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A survey on KK-theory.January 1996 (has links)
by Wong Chi-hang. / Thesis (M.Phil.)--Chinese University of Hong Kong, 1996. / Includes bibliographical references (leaves 86-87). / Acknowledgment --- p.i / Abstract --- p.ii / Introduction --- p.1 / Chapter 1 --- Preliminaries --- p.2 / Chapter 1.1 --- Hilbert C*-modules --- p.2 / Chapter 1.2 --- Some Constructions with Hilbert C*-modules --- p.10 / Chapter 1.3 --- Graded C*-algebras --- p.14 / Chapter 1.4 --- Graded Tensor Products --- p.19 / Chapter 1.5 --- Kasparov's Technical Theorem --- p.24 / Chapter 2 --- The KK-groups --- p.31 / Chapter 2.1 --- Basic Definition --- p.31 / Chapter 2.2 --- The Relation of KK-groups and K-groups --- p.43 / Chapter 2.3 --- "KKoh(C,C)" --- p.47 / Chapter 2.4 --- Basic Properties of KK-groups --- p.50 / Chapter 3 --- The Kasparov Products --- p.55 / Chapter 3.1 --- Kasparov Products --- p.55 / Chapter 3.2 --- The associativity of Kasparov product --- p.73 / Bibliography --- p.86
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K-theory of C*-categoriesMitchener, Paul David January 2000 (has links)
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An Embedded Toeplitz ProblemOrdonez-Delgado, Bartleby 05 October 2010 (has links)
In this work we investigate multi-variable Toeplitz operators and their relationship with KK-theory in order to apply this relationship to define and analyze embedded Toeplitz problems. In particular, we study the embedded Toeplitz problem of the unit disk into the unit ball in C^2. The embedding of Toeplitz problems suggests a way to define Toeplitz operators over singular spaces. / Ph. D.
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K-theory correspondences and the Fourier-Mukai transformHudson, Daniel 02 May 2019 (has links)
The goal of this thesis is to give an introduction to the geometric picture of bivariant K-theory developed by Emerson and Meyer building on the ideas Connes and Skandalis, and then to apply this machinery to give a geometric proof of a result of Emerson. We begin by giving an overview of topological K-theory, necessary for developing bivariant K-theory. Then we discuss Kasparov's analytic bivariant K-theory, and from there develop topological bivariant K-theory. In the final chapter we state and prove the result of Emerson. / Graduate
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A Loop Group Equivariant Analytic Index Theory for Infinite-dimensional Manifolds / 無限次元多様体のループ群同変解析的指数理論Takata, Doman 26 March 2018 (has links)
京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第20882号 / 理博第4334号 / 新制||理||1623(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 加藤 毅, 教授 上 正明, 准教授 入谷 寛 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM
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Exakte Moduln über dem von Manuel Köhler beschriebenen Ring / Exact modules over Manuel Köhler's ringGrande, Vincent 12 September 2018 (has links)
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Théorie de l'indice pour les familles d'opérateurs G-transversalement elliptiques / Index theory for families of G-transversally elliptic operatorsBaldare, Alexandre 16 February 2018 (has links)
Le problème de l'indice est de calculer l'indice d'un opérateur elliptique en termes topologiques. Ce problème fut résolu par M. Atiyah et I. Singer en 1963 dans "The index of elliptic operators on compact manifolds". Quelques années plus tard, ces auteurs ont fourni une nouvelle preuve dans "The index of elliptic operators I" permettant plusieurs généralisations et applications. La première est la prise en compte de l'action d'un groupe compact G, dans ce cadre on obtient une égalité dans l'anneau des représentations de G. Par la suite ils ont généralisé ce résultat au cadre des familles d'opérateurs elliptiques paramétrées par un espace compact dans "The index of elliptic operators IV", ici l'égalité vit dans la K-théorie de l'espace paramétrant la famille.Une autre généralisation importante est celle des opérateurs transversalement elliptiques par rapport à l'action d'un groupe G, c'est-à-dire elliptiques dans le sens transverse aux orbites de l'action d'un groupe sur une variété. Cette classe d'opérateurs a été étudié pour la première fois dans le cadre d'un opérateur P agissant sur une variété M par M. Atiyah (et I. Singer) dans "Elliptic operators and compact groups", en 1974. Dans cet article l'auteur définit une classe indice et montre qu'elle ne dépend que de la classe du symbole en K-théorie. Il montre ensuite qu'elle vérifie différents axiomes : action libre, multiplicativité et excision. Ces différents axiomes permettent alors de ramener le calcul de l'indice à un espace euclidien muni de l'action d'un tore. Par la suite, cette classe d'opérateurs a été étudier du point de vue de la K-théorie