho, deve resultar de deduções lógicas sempre fundamentadas no que foi apresentado e discutido anteriormente. Visa a recapitular sinteticamente os resultados da pesquisa.” 15 – REFERÊNCIAS/APÊNDICE (verifique no GUIA DE NORMALIZAÃO a formatação adequada para os títulos da REFERÊNCIAS e APÊNCE) on 2017-08-16T16:56:52Z (GMT) / Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-08-21T13:41:34Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_asavela.pdf: 834141 bytes, checksum: 7d55f68b04bdc455d1c717f7a76571de (MD5) / Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Boa tarde, Ainda há alguns erros na Dissertação de ADRIANO SILVA AVELA que devem ser corrigidos. Eu envie uma cópia desse email para ele, pois contem o anexo com a ficha catalográfica, que não tem como ser enviado aqui pelo repositório. 1- FICHA CATALÓGRAFICA (havia alguns erros na ficha catalográfica, por isso enviamos em anexo a nova ficha para ser inserida no trabalho) 2- RESUMO E ABSTRACT (Retire o recuo do parágrafo na primeira linha do resumo e do abstract. A letra inicial das duas palavras chaves e das Keywords deve ser maiúscula) 3- NUMERAÇÃO DAS PÁGINAS ( o modelo da numeração está coreto, apenas comece com o número 9 na página da INTRODUÇÃO) 4- SUMÁRIO (segue abaixo o modelo do sumário com a formatação adequada, apenas deve ser inserida a numeração das páginas e a linha pontilhada) 1 INTRODUÇÃO 2 ARITMÉTICA DO RESTOS 2.1 A relação de congruência 2.2 Congruências lineares 2.3 Resíduos quadráticos 3 NÚMEROS PRIMOS E SOMAS DE QUADRADOS 4 FUNÇÃO˜ s2 E FUNÇÃO˜ s3 4.1 Função s2 4.2 Função s3 5 SOMA DE DOIS QUADRADOS 6 SOMA DE TRES QUADRADOS 7 CONCLUSÃO REFERÊNCIAS APÊNDICE A - TABELAS DE VALORES APÊNDICE B - RESULTADOS COMPLEMENTARES APÊNDICE C - TEOREMA DOS QUATRO QUADRADOS on 2017-08-21T17:16:15Z (GMT) / Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-08-22T15:34:15Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_asavela.pdf: 833511 bytes, checksum: 0e2b00b8533fc647e6c76928c5de4671 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-08-23T11:09:25Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_dis_asavela.pdf: 833511 bytes, checksum: 0e2b00b8533fc647e6c76928c5de4671 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-08-23T11:09:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_dis_asavela.pdf: 833511 bytes, checksum: 0e2b00b8533fc647e6c76928c5de4671 (MD5) Previous issue date: 2017-07 / This paper aims to address two themes: the representation of positive integers as sum of squares and the average number of representations of a positive integer as the sum of two squares. About the first theme, we will prove several results to understand under what conditions a positive integer has a representation as a sum of two, three or four squares. About the second theme, we will prove that the mean number of representations of a positive integer as the sum of the squares of two integers is . To do so, we will introduce the function s 2 which associates an integer n with the cardinality of the set X n = {( a, b ) ∈ Z 2 ; a 2 + b 2 = n } and we will calculate the limit of its average value. Finally, as an analogy to the result regarding the mean value of s 2 , we will define the function s 3 , that associates a positive integer n with the cardinality of the set Y n = {( a, b, c ) ∈ Z 3 ; a 2 + b 2 + c 2 = n } and we will prove that there is no mean number of representations of a positive integer as the sum of the squares of three integers. / Este trabalho tem como objetivo abordar dois temas: a representação de inteiros positivos como soma de quadrados e o número médio de representações de um inteiro positivo como soma de dois quadrados. Sobre o primeiro tema, provaremos diversos resultados para entender em quais condições um inteiro positivo possui uma representação como soma de dois, três ou quatro quadrados. Sobre o segundo tema, provaremos que um inteiro positivo tem, em média,pi representações como soma dos quadrados de dois inteiros. Para tanto, introduziremos a função s2 (n), que associa um inteiro n com a cardinalidade do conjunto Xn = {(a, b) Z2 ; a2 + b2 = n} e calcularemos o limite do seu valor médio. Por fim, como analogia ao resultado a respeito do valor médio de s2, definiremos uma outra função s3 que associa um inteiro positivo n com a cardinalidade do conjunto Yn = {(a, b, c) Z3 ; a2 + b2 + c2 = n} e provaremos que não existe um número médio de representações de um inteiro positivo como soma dos quadrados de três inteiros.