I den här kandidatuppsatsen betraktar vi ett illa ställt Cauhy-problem för värmeekvationen i tunna väggar. Problemet kan matematiskt formuleras som: givet brusiga mätningar u x(L, t) och u(L, t) av ux(L, t) och u(L, t) längs linjen x = L bestäm lösningen för u(x, t) för 0 ≤ x, där u uppfyller värmeledningsekvationen ut = ((x)ux)x. Problemet dyker upp i många tillämpningar när man vill uppskatta en temperatur men att en direkt mätning inte låter sig göras. Man mäter en temperatur på ett annat ställe och beräknar temperaturen i den punkt man är intresserad av. Tyngdpunkten i uppsatsen ligger i att undersöka det inversa värmeproblemet i en vägg med flera lager. Det modelleras med att (x) antas vara styckvis konstant.    Problemet undersöks med Fourieranalys. Analysen visar att problemet är extremt illaställt och att det beror på förstärkning av höga frekvenser från mätbruset. Vi presenterar numeriska metoder för att regularisera och lösa problmet. Numersiska exempel som illustrar illaställdheten och regulariserade lösningar ges.

<p>I detta examensarbete har en metod för att utvärdera magnetiska minsvep utvecklats. Som beräkningsmodell används en SAM, Självgående Akustisk-magnetisk Minsvepare utvecklad av Kockums AB, ThyssenKrupp Marine Systems. I arbetet skapas en magnetisk modell för en SAM som beskriver sambandet mellan det alstrade magnetfältet och de utställda strömmarna. Vidare analyseras två olika metoder, multipolutveckling i prolata sfäroidala koordinater samt en uppsättning av dipoler, för att skapa en koncis modell över den magnetiska signatur som skapas av ett fartyg. Denna modell kan sedan användas för att optimera strömutstyrningen så att det genererade magnetfältet på ett så bra sätt som möjligt efterliknar det givna fartyget. Arbetet avslutas med att ta fram utvärderingsalgoritmer för tre olika typer av magnetiska minor.</p> / <p>In this Master's dissertation, a method to evaluate magnetic mine sweep is developed. As a calculation model, a Self-propelled Acoustic Magnetic Mine Sweep (SAM), developed by Kockums AB, ThyssenKrupp Marine Systems, is used. A model that describes the generated magnetic flux density from a SAM as a function of the feed current is developed. Furthermore, two methods to model the magnetic signature from a ship are employed; multipole expansion in prolate spheroidal coordinates and an array of magnetic point dipoles. Using these models makes it possible to optimise the feed current so that the magnetic flux density from a SAM is as similar to the ship’s signature as possible. Finally, algorithms to evaluate a mine sweep with respect to three different types of naval mines are developed.</p>

I detta examensarbete har en metod för att utvärdera magnetiska minsvep utvecklats. Som beräkningsmodell används en SAM, Självgående Akustisk-magnetisk Minsvepare utvecklad av Kockums AB, ThyssenKrupp Marine Systems. I arbetet skapas en magnetisk modell för en SAM som beskriver sambandet mellan det alstrade magnetfältet och de utställda strömmarna. Vidare analyseras två olika metoder, multipolutveckling i prolata sfäroidala koordinater samt en uppsättning av dipoler, för att skapa en koncis modell över den magnetiska signatur som skapas av ett fartyg. Denna modell kan sedan användas för att optimera strömutstyrningen så att det genererade magnetfältet på ett så bra sätt som möjligt efterliknar det givna fartyget. Arbetet avslutas med att ta fram utvärderingsalgoritmer för tre olika typer av magnetiska minor. / In this Master's dissertation, a method to evaluate magnetic mine sweep is developed. As a calculation model, a Self-propelled Acoustic Magnetic Mine Sweep (SAM), developed by Kockums AB, ThyssenKrupp Marine Systems, is used. A model that describes the generated magnetic flux density from a SAM as a function of the feed current is developed. Furthermore, two methods to model the magnetic signature from a ship are employed; multipole expansion in prolate spheroidal coordinates and an array of magnetic point dipoles. Using these models makes it possible to optimise the feed current so that the magnetic flux density from a SAM is as similar to the ship’s signature as possible. Finally, algorithms to evaluate a mine sweep with respect to three different types of naval mines are developed.