bivariante par P. Julg [1982] et plus récemment dans le cadre des actions propres sur une variété non compacte par G. Kasparov [2016].Dans cette thèse, nous nous intéressons aux familles d'opérateurs G-transversalement elliptiques. Nous définissons une classe indice en K-théorie bivariante de Kasparov. Nous vérifions qu'elle ne dépend que de la classe du symbole de la famille en K-théorie. Nous montrons que notre classe indice vérifie les propriétés d'action libre, de multiplicativité et d'excision espérées en K-théorie bivariante. Nous montrons ensuite un théorème d'induction et de compatibilité avec les applications de Gysin. Ces derniers théorèmes permettent de ramener le calcul de l'indice au cas d'une famille triviale pour l'action d'un tore comme dans le cadre d'un seul opérateur sur une variété. Nous démontrons ensuite qu'on peut associer à cette classe indice un caractère de Chern à coefficients distributionnels sur G à valeurs dans la cohomologie de de Rham de l'espace paramétrant lorsque c'est une variété. Pour ce faire, nous utilisons l'homologie locale de M. Puschnigg [2003] et une technique de M. Hilsum et G. Skandalis [1987]. Par la suite, nous nous intéressons aux formules de Berline et Vergne dans ce cadre. Avant de passer aux formules générales pour une famille d'opérateurs G-transversalment elliptiques, on commence par regarder si on obtient les mêmes formules dans le cadre elliptique. On montre alors des égalités similaires à celles obtenues par N. Berline et M. Vergne [1985] dans le cadre d'un opérateur elliptique G-invariant. Dans un dernier chapitre, on montre la formule de Berline-Vergne dans le cadre des familles d'opérateurs G-transversalement elliptiques. On utilise ici la formule de Berline-Vergne pour un opérateur G-transversalement elliptique et les différentes techniques mises en place dans les chapitres précédents. / The index problem is to calculate the index of an elliptic operator in topological terms. This problem was solved by M. Atiyah and I. Singer in 1963 in "The index of elliptic operators on compact manifolds". Few years later, these authors have given a new proof in "The index of elliptic operators I" allowing several generalizations and applications. The first is taking into account of the action of a compact group G, in this frame they obtain an equality in the ring of the representations of G. Later they generalized this result to the framework of the families of elliptic operators parameterized by a compact space in "The index of elliptic operators IV", here equality lives in the K-theory of the space of parameter.Another important generalization is the transversely elliptic operators with respect to a group action, that is to say, elliptic in the transverse direction to the orbits of a group action on a manifold. This class of operators has been studied for the first time by M. Atiyah (and I. Singer) in "Elliptic operators and compact groups", in 1974. In this article the author defines an index class and shows that it depends only on the symbol class in K-theory. Then he shows that it verifies different axioms: free action, multiplicativity and excision. These different axioms allows to reduce the calculation of the index to an Euclidean space equipped with an action of a torus. Next, this class of operators has been studied from the point of view of bivariant K-theory by P. Julg [1982] and more recently in the context of proper action on a non-compact manifolds by G. Kasparov [2016].In this thesis, we are interested in families of G-transversely elliptic operators. We define an index class in Kasparov bivariant K-theory. We verify that it depends only on the class of the symbol of the family in K-theory. We show that our index class satisfies the expected free action, multiplicativity and excision properties in bivariant K-theory. We then show a theorem of induction and compatibility with Gysin maps. These last theorems allows to reduce the calculation of the index to the case of a trivial family for the action of a torus as in the framework of a single operator on a manifold. We then prove that we can associate to this index class a Chern character with distributional coefficients on G with values in the de Rham cohomology of the parameter space when it is a manifold. To do this, we use the bivariant local cyclic homology of M. Puschnigg [2003] and a technique of M. Hilsum and G. Skandalis [1987].Before treating the general framework of families of G-transversely elliptic operators, we look at the elliptic case. We show that the expected formulas are true in this context. In the last chapter, we show the Berline-Vergne formula in the context of families of G-transversely elliptic operators. We use here the Berline-Vergne formula for a G-transversely elliptic operator and the different methods used in the previous chapters.
