Dans le cadre de cette thèse, nous nous intéressons à ”l’exposant de Lyapu-nov” pour deux modèles en milieu aléatoire : la marche aléatoire en potentiel aléatoire, le mouvement brownien en potentiel poissonnien.Dans la première partie de la thèse (chapitre II), on étudie une marche aléatoire dans un potentiel aléatoire donné par une famille de variables aléa¬toires i.i.d. non-négatives. La continuité des exposants de Lyapunov par rap¬port à la loi du potentiel est démontrée dans le cas transient, c’est-à-dire en dimension d ≥ 3 ou en dimension 2 pour un potentiel borné inférieurement. On poursuit avec l’étude des exposants critiques : l’exposant de volume ξ et l’exposant de fluctuation X. On obtient l’une des inégalités suggérée par la conjecture de KPZ sous une condition de courbure de la forme asymptotique. Les exposants de Lyapunov jouent un rôle important dans cette étude.La deuxième partie de la thèse (chapitre III) est surtout consacrée à l’étude du brownien dans un potentiel aléatoire de longue portée. On débute cependant par un potentiel classique à portée finie. Sznitman (1987-1998) a étudié plusieurs aspects de ce modèle. Un premier résultat de cette partie est la continuité des exposants de Lyapunov par rapport au paramètre du pro¬cessus de Poisson. On étudie ensuite le modèle proposé par Lacoin (2012) qui est un modèle avec un potentiel à longue portée. Il a obtenu des estimations des exposants critiques sensiblement différentes de celles de Wüthrich (1998) pour le modèle de Sznitman. Dans cette thèse, on poursuit l’étude du modèle de Lacoin. On montre l’existence des exposants de Lyapunov, le théorème de la forme limite et une estimation de grandes déviations. / In this thesis, we are interested in Lyapunov exponent for two models in random media : random walk in random potential, Brownian motion in Poisson potential.In the first part (chapter II), we study a random walk in a random potential given by a family of i.i.d random non-negative variables. The continuity of Lyapunov exponents with respect to the law of potential is shown in the case transient, that is, in the dimension d ≥ 3 or in the dimension d = 2 for a lower bounded potential. Next, we consider the critical exponents : the exponent of volume ξ and the exponent of fluctuation X. We give an inequality suggested by the KPZ conjecture under a condition of asymptotic form. Lyapunov exponents play an important role in this work.The second part (chapter III) is mainly devoted to the study Brownian motion in a long-range random potential. However, we begin with a classical finite-range potential. Sznitman (1987-1998) investigated several aspects of this model. The first result of this part is the continuity of the Lyapunov exponents with respect to the parameter of the Poisson process. Then, we study the model proposed by Lacoin (2012) which is a long-range potential model. He obtained some estimations of critical exponents that are significantly different from those of Wüthrich (1998) for the model of Sznitman.In this thesis, we pursue the study of Lacoin model. We show the existence of Lyapunov exponents, the shape limit theorem and an estimation of large deviations

Cette thèse porte sur la géométrie du champ libre Gaussien. Le champ libre Gaussien est un objet central en théorie quantique des champs et représente entre autre les fluctuations naturelles d'un potentiel électrique ou d’un modèle de dimères. La thèse commence dans le discret avec la démonstration d'un principe de Donsker en dimension plus grande que 1. Ce résultat est établi grâce à une nouvelle façon de représenter le champ libre en exprimant son gradient comme la partie gradient d'un champ de bruits blancs. Ensuite, les processus d'exploration du champ libre - ou ensembles locaux - introduits par Schramm-Sheffield sont étudiés en détail. Ces ensembles locaux généralisent de façon naturelle le concept de temps d'arrêt. On formalise cette théorie d'une nouvelle manière en procédant par analogie au cas 1D. Pour mieux comprendre le comportement du champs libre près des points d'intersection des ensembles locaux, un étude fine des oscillations du champ libre 2D près du bord s'avère utile. Enfin, la partie principale de cette thèse étudie des processus d'explorations particuliers – les processus SLE qui sont couplés naturellement avec le champ libre. On peut donner par exemple un sens aux lignes de niveau en utilisant le processus SLE_4 (Schramm-Sheffield). Nous avons utilisé ce couplage pour mieux comprendre la relation dite de KPZ qui intervient dans la théorie de la gravité quantique de Liouville. A l ‘aide de résultats fins sur l’enroulement des SLEs, nous avons montré comment adapter la relation de KPZ à la famille ci-dessus de processus d’explorations du champ libre. On peut interpréter ces résultats aussi comme une description de la géométrie du champ libre près des ces lignes d’exploration. / In this thesis we study the geometry of the Gaussian free field (GFF). After a gentle general introduction, we describe what we call the Hodge decomposition of the white noise – a way to represent the white noise vector field as a sum of a gradient and a rotation of independent GFFs. This decomposition gives rise to the Donsker invariance principle for the GFF.Next, we revisit from a slightly different angle the theory of so-called local sets of the GFF, introduced by Schramm and Sheffield. These random sets allow one to study the geometry of the GFF in a Markovian way. We also go a step further in describing the behaviour of the field near the boundary of possibly several local sets. The first chapter ends with a study of boundary oscillations of the GFF.The GFF is only a generalized function, yet it comes out that one can still make sense of it as a „random landscape“. In particular, Schramm and Sheffield gave meaning to the level lines of the GFF in terms of a coupling with SLE_4 process. In chapter 2 we study this coupling and describe the existent proofs and a non-proof of measurability of the SLE_4 process in this coupling. The rest of this chapter contains one of the most technical parts of the thesis – we obtain fine estimates on the winding of the SLE curves, conditioned to pass closely by a fixed point.This technical work is put in use in chapter 3, where we study the so called KPZ relation. In this context, the KPZ formula relates fractal dimensions of sets under the Euclidean geometry and under the „quantum geometry“ given by the exponential of the GFF. So far the KPZ formula was derived for planar sets independent of the quantum geometry. Here, we determine the KPZ formulas for sets that are naturally coupled with the quantum geometry – for the flow and level lines of the GFF. The family of KPZ formulas obtained resemble but still differ from the KPZ formula for independent sets.