Estimating parameters is the problem of finding their values from measurements and modelling. Parameters describe properties of a system; material, for instance, are defined by mechanical, electrical, and chemical parameters. Fisher information is an information measure, giving information about how changes in the parameter effect the estimation. The Fisher information includes the physical model of the problem and the statistical model of noise. The Cramér-Rao bound is the inverse of the Fisher information and gives the best possible variance for any unbiased estimator. This thesis considers aspects of sensitivity analysis in two applied material parameter estimation problems. Sensitivity analysis with the Fisher information and the Cramér-Rao bound is used as a tool for evaluation of measurement feasibilities, comparison of measurement set-ups, and as a quantitative measure of the trade-off between accuracy and resolution in inverse imaging. The first application is with estimation of the wood grain angle parameter in trees and logs. The grain angle is the angle between the direction of the wood fibres and the direction of growth; a large grain angle strongly correlates to twist in sawn timber. In the thesis, measurements with microwaves are argued as a fast and robust measurement technique and electromagnetic modelling is applied, exploiting the anisotropic properties of wood. Both two-dimensional and three-dimensional modelling is considered. Mathematical modelling is essential, lowering the complexity and speeding up the computations. According to a sensitivity analysis with the Cramér-Rao bound, estimation of the wood grain angle with microwaves is feasible. The second application is electrical impedance tomography, where the conductivity of an object is estimated from surface measurements. Electrical impedance tomography has applications in, for example, medical imaging, geological surveillance, and wood evaluation. Different configurations and noise models are evaluated with sensitivity analysis for a two-dimensional electrical impedance tomography problem. The relation between the accuracy and resolution is also analysed using the Fisher information. To conclude, sensitivity analysis is employed in this thesis, as a method to enhance material parameter estimation. The sensitivity analysis methods are general and applicable also on other parameter estimation problems. / Estimering av parametrar är att finna deras värde utifrån mätningar och modellering. Parametrar beskriver egenskaper hos system och till exempel material kan definieras med mekaniska, elektriska och kemiska parametrar. Fisherinformation är ett informationsmått som ger information om hur ändringar i en parameter påverkar estimeringen. Fisherinformationen ges av en fysikalisk modell av problemet och en statistisk modell av mätbruset. Cramér-Rao-gränsen är inversen av Fisherinformationen och ger den bästa möjliga variansen för alla väntevärdesriktiga estimatorer.Den här avhandlingen behandlar aspekter av känslighetsanalys i två tillämpade estimeringsproblem för materialparametrar. Känslighetsanalys med Fisherinformation och Cramér-Rao-gränsen används som ett redskap för utvärdering av möjligheten att mäta och för jämförelser av mätuppställningar, samt som ett kvantitativt mått på avvägningen mellan noggrannhet och upplösning för inversa bilder. Den första tillämpningen är estimering av fibervinkeln hos träd och stockar. Fibervinkeln är vinkeln mellan växtriktningen och riktningen hos träfibern och en stor fibervinkel är relaterad till problem med formstabilitet i färdiga brädor. Mikrovågsmätningar av fibervinkeln presenteras som en snabb och robust mätteknik. I avhandlingen beskrivs två- och tredimensionella elektromagnetiska modeller som utnyttjar anisotropin hos trä. Eftersom matematisk modellering minskar komplexiteten och beräkningstiden är det en viktig del i estimeringen. Enligt känslighetsanalys med Cramér-Rao-gränsen är estimering av fibervinkeln hos trä möjlig. Den andra tillämpningen är elektrisk impedanstomografi, där ledningsförmågan hos objekt bestäms genom mätningar på ytan. Elektrisk impedanstomografi har tillämpningar inom till exempel medicinska bilder, geologisk övervakning och trämätningar. Olika mätkonfigurationer och brusmodeller utvärderas med känslighetsanalys för ett tvådimensionellt exempel på elektrisk impedanstomografi. Relationen mellan noggrannhet och upplösning analyseras med Fisher information. För att sammanfatta beskrivs känslighetsanalys som en metod för att förbättra estimeringen av materialparametrar. Metoderna för känslighetsanalys är generella och kan tillämpas också på andra estimeringsproblem för parametrar.