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Poincaré self-duality of A_θDuwenig, Anna 09 April 2020 (has links)
The irrational rotation algebra A_θ is known to be Poincaré self-dual in the KK-theoretic sense. The spectral triple representing the required K-homology fundamental class was constructed by Connes out of the Dolbeault operator on the 2-torus, but
so far, there has not been an explicit description of the dual element. We geometrically construct, for certain elements g of the modular group, a finitely generated
projective module L_g over A_θ ⊗ A_θ out of a pair of transverse Kronecker flows on
the 2-torus. For upper triangular g, we find an unbounded cycle representing the
dual of said module under Kasparov product with Connes' class, and prove that this
cycle is invertible in KK(A_θ,A_θ), allowing us to 'untwist' L_g to an unbounded cycle
representing the unit for the self-duality of A_θ. / Graduate
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Universal Coefficient Theorems in Equivariant KK-theory / Universelle Koeffizienten Theoreme in äquivarianter KK-theorieKöhler, Manuel 15 December 2010 (has links)
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Deformation groupoids and applications / Groupoïdes de déformations et applicationsMohsen, Omar 04 October 2018 (has links)
Cette thèse est consacrée à l’étude de trois questions différentes concernant les groupoïdes de Lie et leurs applications. Le premier chapitre présente quelques préliminaires sur les groupoïdes de Lie. Dans le chapitre 2, on exprime la déformation de Witten à l’aide d’une déformation au cone normal et la théorie de C∗-modules ce qui nous permet de retrouver les inégalités de Morse. Notre méthode se généralise au cas des feuilletages. Dans le chapitre 3, on donne une construction simple du groupoïde de déformation construit par Choi-Pönge et Van Erp-Yuncken. Rappelons que celui-ci décrit le calcule pseudo-différentiel inhomogène grâce au travail de Debord-Skandalis et Van Erp- Yuncken. Notre construction montre que le groupoïde de déformation est en fait une déformation au cone normal classique itérée. Dans le chapitre 4, suivant le travail de Antonini, Azzali et Skandalis, on construit un élément en KK-théorie équivariante qui permet d’exprimer directement les invariants de Chern-Simons en K-théorie. Dans l’appendice on donne quelques rappels sur la KK-théorie équivariante et la KK-théorie réelle introduite par Antonini, Azzali et Skandalis. / This thesis is devoted to the study of three different questions concerning Lie groupoids and their applications. The first chapter presents some preliminaries on Lie groupoids. In Chapter 2, Witten’s deformation is expressed using deformation to the normal cone construction and the theory of C∗-modules, which allows us to reprove the Morse inequalities. Our method is generalised to the case of foliations. In Chapter 3, we give a simple construction of the deformation groupoid built by Choi-Pönge and Van Erp-Yuncken. Recall that this groupoid describes the inhomogeneous pseudo-differential calculus thanks to the work of Debord-Skandalis and Van Erp-Yuncken. Our construction shows that the deformation groupoid is actually an iterated classical deformation to the normal cone. In Chapter 4, following the work of Antonini, Azzali and Skandalis, we construct an element in equivariant KK-theory that allows us to express the Chern-Simons invariants directly in K-theory. In the appendix we give some reminders about the equivariant KK-theory and the real KK-theory introduced by Antonini, Azzali and Skandalis.
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