Ce mémoire revient sur l'invariant de Gromov-Witten dans le contexte de topologie symplectique. D'abord, on présente un survol des notions nécessaires de la topologie symplectique, qui inclut les espaces vectoriels symplectiques, les variétés symplectiques, les structures presque complexes et la première classe de Chern. Ensuite, on présente une définition de l'invariant de Gromov-Witten, qui utilise les courbes pseudoholomorphes, les espaces de modules ainsi que les applications d'évaluation. Finalement, on donne quelques exemples de calcul d'invariant à la fin de ce mémoire. / The present work reviews the Gromov-Witten invariant in the context of symplectic topology. First, we showcase the basic concepts required for the understanding of the matter, which includes symplectic vector spaces, symplectic manifolds, almost complex structures and the first Chern class. Then, we provide a definition of the Gromov-Witten invariant, after studying pseudoholomorphic curves, moduli spaces and evaluation maps. In the end, we present some examples of Gromov-Witten invariant calculations.

En 2001, Barannikov a montré que la variété de Frobenius provenant de la cohomologie quantique de l'espace projectif complexe est isomorphe à la variété le Frobenius associée à un polynôme de Laurent. <br /> <br /> L'objectif de cette thèse est de généraliser ce résultat. Plus précisément, nous montrons, modulo une conjecture sur la valeur de certains invariants de Gromov-Witten orbifold, que la structure de Frobenius obtenue sur la cohomologie quantique orbifolde de l'espace projectif à poids est isomorphe à celle obtenue à partir d'un certain polynôme de Laurent.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Cette thèse porte sur diverses applications de la théorie des cordes topologiques basée sur différents types de variétés de Calabi-Yau (CY). Le premier type considéré est la variété torique CY, qui est intimement liée aux problèmes spectraux des différents opérateurs. L'exemple particulier considéré dans la thèse ressemble beaucoup au modèle de Harper-Hofstadter en physique de la matière condensée. Nous étudions d’abord les secteurs non perturbatifs dans ce modèle et proposons une nouvelle façon de les calculer en utilisant la théorie topologique des cordes. Dans la deuxième partie de la thèse, nous considérons les fonctions de partition sur des variétés de CY elliptiquement fibrées. Celles-ci présentent un comportement modulaire intéressant. Nous montrons que pour les géométries qui ne conduisent pas à des symétries de jauge non abéliennes, les fonctions de partition des cordes topologiques peuvent être reconstruites avec seulement les invariants de Gromov-Witten du genre zéro. Finalement, nous discutons des travaux en cours concernant la relation entre les fonctions de partitionnement des cordes topologiques sur les soi-disant arbres de Higgsing dans la théorie de F. / This thesis focuses on various applications of topological string theory based on different types of Calabi-Yau (CY) manifolds. The first type considered is the toric CY manifold, which is intimately related to spectral problems of difference operators. The particular example considered in the thesis closely resembles the Harper-Hofstadter model in condensed matter physics. We first study the non-perturbative sectors in this model, and then propose a new way to compute them using topological string theory. In the second part of the thesis, we consider partition functions on elliptically fibered CY manifolds. These exhibit interesting modular behavior. We show that for geometries which don't lead to non-abelian gauge symmetries, the topological string partition functions can be reconstructed based solely on genus zero Gromov-Witten invariants. Finally, we discuss ongoing work regarding the relation of the topological string partition functions on the so-called Higgsing trees in F-theory.

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